汽車主動懸架多目標最優魯棒控制LMI方法研究

段建民，黃小龍

(北京工業大學信息學部，北京 100124)

0 引言

1/4車輛懸架模型無法反映前后懸架之間的聯動關系。而在半車懸架協同控制中，要求反映行駛平順性的垂直加速度和俯仰角加速度值小、懸架的動行程只能在給定的行程內變化、車輪和路面間的動位移較小，使車輪和路面具有良好的附著效果。但這三個評價標準在客觀上存在矛盾[1]。為解決此問題：文獻[2]利用模糊PID控制車身加速度和懸架動撓度，未對其他性能作約束，魯棒性能差；在其他控制方法中，神經網絡控制系統的學習過程較長、適應性和實時性較差，線性二次高斯 (linear quadratic Gaussian，LQG)控制很難選擇合適的加權值，將其性能限制在范圍內[3]。

劉樹博[4]利用差分進化和矩陣不等式(differential evolution and linear matrix inequality，DELMI)算法對主動懸架單目標輸出反饋控制進行研究。ZHENG等[5]研究具有執行器容錯的1/4主動懸架系統有限頻率控制問題。LI等[6]研究1/4懸架魯棒反饋控制器的設計問題。WANG等[7]針對全車主動懸架系統,在有限頻率范圍內,給出了動態輸出反饋控制器設計方法。

針對汽車主動懸架系統中性能指標存在相互制約的特性，以4自由度(degree of freedom,DOF)半車電液主動懸架模型作為研究對象，設計出一種基于矩陣不等式(linear matrix inequality，LMI)的多目標最優魯棒控制器。該控制方法不僅考慮系統魯棒穩定性的問題，而且綜合考慮舒適性、懸架行程約束和接地性，對這些性能指標進行優化約束。仿真結果表明，該控制方案與被動懸架和單目標魯棒狀態反饋控制相比，在舒適性與操縱穩定性方面得到改進。

1 運動方程

半車四自由度主動懸架動力學模型如圖1所示。半車身質量和俯仰運動的轉動慣量分別用m2、Iφ表示；前、后輪的非簧載質量分別用m1f、m1r表示；前懸架產生的彈性力和阻尼力分別由ksf、csf表示；后懸架產生的彈性力和阻尼力分別由ksr、csr表示；前、后輪胎產生的彈性力分別為ktf、ktr；車身繞y軸俯仰角為φ；前、后簧下質量位移分別由zuf、zur表示；前、后路面擾動位移輸入分別由zrf、zrr表示；前、后懸架組件縱向距離到車身質心的距離分別由a、b表示；前、后懸架控制力分別由uf、ur表示。

圖1 半車4自由度主動懸架動力學模型Fig.1 The 1/2 vehicle active suspension dynamic model with 4 DOF

根據牛頓第二定律，可獲得半車懸架系統動態微分方程如下：

(1)

當俯仰角φ較小時，可以近似得到：

zsf(t)=zc(t)-aφ(t)

(2)

zsr(t)=zc(t)+bφ(t)

(3)

對式(1)～式(3)作變換，可以得到：

(4)

根據式(1)和式(4)，可得如下的狀態空間形式：

(5)

式中：x=[x1(t)x2(t)x3(t)x4(t)x5(t)

x6(t)x7(t)x8(t)]T。

u(t)=[uf(t)ur(t)]T

在半車主動懸架控制器設計中，需要考慮如下的性能要求。

(6)

②懸架行程約束：懸架行程在安全的行程范圍內滿足式(7)。

(7)

式中:Zf,max、Zrmax分別為前、后懸架最大行程值。

③接地性：實現操縱穩定性需滿足式(8)。

(8)

式中:Ff、Fr分別為前、后輪胎的靜載。

Fr(a+b)=m2ga+m1rg(a+b)

Ff+Fr=(m2+m1f+m1r)g

定義第二組控制輸出：

(9)

式(9)包含著對式(7)和式 (8)的性能約束。這時可以得到含外部擾動輸入的半車主動懸架系統的狀態空間方程式：

(10)

假設主動懸架系統所有狀態皆可被在線測量，則設計控制律為：

u(t)=Kx(t)

(11)

式中：K為狀態反饋增益系數矩陣。

由此可以得到如下的閉環系統：

(12)

