基于區間畢達哥拉斯模糊相似測度的多屬性群決策方法研究

程麗娜

摘要：畢達哥拉斯模糊集是對模糊集和直覺模糊集的推廣，本文在實型廣義加權平均算子的基礎上提出一種新的測度——區間畢達哥拉斯模糊余弦相似測度，并提出了一種基于該相似測度的多屬性決策方法。首先，介紹區間畢達哥拉斯模糊數的概念以及運算法則;其次提出了區間畢達哥拉斯模糊有序加權余弦相似測度，分析了其單調性、有界性等相關性質以及其多種推廣形式，并將其運用至多屬性群決策問題中。最后，將這種群決策方法運用在推選優秀學生的方案選擇中，通過改變參數及權重向量取值的方法得到不同集結結果，體現了本文提出的方法的有效性及可行性。

Abstract： Pythagoras fuzzy set is a generalization of fuzzy sets and intuitionistic fuzzy sets. This paper studies a multi-attribute decision-making method based on interval Pythagorean fuzzy set cosine similarity measure. Firstly， the concept of the interval Pythagorean fuzzy number and its operations are introduced. Secondly， the definition of the interval-valued Pythagorean fuzzy ordered weighted cosine similarity measure is introduced. Its monotonicity， boundedness and other related properties as well as its various forms of promotion are discussed. At the end of the paper， this group decision-making method is applied to the selection of the best students， and the results of different aggregations are obtained by changing the parameters and the values of the weight vector， so that the effectiveness and feasibility of this method are reflected.

關鍵詞： 群決策;區間畢達哥拉斯模糊數;余弦相似測度;IPFOWCS測度

Key words： group decision making;interval Pythagoras fuzzy numbers;cosine similarity measure;IPFOWCS Measure

0? 引言

在決策過程中，廣泛存在模糊性和不確定性，為了解決這類問題，國內外眾多學者提出了多種處理工具。例如經典模糊集，直覺模糊集等。在經典模糊集中，通常用[0，1]內的隸屬度來反映不確定性;在直覺模糊集中，基于經典模糊集，又增加了一維非隸屬度的概念，且滿足隸屬度和非隸屬度之和小于1。美國著名學者Yager[1]指出，在實際決策過程中，可能會出現決策者給出的隸屬度和非隸屬度之和大于1這種情況，于是他提出了畢達哥拉斯模糊集的概念。畢達哥拉斯模糊集同樣由隸屬度和非隸屬度兩部分組成，但其滿足隸屬度和非隸屬度的平方和小于等于1，因此，使得隸屬度和非隸屬度的取值范圍變的更加寬松。近年來，關于畢達哥拉斯模糊集的相關研究收到了國內外的廣泛關注。彭和楊[2]在語言術語集和畢達哥拉斯模糊集基礎上，定義了畢達哥拉斯模糊語言集，并給出了一類畢達哥拉斯模糊語言信息集成算子。彭等[3]構造了畢達哥拉斯軟集，并給出了畢達哥拉斯模糊集的相關運算規則。劉衛鋒等人[4]在廣義信息集成算子的基礎上，將其拓展至畢達哥拉斯模糊信息環境中，提出了一類廣義畢達哥拉斯模糊信息集結算子，并將其應用至決策分析中。Ren等[5]提出基于畢達哥拉斯模糊集和經典的TODIM決策方法，提出了一種新的多準則決策方法。Liang和Xu[6]提出了猶豫畢達哥拉斯模糊集的概念，并結合經典的TOPSIS方法提出了一種新的多屬性決策方法。Zhang[7]提出了畢達哥拉斯模糊貼近度的概念并基于QUALIFLEX方法提出了一種新的多屬性決策方法。Zhang和Xu[8]給出畢達哥拉斯模糊集的TOPSIS方法。盡管基于畢達哥拉斯模糊集的研究越來越多，而考慮區間形式的畢達哥拉斯模糊集—區間值畢達哥拉斯模糊集的研究較少。Garg[9]定義了一個新的區間值畢達哥拉斯模糊精度函數。Liang[10]等研究了基于極大偏差法的區間值畢達哥拉斯集結方法。王耀武[11]將經典的TOPSIS方法拓展至區間畢達哥拉斯模糊信息環境中，提出了基于TOPSIS的區間畢達哥拉斯模糊多屬性決策方法并將其應用至學生評優問題中。

在處理多屬性群決策問題時，重要的一步是對群體決策信息進行有效的集結，并得到一個綜合決策矩陣。進一步地，將每個方案的所有屬性值進行有效的信息集成，從而得到各方案的綜合評價值。文獻[12，13，14]對群決策問題中的一類常見而且重要的信息集成算子進行了深入的研究，主要包括誘導有序加權平均算子、連續區間有序加權集結算子等。

