工程教育認(rèn)證背景下離散數(shù)學(xué)課程體系的實(shí)施

夏紅科

（北京信息科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院，北京 100101）

0 引 言

《華盛頓協(xié)議》是通過(guò)多邊認(rèn)可工程教育認(rèn)證結(jié)果工程教育學(xué)位互認(rèn)協(xié)議，它實(shí)現(xiàn)了不同國(guó)家之間工程學(xué)位互認(rèn)，促進(jìn)工程技術(shù)人員國(guó)際流動(dòng)。中國(guó)是《華盛頓協(xié)議》的第18個(gè)正式成員，能全面參與《華盛頓協(xié)議》中各項(xiàng)規(guī)則的制定，同時(shí)我國(guó)工程教育認(rèn)證的結(jié)果將得到其他成員國(guó)認(rèn)可，通過(guò)認(rèn)證專(zhuān)業(yè)的畢業(yè)生將享有在其他國(guó)家同當(dāng)?shù)禺厴I(yè)生同等待遇。開(kāi)展工程認(rèn)證能推進(jìn)我國(guó)工程教育改革，進(jìn)一步提高工程教育的質(zhì)量，構(gòu)建工程教育與企業(yè)界之間的聯(lián)系機(jī)制，增強(qiáng)工程教育人才培養(yǎng)對(duì)產(chǎn)業(yè)發(fā)展的適應(yīng)性，并提升國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)力。

核心的工程教育認(rèn)證理念即OBE（outcomebased education，基于產(chǎn)出的教育）理念[1]，它以學(xué)生為本，將其作為學(xué)校或?qū)I(yè)首要的服務(wù)對(duì)象。認(rèn)證的全部標(biāo)準(zhǔn)聚焦于學(xué)生，在課程安排、資源配置、學(xué)生服務(wù)等方面都進(jìn)行了較明確且具體的規(guī)定；用人單位和學(xué)生對(duì)學(xué)校或?qū)I(yè)所提供服務(wù)的滿(mǎn)意度是通過(guò)認(rèn)證的重要指標(biāo)。

1 產(chǎn)出導(dǎo)向的人才培養(yǎng)體系構(gòu)建

產(chǎn)出導(dǎo)向的人才培養(yǎng)體系是以學(xué)生畢業(yè)后5年的水平為導(dǎo)向和培養(yǎng)目標(biāo)，將工程認(rèn)證理念貫穿整個(gè)本科階段學(xué)生的培養(yǎng)過(guò)程中，從而構(gòu)建人才培養(yǎng)體系，它從培養(yǎng)目標(biāo)出發(fā)，通過(guò)確立畢業(yè)要求，構(gòu)建由教學(xué)計(jì)劃、教學(xué)過(guò)程、考核評(píng)價(jià)組成的課程體系并實(shí)施，從而達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)，如圖1所示。

圖1 產(chǎn)出導(dǎo)向的培養(yǎng)體系

整個(gè)培養(yǎng)體系以畢業(yè)要求為依據(jù)，綜合評(píng)價(jià)學(xué)生培養(yǎng)的質(zhì)量。在整個(gè)課程體系中，教學(xué)計(jì)劃形成對(duì)畢業(yè)要求的支撐，教學(xué)過(guò)程實(shí)現(xiàn)對(duì)畢業(yè)要求的支撐，考核評(píng)價(jià)證明對(duì)畢業(yè)要求的支撐。整個(gè)過(guò)程強(qiáng)調(diào)合格評(píng)價(jià)與質(zhì)量持續(xù)改進(jìn)，在實(shí)施的過(guò)程中形成閉環(huán)，通過(guò)持續(xù)性改進(jìn)不斷實(shí)現(xiàn)對(duì)畢業(yè)要求的支持。

工程教育的培養(yǎng)目標(biāo)是學(xué)生在畢業(yè)后5年具有注冊(cè)工程師的水平，對(duì)應(yīng)到網(wǎng)絡(luò)工程專(zhuān)業(yè)就是10條畢業(yè)要求，并繼續(xù)細(xì)化成37個(gè)具體的指標(biāo)點(diǎn)，明確了這個(gè)產(chǎn)出目標(biāo)后，就需要形成課程支持。以培養(yǎng)目標(biāo)為指導(dǎo)開(kāi)展教學(xué)，包括培養(yǎng)方案設(shè)置、畢業(yè)要求設(shè)置、課程體系支持等各個(gè)環(huán)節(jié)，以持續(xù)不斷地落實(shí)和改進(jìn)。

