一種帶落角約束的三維精確制導律

蔡勇

(北京機電工程總體設計部，北京 100854)

0 引言

在導彈制導中，由于比例導引制導律形式簡單且性能優良而得到廣泛應用。比例導引制導律主要目標是零化脫靶量，由于一些交戰場景中對導彈彈道末端落角約束有要求，所以還衍生了各種制導律以滿足該需求[1-2]。

文獻[3-7]對導彈動力學模型進行線性化建模，利用線性二次型優化理論設計了帶終端落角約束的導引律，由于其需要準確估計剩余飛行時間信息，而實際應用中該信息往往無法準確估計，從而影響制導精度。文獻[8]提出了偏置比例導引律，其在經典的比例導引基礎上添加時變偏置項，可適用于一系列對彈道末端打擊角度有要求的交戰場景。文獻[9-10]提出了圓制導律，可滿足全向攻擊要求，并且不需要提供彈目距離信息和剩余飛行時間信息，但導彈需從始至終飛圓弧彈道，總飛行時間較長，且落點需用過載較大，導致末端攻角較大，影響戰斗部穿透效果。文獻[11]基于逆動態理論，利用三階Bezier曲線近似方法設計了可以滿足落角約束和速度約束的制導律。文獻[12]提出了一種新落角控制制導律(impact angle control navigation guidance law，IACNG)，不需要提供彈目距離信息和剩余飛行時間，且在彈道末端指令加速度為0，相應指令攻角為0，可有效提高戰斗部侵徹效果，但其僅針對二維理想平面的交戰情形進行了設計，并不能直接應用于三維交戰場景，且制導律中增益參數的變化對攔截效果影響較大，需對不同末端約束設計相應的增益值。文獻[13]提出了一種三維比例導引制導律，在經典比例導引基礎上，利用四元數理論推導速度傾角三維旋轉角矢量代替角度約束項中角度差，由于其基礎導引律為固定增益比例導引，所以只能滿足90°以內落角約束，且需要估計剩余飛行時間信息，導致該方法使用范圍有限。文獻[14]提出了一種針對機動目標的可滿足落角約束的三維制導律，利用幾何關系將三維角度約束轉換成二維角度約束，但其同樣需要估計剩余飛行時間信息，當其估計精度較低時，將降低該制導律效能。

本文在文獻[12]介紹的二維制導律思想的基礎上，基于三維交戰平面，設計了全向攻擊制導律，并參考文獻[13]，利用四元數理論推導引入彈目視線角三維旋轉角矢量進行補償，使得固定增益參數既可滿足全向攻擊要求，且可零化脫靶量。該制導律不需要提供彈目距離信息和剩余飛行時間信息，且為三維形式，適用于主動尋的制導和被動尋的制導。

1 三維全向攻擊制導律

1.1 問題提出

首先建立三維交戰場景。如圖1所示，Oxyz為發射坐標系，T為目標點，為固定目標，在發射系位置矢量為PT；M為導彈，速度矢量為vM，在發射系位置矢量為PM。f為要求的三維空間打擊落角約束單位矢量。在文獻[12]二維交戰場景基礎上，建立三維空間交戰平面，如圖1,2所示：以T為原點，彈目相對位置矢量r和f所在平面定義為三維交戰平面，定義坐標系ORxRyRzR，ORxRyR在該交戰平面內，ORyR正向與f相反，ORxR正向與ORyR垂直且指向前，根據右手定則確定ORzR。

圖1 三維交戰場景Fig.1 Three-dimensional engagement geometry

圖2 交戰平面和坐標系Fig.2 Engagement plane and coordinate system

定義導彈M在坐標系ORxRyRzR下的速度傾角為γD，向上為正;γT為方位角，俯視逆時針為正。ξ為ORxRyR平面內視線角，r在ORyR軸分量為負則該角為負。

由于r=PT-PM，則坐標系ORxRyRzR三軸單位矢量為

(1)

則發射系到坐標系ORxRyRzR轉換矩陣為

(2)

式中：下標x,y,z表示在發射系3個軸的分量。則彈目相對速度矢量在坐標系ORxRyRzR表達為

(3)

則

(4)

矢量r在坐標系ORxRyRzR表達為

(5)

在坐標系ORxRyRzR視線角表達為

ξ= arctan 2(rRy/rRx).