系統是漸近穩定的，使閉環系統內穩定且使傳遞函數Tz1w的范數H∞最小化，即：

‖Tz1w(s)‖∞=‖(C1+D12K)[sI-(A+

B2K)]-1B1‖∞<γ

2 改進型多目標優化控制算法設計

對于主動電控懸架系統，根據性能指標，半車全狀態多目標最優H∞控制器的的狀態反饋增益系數可通過以下定理求取。

(13)

(14)

則存在一個狀態反饋控制器(7)。

①在沒有擾動的情況下，閉環系統 (12)是漸近穩定的。

②在零初始狀態下，閉環系統(12)滿足：

‖G(jω)‖∞<γ

γ的值越小，系統對外部擾動能力越強，系統的性能越好。

最終，求出增益矩陣：

證明：根據界實定理第四形式可知，閉環系統內穩定且具有H∞性能γ，當且僅當存在一個正定P>0，使得：

(15)

(16)

(17)

考慮控制輸入和約束輸出如下：

所以：

式中：λmax{*}為矩陣的最大特征值，i=1,2,…,6。

可得不等式(14)，證明結束。

這樣，主動懸架系統(10)的全狀態多目標最優H∞控制器可以通過求解以下具有LMI約束和目標函數的凸優化問題得到：

3 半車全狀態多目標最優H∞控制仿真分析

為驗證所提出優化控制算法的效果，仿真中假設平整路面上有一個包塊，作為路面擾動脈沖輸入。路面的時域模型可表達為：

式中:zr(t)為路面垂向位移,m；h和l分別表示包塊的高度和寬度，m；v0為恒定的車輛前進速度,m/s。

經試驗仿真，發現控制器設計參數ρ為0.05時，控制效果不顯著。當該值越小，效果越明顯。本文選ρ為0.025。

表1為半車主動懸架的模型參數。

表1 模型參數Tab.1 Model parameters

①根據文獻 [4] 方法，設計主動懸架H∞最優控制器。此方法為單目標魯棒狀態反饋控制，求出的全狀態最優控制反饋增益矩陣為：

②本文所提控制算法。同樣，根據表1車輛參數，對上述8個矩陣不等式進行求解，其中最優值γ使用mincx求解器得到為4.919，最終解出全狀態最優控制反饋增益矩陣為：

性能指標均方根對比如表2所示。

表2 性能指標均方根對比Tab.2 Comparison of performance index RMS

為了研究該方法的可行性，對半車被動懸架進行對比。在時域內，比較垂直加速度、俯仰角加速度、懸架動行程、控制執行力和輪胎動位移動態特性；在頻域內，比較輸入輸出頻率特性[10]。

時域響應曲線如圖2所示。圖2(a)和圖2(b)是車身垂直加速度和俯仰角加速度的時域響應圖，通過與被動懸架作比較，該方法可以同時降低垂直加速度和俯仰角加速度的值，實現擾動抑制，改善車輛行駛的舒適性。圖2(c)和圖2(d)是前、后懸架動行程的時域響應圖，通過與被動懸架作比較，懸架的行程能夠約束在最大行程之內，避免沖擊限位裝置。圖2(e)和圖2(f)為主動懸架主動控制力的時域響應圖，執行機構輸出控制力限制在設計值范圍內，避免液壓裝置輸出飽和。圖2(g)和圖2(h)為主動懸架前輪和后輪動位移的時域響應圖，在前后輪經過凸包時，該動載和靜載之比都小于1，可保證輪胎的接地性，實現車輛行駛的安全性。

圖2 時域響應曲線Fig.2 Time domain response curves

被動懸架和本文主動懸架控制方法頻率響應曲線如圖3所示。

圖3 頻率響應曲線Fig.3 Frequency responses curves

4 結束語

本文以4自由度半車電液主動懸架作為控制對象，以優化舒適性和操縱穩定性為目標，提出一種LMI算法。設計了全狀態反饋控制律，并進行時域和頻域仿真。本文得出如下結論。

①在時域進行仿真，驗證本文控制方法的車身垂直加速度和俯仰加速度的值與被動懸架相比明顯降低，改善了車輛行駛的舒服性；克服了文獻 [4]方法的缺陷，使俯仰角加速度得到降低，對垂直加速度有明顯改善。

②通過對性能指標變量進行約束，解決了在設計控制系統時如何在舒適性與操縱穩定性之間進行合理折衷的問題，確保輪胎向整車提供足夠的側向力和縱向力，實現前后懸架協同控制。

③在建立的4自由度半車車模型中，對頻率響應進行分析，驗證了該方法能有效抑制有限帶寬范圍內的車身垂直加速度和俯仰加速度。