最速降線問題的充分性

邢家省， 楊義川， 王擁軍

(1.北京航空航天大學數學與系統科學學院， 北京 100191；2.數學、信息與行為教育部重點實驗室, 北京 100191)

引 言

最速降線問題[1-6]是科學發現史上著名的問題，引起了人們持續不斷的研究興趣，開創了多個研究課題。該問題轉化為求一個泛函的最小值問題，這個泛函在最小值處的必要條件已經得到，泛函的臨界點的存在性已經解決了。泛函的臨界點是否為最小值點是需要證明的[1-6]，文獻[2-4]在引入極值場和Hilbert不變積分的方法，對一般泛函的臨界點是泛函最小值的充分條件進行了研究，給出了最速降線問題的充分性證明，但這種證明方法不直接不自然。本文在綜合利用文獻[7-20]中思想方法的基礎上，對泛函的臨界點是泛函的最小值給出了直接簡單的證明方法，對泛函的臨界點的唯一性給出了證明，對最速降線必是在豎直平面內也給出了證明。

1 質點沿光滑軌道下滑所需的時間公式

著名的最速降線問題[1-6]表述如下：在一鉛直平面上，給定不在同一鉛直直線上兩點A,B。在重力作用下，一質點沿著過A,B兩點的光滑軌道L下滑。下滑的軌道L不同，質點由A點下滑到B點所需的滑動時間T也就不同。問當L是什么曲線時，所需的滑動時間T最短。

建立xOy坐標標系，Ox軸正向水平向右，Oy軸正向豎直向上。

設A點坐標為(x1,y1)，B點坐標為(x2,y2)，x1

設曲線L經過A點和B點，曲線L的方程為y=y(x)，或者曲線L的方程為x=x(y) 。

設有一質點沿某曲線L由點A無摩擦地滑動到點B，考察所需的滑動時間T。

假設在時刻t質點已滑動了路程s，到達的位置為(x(t),y(t))，

由動能勢能守恒原理，可得

(1)

當曲線L的方程為y=y(x)時，

得

質點沿曲線L由點A無摩擦地滑動到點B，所需的時間[1-4]是

(2)

當曲線L的方程為x=x(y)時，

得

質點沿曲線L由點A無摩擦地滑動到點B，所需的時間[1-4]是

(3)

設曲線L的最低點在Ox軸上，質點在曲線L上高度為h的點處靜止開始下滑到最低點處所需時間[1-4]為

(4)

式(4)導致出現積分方程的問題[4]和等時曲線的求解問題[20]。

2 最速降線問題的泛函表示

考慮泛函

(5)

設函數集合

M={x(y)∈C1[y2,y1],x(y2)=x2,x(y1)=x1}

顯然T(x)就是定義在M上的一個泛函。

于是，最速降線問題就是要在集合M上求出一個函數x=x(y)，

使得泛函T(u)在處x=x(y)取得最小值，

在文獻[1-4]中，研究由(2)式表示的泛函的最小值問題，引入變分方法，尋找到泛函的臨界點。

3 泛函在某函數處達到最小值的必要條件

記M0={x(y)∈C1[y2,y1],x(y2)=0,x(y1)=0}，若泛函T(u)在x=x(y)處取得最小值，則對任意v∈M0，都有T(x+εv)在ε=0處達到最小值，于是

記

則

故有

(6)

進而得到

(7)

式(6)就是泛函T(u)在x處取得最小值的必要條件，也就是泛函的臨界點滿足的方程。顯然(6)式與(7)式是等價的。

下面證明泛函的臨界點的存在性。

對

有

代入式(7)，得到

(8)

現對此常微分方程進行求解。

(8)式可化為如下的形式

(9)

對(9)式兩邊積分，則有

令

令u=csinθ，

y=y1-c2sin2θ=

令t=2θ，則有

則得到泛函的臨界曲線的參數方程為

其中常數k,c1可由邊界條件來確定。

顯然最速降線為擺線的一部分[1-6]。泛函臨界點的存在性得證。這只是泛函取得最小值的必要條件。

以上給出了微分方程(8)的直接自然的求解過程，在文獻[1-4]中給出的是選取參數方程的代入方法，這種參數方程的選取方法不太自然。

4 泛函的臨界點為最小值點的充分性的直接證明

對x+εv∈M，有

由于

由此可知，T(u)在M上的最小值在x∈M處達到。

這里，我們用直接的簡單方法，給出了充分性的證明。

關于泛函的臨界點是否為泛函的最小值點的問題，在文獻[2，3，4]中進行了一般性的研究，得到了一些充分性的結果。

5 泛函的臨界點方程解的唯一性證明

設x1，x2∈M是問題(6)的兩個解，

于是

注意到

其中

從而有

特別取v=x2(y)-x1(y)，則有

于是x2(y)-x1(y)=0，x2(y)=x1(y)

即得問題(6)的解是唯一的。

泛函的臨界點是唯一的，最速降線問題的解是唯一的。

在文獻[4，7，20]中，對積分方程(4)進行了求解，對等時曲線是擺線給出了求解證明。

6 最速降線一定是在豎直平面內

建立空間直角坐標系Oxyz，水平面為xOy，Oz軸正向豎直向上。

設A點坐標為(x1,y1,z1)，B點坐標為(x2,y2,z2)，z2

設曲線L經過A點和B點，曲線L的方程為x=x(z),y=y(z),z=z。

設有一質點在重力作用下沿某曲線L由點A無摩擦地滑動到點B，考察所需的滑動時間T。

質點沿曲線L由點A無摩擦地滑動到點B，所需的時間[1-4]是

(10)

最速降線問題轉化為考慮泛函(10)式的最小值問題，由極值的必要條件，極值曲線滿足

其中C1，C2為常數。

C2x′(z)=C1y′(z)

對此積分，則得

C2x(z)=C1y(z)+C3

其中C3為常數。

這就得出，極值曲線必在豎直平面內，極值曲線是平面曲線。

由此證明了，最速降線必是平面曲線[10]，最速降線一定在豎直平面內。