本文首先介紹了區間畢達哥拉斯模糊集與區間畢達哥拉斯的模糊數及其性質與運算。其次將加權平均算子推廣到區間畢達哥拉斯模糊環境中，提出了區間畢達哥拉斯模糊余弦相似測度，并探討了其相關性質。最后，基于區間畢達哥拉斯模糊數的余弦相似測度，提出了一種新的模糊多屬性群決策方法，探討不確定群決策信息的有效集成的基本理論。

由以上的分析結果可知，基于區間畢達哥拉斯模糊的余弦相似測度的IPFOWCS測度對于解決多屬性群決策問題是有效并且可行的。

4? 結論

本文在GOWA算子的研究基礎上，提出了區間畢達哥拉斯模糊有序加權余弦相似測度，研究了其相關性質，并對IPFOWCS測度中不同的參數和權重取值進行了探討。然后基于余弦相似測度，提出了一種新的區間畢達哥拉斯模糊多屬性群決策方法。最后，通過一個學生推優案例說明了本文提出的方法的可行性和有效性。在未來的研究中，作者將進一步的對區間畢達哥拉斯模糊理論和實際應用做出研究。可以將區間畢達哥拉斯模糊集與語言信息相結合，如非平衡語言[18]、區間二元語義[19]等[20，21]。

參考文獻：

[1] Yager R R. Pythagorean Membership Grades in Multicriteria Decision Making[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems， 2014， 22（4）：958-965.

[2]彭新東，楊勇.基于Pythagorean模糊語言集多屬性群決策方法[J].計算機工程與應用，2016，52（23）：50-54.

[3]彭新東，楊勇，宋娟萍，等.畢達哥拉斯模糊軟集及其應用[J].計算機工程，2015，41（7）：224-229.

[4]劉衛鋒，常娟，何霞.廣義畢達哥拉斯模糊集成算子及其決策應用[J].控制與決策，2016，31（12）：2280-2286.

[5]Ren P， Xu Z， Gou X. Pythagorean fuzzy TODIM approach to multi-criteria decision making[J]. Applied Soft Computing， 2016， 42：246-259.

[6]Liang D， Xu Z. The new extension of TOPSIS method for multiple criteria decision making with hesitant Pythagorean fuzzy sets [J]. Applied Soft Computing， 2017， 60：167-179.

[7]Zhang X. Multicriteria Pythagorean fuzzy decision analysis： A hierarchical QUALIFLEX approach with the closeness index-based ranking methods [J]. Information Sciences， 2016， 330：104-124.

[8]Zhang X， Xu Z. Extension of TOPSIS to multiple criteria decision making with Pythagorean fuzzy sets [J]. International Journal of Intelligent Systems， 2015， 29（12）：1061-1078.

[9]Garg H. A novel accuracy function under interval-valued Pythagorean fuzzy environment for solving multicriteria decision making problem [J]. Journal of Intelligent & Fuzzy Systems， 2016， 31（1）：529-540.

[10]Liang W， Zhang X， Liu M. The maximizing deviation method based on interval-valued Pythagorean fuzzy weighted aggregating operator for multiple criteria group decision analysis [J]. Discrete Dynamics in Nature and Society， 2015， 746572.

[11]王耀武.基于區間值畢達哥拉斯模糊數的TOPSIS方法及其在學生推優中的應用[J].數學的實踐與認識，2018，48（05）：108-117.

[12]陳華友，陳誠.基于I-IOWG算子集結的組合判斷矩陣的相容性和一致性[J].系統工程與電子技術，2009，31（9）：2137-2140.

[13]陳華友，劉春林，盛昭瀚.IOWHA算子及其在組合預測中的應用[J].中國管理科學，2004，12（5）：35-40.

[14]Xu Z， Yager R R. Some geometric aggregation operators based on intuitionistic fuzzy sets[J]. International Journal of General Systems， 2006， 35（4）：417-433.

[15]Atanassov K T. Intuitionistic fuzzy sets [J]. Fuzzy Sets & Systems， 1986， 20（1）：87-96.

[16]Yager R R . On ordered weighted averaging aggregation operations in multicriteria decision making [J]. IEEE Trans. Systems Man Cybernet. 1988， 18（1）：80-87.

[17]Yager R R. Generalized OWA Aggregation Operators [J]. Fuzzy Optimization & Decision Making， 2004， 3（1）：93-107.

[18]Herrera F， Herrera-Viedma E， Martinez L， A fuzzy linguistic methodology to deal with unbalanced linguistic term sets [J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems， 2008， 16（2）：354-370.

[19]吳群，王鳳，周禮剛，陳華友.基于區間二元語義偏好關系一致性偏差的群決策方法[J].模糊系統與數學，2017，31（05）：55-67.

[20]吳群，吳澎，周元元，周禮剛，陳華友.2TLCGPOWA算子及其在多屬性群決策中的應用[J].計算機工程與應用，2017，53（03）：47-53，63.

[21] 吳群，吳澎，周禮剛.基于聯系數的區間二元語義模糊多屬性群決策方法[J]. 重慶工商大學學報（自然科學版），2016，33（01）：1-8，25.