在以產(chǎn)出為導(dǎo)向的培養(yǎng)體系中，每門(mén)課程的教學(xué)過(guò)程不能再像以前一樣，基于本課程的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)和考核，而是要在工程教育的培養(yǎng)目標(biāo)下，針對(duì)本專(zhuān)業(yè)的培養(yǎng)目標(biāo)和畢業(yè)要求，系統(tǒng)組織課程體系。離散數(shù)學(xué)課程也是如此，它是計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)（包括網(wǎng)絡(luò)工程專(zhuān)業(yè)）基礎(chǔ)理論的核心課程之一，它以研究離散量的結(jié)構(gòu)和它們之間的相互關(guān)系為主要目標(biāo)，充分描述了計(jì)算機(jī)科學(xué)的離散性特點(diǎn)。現(xiàn)代計(jì)算機(jī)科學(xué)中普遍采用離散數(shù)學(xué)中的一些基本概念、基本思想和基本方法，離散數(shù)學(xué)正成為了解、學(xué)習(xí)、掌握和發(fā)展計(jì)算機(jī)科學(xué)必需的理論工具。

2 離散數(shù)學(xué)教學(xué)計(jì)劃

工程教育認(rèn)證下的教學(xué)計(jì)劃，除了明確課程目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容，還需要體現(xiàn)課程目標(biāo)與畢業(yè)要求之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系及具體的課程目標(biāo)達(dá)成措施，這些均在教學(xué)大綱中明確出來(lái)。

依據(jù)網(wǎng)絡(luò)工程專(zhuān)業(yè)的畢業(yè)要求，離散數(shù)學(xué)課程的課程目標(biāo)為：①能夠?qū)㈦x散數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)與方法用于復(fù)雜工程問(wèn)題的算法分析與設(shè)計(jì)、軟件開(kāi)發(fā)與實(shí)現(xiàn)；②能夠?qū)㈦x散數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)原理用于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)工程問(wèn)題的識(shí)別與表達(dá)，以獲得有效結(jié)論。

這些課程目標(biāo)與網(wǎng)絡(luò)工程專(zhuān)業(yè)畢業(yè)要求之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系為：

課程目標(biāo)①對(duì)應(yīng)畢業(yè)要求2：工程知識(shí)：能夠?qū)?shù)學(xué)、自然科學(xué)、工程基礎(chǔ)和專(zhuān)業(yè)知識(shí)用于解決復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)工程問(wèn)題。

課程目標(biāo)②對(duì)應(yīng)畢業(yè)要求3：能夠應(yīng)用數(shù)學(xué)、自然科學(xué)和工程科學(xué)的基礎(chǔ)原理，進(jìn)行復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)工程問(wèn)題的識(shí)別、表達(dá)，并在必要時(shí)借助文獻(xiàn)查找與研讀，獲得有效的信息或結(jié)論。通過(guò)文獻(xiàn)研究分析復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)工程問(wèn)題。

離散數(shù)學(xué)的課程目標(biāo)對(duì)應(yīng)畢業(yè)要求的達(dá)成途徑是通過(guò)課前的自主學(xué)習(xí)、課堂講授與研討、課后總結(jié)與練習(xí)等環(huán)節(jié)共同支撐，主要依據(jù)期末理論考試、單元測(cè)試、課后作業(yè)來(lái)評(píng)價(jià)。

具體的課程目標(biāo)達(dá)成措施包括3方面。

作業(yè)：在課后布置與課程知識(shí)點(diǎn)相關(guān)的習(xí)題并全部批改，計(jì)入平時(shí)成績(jī)。

課堂測(cè)驗(yàn)：根據(jù)課程講解需要并及時(shí)了解學(xué)生的掌握情況，不固定時(shí)間隨堂測(cè)驗(yàn)，以提問(wèn)和題目練習(xí)為主并記錄，以此反映學(xué)生的知識(shí)掌握情況，計(jì)入平時(shí)成績(jī)。

期末考試：內(nèi)容涉及課程的基本理論和基本分析、設(shè)計(jì)方法，并重點(diǎn)突出，題型包括選擇題、判斷題、簡(jiǎn)答題、計(jì)算題、證明題等。

3 離散數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程

確定離散數(shù)學(xué)課程的課程目標(biāo)及與畢業(yè)要求之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系后，在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，除了體現(xiàn)相應(yīng)的課程內(nèi)容，還需要將網(wǎng)絡(luò)工程專(zhuān)業(yè)的畢業(yè)要求具體落實(shí)。離散數(shù)學(xué)課程的理論點(diǎn)多，內(nèi)容豐富，不同的知識(shí)點(diǎn)彼此獨(dú)立但又有機(jī)結(jié)合。在有限的課時(shí)內(nèi)完成課程內(nèi)容，還盡可能地達(dá)到鍛煉能力的目的，教學(xué)過(guò)程需要從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)手段上進(jìn)行精心組織。

