MUSIC分級搜索策略研究

靳浩,王坤,張恒,沈義龍

(中國洛陽電子裝備試驗中心，河南 洛陽 471003)

0 引言

波達方向估計在雷達、通信、聲吶等方面中有著重要的意義。傳統的測向方法由于受瑞利限的制約，其角度分辨率不能達到很高。而基于陣列信號處理的MUSIC(multiple signal classification)[1]算法可以實現角度的超分辨率估計。由于陣列方向矩陣與陣列輸出向量的協方差矩陣的信號子空間張成的空間相同(或與噪聲子空間正交)，MUSIC算法據此而構建空間譜，根據其譜峰位置來確定波達方向。MUSIC算法具有測向精度高等優點，但是由于其為搜索類算法，需要在立體空間內進行搜索，而為了保證測角精度，搜索間隔必須足夠小，因而搜索次數多，計算速度慢[2]。為了實現快速測向，有了很多的MUSIC改進算法，如文獻[2-11]等提到的方法，文獻[12-14]還針對其中一些算法進行了性能的比較。但這些方法都有一定的局限性，如對陣元排列形式有要求或者在陣元數較多時，其速度提升并不是很明顯等。一般為達到快速測向的目的，可以對搜索類算法采用分級搜索策略，即先進行大間隔的粗搜索，而后再以粗搜索的結果作為初值，在初值附近進行小間隔精搜索，以達到快速測向的目的。文獻[15-19]等提到了分級搜索算法可以大幅降低運算耗時，但僅僅進行兩級搜索且只是人為地設定搜索間隔等簡單的分級，并沒有針對最優分級和搜索間隔進行討論。本文針對MUSIC算法，進行分級搜索處理，從理論上分析了各級分級算法耗時最少的分級策略，得到各級分級搜索能達到的最佳效果。并將各級搜索計算次數與直接搜索相比，分析其相對于直接搜索的運算速度提升效果，得出最佳的分級搜索策略。最后利用Matlab平臺進行了仿真實驗，實驗結果驗證了理論的正確性。

1 MUSIC分級搜索策略

在每次估計來波方向時，接收數據的協方差矩陣和其特征值分解都只需要計算1次，但每個角度的空間譜計算則需要先計算導向矢量，而后計算空間譜，且這些運算一般都是針對復數進行的。這就導致在角度搜索上耗時過多，如果能夠降低角度搜索的次數，則對于運算速度提升有很大的幫助。分級搜索可以很大程度上減少搜索計算次數，從而達到提升運算速度的目的。下面針對多級分級搜索進行分析。

1.1 直接搜索

以單目標入射為例。首先是直接搜索，假設待搜索角度范圍為[-N,N]，要求的測角精度為Dg，那么在直接搜索情況下，需要進行搜索計算的空間譜次數(1個方位角和1個俯仰角需要1次)為

(1)

1.2 2級搜索

分2級進行譜峰搜索，第1級的搜索范圍為[-N,N]，間隔為Dg1，則第1級搜索計算的空間譜次數為

(2)

第2級的搜索以第1級搜索得到的角度為中心，角度搜索范圍為[-Dg1/2,Dg1/2]，間隔為Dg，則第2級搜索計算的空間譜次數為

(3)

總的搜索計算的空間譜次數為

(4)

式中：N與Dg在特定情況下可以視為已知量，則式(4)轉換為求在正數范圍內能使f2取得最小值的解。

對式(4)求導，可得

(5)

令式(5)等于0，則有

(6)

即

(7)

由此可得Dg1的正數解為

(8)

此時總的搜索次數為

(9)

則2級搜索的搜索次數與直接搜索的搜索次數的比值為

(10)

1.3 3級搜索

分3級進行譜峰搜索，第1級的搜索范圍為[-N,N]，間隔為Dg1，則第1級搜索計算的空間譜次數為

(11)

第2級的搜索以第1級搜索得到的角度為中心，角度搜索范圍為[-Dg1/2,Dg1/2]，間隔為Dg2，則第2級搜索計算的空間譜次數為

(12)

第3級的搜索以第2級搜索得到的角度為中心，角度搜索范圍為[-Dg2/2,Dg2/2]，間隔Dg，則第3級搜索計算的空間譜次數為

(13)

總的搜索計算的空間譜次數為

(14)

式中：

0

(15)

想要f3最小，即為求解

(16)

在式(15)情況下的極小值。對式(16)求偏導數，由二元方程求極值法則可知，在Dg1和Dg2滿足式(17)的情況下，f(Dg1,Dg2)可以取得極小值。

(17)

由式(17)可以解得

(18)

可知，在2N>Dg時，有Dg1>Dg和Dg2>Dg，且在N>Dg時，始終有Dg1>Dg2，滿足式(15)要求。此時，f(Dg1,Dg2)取最小值：

(19)

由此可得3級搜索的總搜索次數與直接搜索的搜索次數的比值為

(20)

1.4 M級搜索

對于M級搜索，總的搜索次數為

(21)

