凸函數在數量經濟學中的應用

張志明

摘要：凸函數存在不少優秀的特性，比如針對其非常核心的特性來舉例：整個凸集里，它的每一個部位都是最小的，在全局的比較下也是最小的。它可以被有效地使用于數學的各個范疇中，目前它已經是數學規劃、對策論等多個研究范圍內的理論基礎以及重要的使用用具。本文主要是利用凸函數的性質來解決關于利潤、成本、最佳庫存等經濟問題，用數學符號來代替現實中用語言來形容的問題，最終求的一個最佳的方案來獲取最大的經濟效益。

關鍵詞：凸函數 效用函數 最優化 數量經濟學

自從21世紀伊始凸函數理論得以成立之后，它作為核心的理論，在各種數學研究中都被有效地運用。在目前普遍適用的高等數學的教科書里，全部有著凸函數的相關概念解釋。然而因為不同書籍的不同作用，對它的解釋也有著各種差別。當前，由于數學被普遍運用于經濟學范疇內，而使得數學從冷門學科一躍成為炙手可熱的學科。其中，數量經濟學主要通過對數學學科知識的運用來尋求答案，但是數理經濟學研究中相關的一些函數普遍具備凸性，這就決定了凸函數在其中的普遍運用，它能夠對企業探討財務資源的有效配備提供助益，從而幫助企業的利益達到最大。

三、函數凸性在數量經濟學中的應用

在市場經濟運行之時，生產商的主要要求就是，如何利用盡可能少的物資和成本，取得盡可能大的市場效益和利潤。他們會通過預估行為，構造一個效益、成本、價格三者相關的函數公式，之后再通過求取凸函數的極限值，來達到效益最優化、支出最小化的目的。通過對二次倒數求導，來判定函數的凹凸性，確定了函數的凹凸性之后，我們就可以根據凹凸函數的性質，進而計算出最大值和最小值。這是我們利用函數凹凸性的進行經濟決策的基礎。在實際的生活中，我們對于利用函數的凹凸性，尤其是凸函數進行經濟評估時，不是簡單的通過計算就可以得到最大值的。我們更需要的是首先對經濟問題進行分析，從而在這個過程中提煉出來一種經濟學模型來。然后才是對模型進行函數上的數學計算和分析。

（一）利潤最大問題

在任何的經濟活動中，利潤是不可缺少的部分，如何尋找一種利潤最大化的方案是我們所要解決的。其中成本函數與生產函數之間也有一種函數關系。當這種函數為凸函數時，對其利潤最大值的計算就可以利用凸函數的性質去求解。

對于如何尋求效益的最大化，首先需要尋找與效益相聯系的生產要素的函數關系，先通過一階導數尋找其穩定點，然后繼續求其二階導數，通過這個導數辨別利潤函數是不是凹函數，通過辨別如果是凹函數的話，那么就可以從中選取出最大的數值，也就是最大化的效益。這樣一來，復雜的經濟現象就變成了數學理論中經常被使用到的函數，把尋求經濟效益的最大化轉換成一般的凸函數求極值的問題，這是對數學知識的更好的應用，也是數學對經濟問題的有效解決。