3.1 教學(xué)內(nèi)容

離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容多，對(duì)計(jì)算思維的訓(xùn)練、后繼課程的學(xué)習(xí)都有著重要而深遠(yuǎn)的影響，但是受限于課時(shí)，不能覆蓋全面，只能選取與后繼課程聯(lián)系緊密，可以培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維和抽象思維以及分析、解決問(wèn)題能力的內(nèi)容。基于上述考慮，離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容分為3個(gè)部分[2]：數(shù)理邏輯部分、集合與關(guān)系部分與圖論部分，共計(jì)48課時(shí)，其中數(shù)理邏輯側(cè)重于推理，在程序理論、人工智能等方面有重要應(yīng)用；集合與關(guān)系的相關(guān)內(nèi)容與數(shù)據(jù)庫(kù)等課程結(jié)合緊密；圖論在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、算法設(shè)計(jì)與分析課程中應(yīng)用廣泛。

3.2 教學(xué)方法

離散數(shù)學(xué)不單單是一門(mén)數(shù)學(xué)課程，而且是計(jì)算機(jī)類(lèi)的核心基礎(chǔ)課程。由于離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的特殊作用，實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，不能將其單純當(dāng)做一門(mén)數(shù)學(xué)課程。只強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)性，重視數(shù)學(xué)公式的介紹和演繹推理，容易使學(xué)生感到枯燥，認(rèn)為與計(jì)算機(jī)沒(méi)有什么關(guān)聯(lián)，從而失去學(xué)習(xí)的興趣；也不能過(guò)于重視它在計(jì)算機(jī)中的應(yīng)用，不介紹具體的數(shù)學(xué)建模及推理過(guò)程，而忽視了對(duì)數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。因此，在實(shí)際的教學(xué)中，需要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容適當(dāng)調(diào)整，進(jìn)行合理搭配[3]，如圖論部分先介紹通用的圖，然后是樹(shù)，最后是幾類(lèi)特殊的圖。通用的圖論部分說(shuō)明了圖的相關(guān)定義和定理，其中握手定理是最重要的定理之一，在后繼的樹(shù)和特殊圖中會(huì)反復(fù)用到。需要重點(diǎn)介紹握手定理的證明，帶領(lǐng)學(xué)生了解證明的思路在于圖上的點(diǎn)和邊之間的關(guān)聯(lián)，并嘗試用數(shù)量關(guān)系表示，這種證明思路在樹(shù)的證明中也會(huì)用到。在特殊圖的介紹中，歐拉圖、哈密頓圖、二分圖都有著實(shí)際的應(yīng)用，在介紹時(shí)多結(jié)合具體應(yīng)用點(diǎn)進(jìn)行說(shuō)明，并結(jié)合實(shí)際的例子，如“旅行家問(wèn)題”“四色問(wèn)題”等。

對(duì)于教學(xué)內(nèi)容中有共性的點(diǎn)，可以運(yùn)用類(lèi)比的方法強(qiáng)化共同點(diǎn)，并對(duì)不同之處加以區(qū)分[4]，如數(shù)理邏輯這一部分內(nèi)容包括命題邏輯和謂詞邏輯，在內(nèi)容的組織上都是先介紹個(gè)體的邏輯表達(dá)形式，然后是合式及公式，最后是證明。這兩部分內(nèi)容基本是平行的，在講授過(guò)程中，介紹完命題邏輯，引入謂詞邏輯時(shí)，就要對(duì)謂詞邏輯和命題邏輯進(jìn)行區(qū)分，謂詞邏輯研究的是特定的簡(jiǎn)單或復(fù)雜命題，判斷特定命題的真值，或進(jìn)行證明；而命題邏輯是使用謂詞表示一類(lèi)命題，在此基礎(chǔ)之上判斷謂詞的真值、進(jìn)行證明。從思路上來(lái)講，是一種從特殊到一般的關(guān)系。因此，命題邏輯和謂詞邏輯既有區(qū)別，又有聯(lián)系，命題邏輯使用的合式公式在謂詞邏輯中也使用，而在謂詞邏輯證明的過(guò)程中，也會(huì)根據(jù)需要在謂詞邏輯中的特殊個(gè)體與全體之間轉(zhuǎn)換，并應(yīng)用相關(guān)的公式。這種類(lèi)別教學(xué)的方法有助于提高學(xué)生的思維能力，并且以一種更生動(dòng)的形式引入新的知識(shí)。

由于課時(shí)有限，在教學(xué)內(nèi)容中無(wú)法展開(kāi)的內(nèi)容，如Warshall 算法求出傳遞閉包、哈夫曼樹(shù)的構(gòu)建、用Dijkstra算法在圖中求最短路徑，可以布置成課外作業(yè)，要求學(xué)生結(jié)合編程語(yǔ)言加以實(shí)現(xiàn)，從而加深離散數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)的理解，并提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，為后繼數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)庫(kù)等課程的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