(6)

1.2 制導律設計

首先作如下假設：

(1) 導彈和目標均為質點；

(2) 導彈速率為常值；

(3) 導彈自動駕駛儀和導引頭測量均無延遲環節;

(4) 不考慮重力。

則在該交戰平面內，相對運動方程為

(7)

在該平面內，終端約束條件為視線角和速度傾角均為-90°，要求導彈接近目標時，2個角度應同時滿足該約束。設Δt為導彈碰撞目標前的一個極小時間間隔，相應的導彈速度矢量在碰撞平面旋轉了ΔγD角度，則此時視線角旋轉了Δξ，則有

(8)

由于

(9)

參考文獻[12]中二維制導律，則在該碰撞平面內指令加速度為

(10)

視線角變化率計算如下

(11)

(12)

垂直于該交戰平面的導引律，使用經典比例導引制導律[1]，加速度指令為

(13)

則發射系三維加速度指令表達式為

(14)

式(14)將文獻[12]二維制導律推廣到三維空間，方便使用。但由于該方法中增益參數取值對導引結果影響較大，若增益選取不合適，可能造成制導律發散。在實際工程應用中，需要根據不同條件設置不同的增益，需進行大量調試設計工作。本文在上述三維制導律基礎上，利用四元數理論，求解彈目距視線矢量r到末端約束矢量f的旋轉軸矢量和旋轉角大小，將其作為補償項，具體推導過程如下。

在發射系定義新的視線系，如圖3所示。OS1xS1向與r矢量重合，OS1yS1向與OS1xS1向垂直，且OS1yS1在r與過M且與Oy平行的矢量組成的平面內，OS1zS1按右手定則確定，相應的視線角定義如式(15)所示。

圖3 視線系Fig.3 Line of sight coordinate system

(15)

則發射系到視線系按2-3-1轉序可得到轉換矩陣

(16)

式中：Rx,Ry,Rz分別為繞x軸、y軸和z軸的旋轉矩陣。則發射系到該視線系的旋轉四元數為

(17)

定義末端約束矢量坐標系OFxFyFzF，方法同上，如圖4所示。

圖4 末端矢量坐標系Fig.4 Terminal impact angle vector coordinate system

則由發射系到末端約束矢量坐標系的旋轉四元數為

(18)

根據四元數理論[15]可知，

(19)

QsF(f)=QfF(f)°Qsf(f),

(20)

(21)

則

(22)

從而可得該旋轉四元數在發射系表達式為

(23)

則旋轉角和旋轉矢量[13]為

(24)

則發射系指令加速度最終表達式為

aC=a1C+K(λσ).

(25)

2 仿真校驗

本節通過數值仿真檢驗上述制導律的有效性，并選取文獻[9]中圓制導律(CNG)進行對比。表1列出了所有仿真參數取值，其中末端約束矢量f按俯仰和方位角取值，選取了7種組合進行仿真。

表1 仿真參數Table 1 Simulation parameters

彈道仿真結果如圖5,6所示，分別為Oyz平面彈道投影和三維空間彈道，原點為目標點。表2統計了仿真結果，可見末端脫靶量和速度傾角誤差均較小，滿足全向攻擊要求。圖7表明彈道末端法向加速度接近0，表明末端所需指令攻角接近0，有利于戰斗部侵徹。

選取文獻[9]中提出的圓制導方法，進行仿真對比，圓制導律為

aC=NΩ×vM-K1(vM0-v10),

(26)

式中：Ω為視線轉率矢量;vM0為導彈速度矢量單位矢量;v10為指令速度矢量，由彈目相對關系和末端角度約束計算得到。

圖5 Oyz平面彈道Fig.5 Oyz plane trajectories

圖6 三維空間彈道(本文制導方法)Fig.6 Three-dimensional trajectories using the proposed guidance law

仿真參數如表3所示，表4為仿真結果，可見不考慮導彈延遲情況下，雖然圓制導脫靶量也較小，但末端速度傾角與落角要求值在部分約束條件下相差較大，全程飛行時間比本文方法長，且組合6情況出現了脫靶。圖8表示圓制導全程需要的法向過載，與圖7相比可見，雖然圓制導律在大部分飛行過程中需要過載比本文制導方法小，但在彈道末端，需要過載會突然增大而不是收斂到0，這會影響戰斗部侵徹效果。

表2 本文制導律仿真結果Table 2 Simulation results using the proposed guidance law

表3 圓制導律仿真參數Table 3 CNG simulation parameters

圖7 時間-法向過載變化Fig.7 Time-normal overload

圖8 時間-法向過載變化Fig.8 Time-normal overload

表4 圓制導仿真結果Table 4 CNG simulation results

3 結束語

本文將二維落角控制制導律(IACNG)擴展到三維交戰場景中，并利用四元數理論推導添加三維旋轉角矢量補償項，設計了一種三維全向攻擊制導律。理想狀態下，可同時滿足零化脫靶量和三維全向落角約束，且彈道末端需要過載接近零，對應的攻角接近0，可保障戰斗部侵徹效果；對一個交戰場景使用固定增益參數即可滿足全向攻擊要求。該方法不需要提供彈目距離信息和剩余飛行時間信息，適用于主動尋的制導和被動尋的制導。