易知在

(22)

fM可以取得最小值。由此可以計算出各級搜索的最佳搜索間隔。

2 理論結果分析

從式(10)和式(20)可以看出，在MUSIC算法中，要求的精度Dg越高，搜索區間[-N,N]越大，多級搜索提升的運算速度越多。例如，在[-40,40]范圍內搜索(一般情況下，實際作戰環境中導引頭的搜索范圍)，要求精度為0.1，表1給出了理論計算的最優情況下,直接搜索、2級搜索、3級搜索和4級搜索各自的每級搜索間隔和總的搜索次數，同時還給出了各級搜索的搜索總次數與直接搜索的搜索總次數的比值。

表1 多級搜索理論結果對比Table 1 Comparison of theoretical results of multi-level search

由表1可知，2級搜索相對于直接搜索，搜索次數明顯減少；3級搜索相對于2級搜索，搜索次數也減少了許多；4級搜索相對于3級搜索，搜索次數也有一定的減少。

由此可見，多級搜索可以在很大程度上降低運算耗時，提高運算速度。但是其相對于上一級的搜索(如3級搜索相對于2級搜索)提升效果明顯小于上一級搜索相對于其上一級搜索(如2級搜索相對于直接搜索)的提升效果。特別是4級搜索以后，其速度提升有限，可以不必考慮。

實際上，在具體運算中，2級以上分級搜索計算次數要小于上述計算的次數。這是因為從理論上計算次數時，包含了小數部分，而實際中則會對小數向下取整。如在3級計算中，第1級計算次數為(80/8.6)2，約為9.32，大約86.5，而實際中只需要9×9=81次。

3 仿真實驗

為了更好的驗證理論分析的正確性，利用Matlab進行了仿真實驗。實驗中采用陣列為均勻間隔L陣，9個陣元，除去原點，x和y方向各4個陣元，陣元間隔為半波長。入射信號頻率為4.5 GHz，方位角為2.3°，俯仰角為8.5°，信噪比為14 dB，使用100個采樣點數據計算接收數據的協方差矩陣(簡稱R陣)，進行100次蒙特卡羅模擬實驗。

圖1給出了100次實驗的方位角和俯仰角測試結果。圖2給出了100次實驗的耗時結果。表2則給出了直接搜索、2級搜索、3級搜索和4級搜索4種方法耗時(此處的耗時為搜索計算空間譜耗時，鑒于R的計算是必不可少的，且譜峰搜索是實數運算，相對于搜索計算空間譜的復數運算，耗時較少，沒有統計計算R陣與譜峰搜索的耗時)與精度對比。

對比項直接搜索2級搜索3級搜索4級搜索方位角均值/(°)2.305 02.308 02.307 02.300 0方位角標準差/(°)0.079 40.080 00.076 80.083 7俯仰角均值/(°)8.497 08.506 08.515 08.495 0俯仰角標準差/(°)0.068 60.076 20.087 70.081 9耗時均值/ms4 962.272 714.459 33.027 21.596 8耗時方差/ms2261.349 85.559 40.390 60.193 5

從圖1中可以看出，無論是方位角還是俯仰角，4種搜索方法測角結果大致相同，實驗中俯仰角和方位角估計值在真值附近上下波動。從表2的均值中也可以看出，4種測角方法，方位角和俯仰角的估計均值與真值的誤差較小，且測角精度大致相同。而4種方法的測角方差也是很小。

從圖2中可以看出，4種測角方法中直接搜索耗時最多，平均耗時大約4 962.2 727 ms，2級搜索平均耗時14.459 3 ms，約為直接搜索的1/343；3級搜索平均耗時3.027 2 ms，約為直接搜索的1/1 639，約為2級搜索的1/4.7；4級搜索平均耗時1.596 8 ms，約為直接搜索的1/3 107，約為2級搜索的1/9.1，約為3級搜索的1/1.9。

結合前面的分析和實驗結果可以看出，多級搜索可以大大地減少運算耗時，提高越算速度。而隨著分級增多，提高效率明顯降低。4級搜索的耗時相對于3級搜索的耗時已經減少不多，再加上計算R陣與譜峰搜索的耗時，4級搜索相對于3級搜索的速度提升可以忽略不計。且4級搜索第1級搜索間隔較大，在某些情況下，目標的MUSIC空間譜譜峰寬度可能較小，甚至小于第1級搜索間隔，就會導致4級搜索算法失效，因而在實際應用中對于單目標測向使用3級分級搜索最優。

對于多目標入射信號，同樣可以利用前面的分析進行處理，如有m個目標，則第2級搜索的搜索次數需要乘以m，第3級搜索的搜索次數需要乘以m2，以此類推。對于M級搜索，同樣可以構建一個M元函數，只需求解次M元函數在特定情況下的極小值即可。由此就可以獲得m個目標的最優分級搜索策略。

4 結束語

本文首先從理論上分析了MUSIC算法的分級搜索策略，根據搜索計算空間譜的次數來確定最優的分級搜索策略，得出分級搜索可以大幅降低運算耗時的結論，并利用Matlab進行了仿真實驗，驗證了理論的正確性。下一步工作將會針對信噪比、采樣數、目標雷達數等對分級搜索策略的影響進行分析。