3.3 教學(xué)手段

教學(xué)中充分利用現(xiàn)代化教學(xué)手段，將板書(shū)和多媒體有機(jī)結(jié)合。離散數(shù)學(xué)課程中的定義、公式、定理繁多，板書(shū)會(huì)占據(jù)大量的教學(xué)時(shí)間，不利于關(guān)鍵知識(shí)的展開(kāi)，用多媒體的方法展示出來(lái)，能節(jié)省時(shí)間，有效展示，并能生動(dòng)形象地表示具體的內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生的興趣；對(duì)于理論性強(qiáng)，需要訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維的部分，利用相關(guān)定理、推論的證明，用多媒體幻燈片的方式則不合適，不利于思路的展開(kāi)，應(yīng)該由教師通過(guò)板書(shū)，帶領(lǐng)學(xué)生逐步進(jìn)行證明，這樣有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和推理能力。在實(shí)際的教學(xué)中充分利用多種教學(xué)手段，能各自發(fā)揮不同教學(xué)方式所長(zhǎng)，從而提高課堂質(zhì)量和效率。

4 離散數(shù)學(xué)考核評(píng)價(jià)

在教學(xué)過(guò)程中，采用作業(yè)、課堂測(cè)驗(yàn)、期末考試的形式進(jìn)行考核，學(xué)習(xí)結(jié)束時(shí)，需要對(duì)整個(gè)教學(xué)過(guò)程進(jìn)行評(píng)價(jià)，這里并不是簡(jiǎn)單的分析考試試卷，填寫(xiě)試卷分析，而是采用相關(guān)的分析方法進(jìn)行評(píng)價(jià)，包括課程考核過(guò)程分析法和修課學(xué)生調(diào)查問(wèn)卷法，強(qiáng)調(diào)過(guò)程分析和學(xué)生反饋，并將評(píng)價(jià)結(jié)果應(yīng)用到后繼的教學(xué)，持續(xù)改進(jìn)。對(duì)于離散數(shù)學(xué)課程，除了在課程大綱中設(shè)置課程目標(biāo)，并與畢業(yè)要求指標(biāo)點(diǎn)形成對(duì)應(yīng)矩陣之外，同時(shí)設(shè)置課程目標(biāo)點(diǎn)與考核方式、分值的對(duì)應(yīng)矩陣，將此對(duì)應(yīng)矩陣應(yīng)用到具體的考核評(píng)價(jià)中。

1）課程考核過(guò)程分析法。

在離散數(shù)學(xué)課程結(jié)束時(shí)（包括考試），由任課教師對(duì)本教學(xué)班上所有修完該課程的學(xué)生，根據(jù)離散數(shù)學(xué)教學(xué)大綱的設(shè)計(jì)，以各教學(xué)環(huán)節(jié)的考核材料（含教學(xué)大綱、期末考試、日常考勤等）、成績(jī)單為基本依據(jù)，逐一計(jì)算課程目標(biāo)達(dá)成度，從主要教學(xué)環(huán)節(jié)及其產(chǎn)出角度了解課程教學(xué)成效，并作為教學(xué)改進(jìn)的依據(jù)。

2）修課學(xué)生調(diào)查問(wèn)卷法。

在離散數(shù)學(xué)課程結(jié)束時(shí)，通過(guò)調(diào)查問(wèn)卷，了解學(xué)生自評(píng)對(duì)課程目標(biāo)的掌握情況。針對(duì)每個(gè)課程目標(biāo)，進(jìn)行6級(jí)等級(jí)評(píng)價(jià)（E=極好，G=好，A=一般，P=較差，U=不符合，NA=不適用），并分別賦予0～5分的分值。對(duì)于課程目標(biāo)達(dá)成度，首先計(jì)算每個(gè)課程目標(biāo)點(diǎn)的達(dá)成度，然后再計(jì)算課程目標(biāo)的總體達(dá)成度。從學(xué)生體驗(yàn)與收獲角度了解課程教學(xué)成效，并作為教學(xué)改進(jìn)的依據(jù)。

5 結(jié) 語(yǔ)

工程教育認(rèn)證是一種合格性評(píng)價(jià)，它以學(xué)生為中心，以結(jié)果為導(dǎo)向，強(qiáng)調(diào)持續(xù)改進(jìn)。以工程教育認(rèn)證要求進(jìn)行離散數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，北京信息科技大學(xué)的網(wǎng)絡(luò)工程專(zhuān)業(yè)在進(jìn)行工程教育認(rèn)證的過(guò)程中，經(jīng)過(guò)4年的實(shí)踐和不斷調(diào)整，取得了較好的效果，在學(xué)生的就業(yè)分布、畢業(yè)后學(xué)生的回校訪談、麥克斯專(zhuān)業(yè)調(diào)研中均反饋良好，并有畢業(yè)生通過(guò)了工程教育認(rèn)證。