結合自動控制領域應用背景的常微分方程課程教學的探討

【摘要】常微分方程是自動控制領域研究的基礎知識，具有較強的自動控制應用背景，本文我們將探討如何將自動控制應用背景融入到常微分方程課程的教學過程，從而激發學生的學習興趣和學習動力，培養學生將數學理論聯系實際應用的能力。

【關鍵詞】常微分方程 自動控制應用背景

【中圖分類號】O175.1-4 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）32-0031-02

常微分方程是基礎數學和應用數學領域的一個重要研究方向，它是自動控制工程領域研究的基礎理論。簡單地說，自動控制工程領域中研究的被控對象，很多都可以由常微分方程 來描述。這樣一來，在實際控制工程中研究被控對象的性能，很多時候就是轉化為研究相應的常微分方程的解的性質。目前，常微分方程課程是數學專業和其它一些理工科專業大學生必修的基礎課程。雖然常微分方程在自動控制應用領域具有巨大的應用，可是大部分學生并不知道或者所知甚少，尤其是非數學專業的理工科專業學生，可能會覺得常微分方程課程就只是繁瑣的數學公式和數學方程的堆積，枯燥無味、晦澀難懂，覺得學了也沒什么實際用處，因此會逐漸失去對常微分方程課程的學習興趣和具有畏懼心理。所以如果任課教師能夠在講授常微分方程知識點的過程中融入自動控制工程應用背景，這樣一方面可以培養學生將數學問題與實際工程問題相聯系的能力，提高學習興趣和學習動力，另一方面學生在遇到類似的實際問題的時候，也會想到要用到常微分方程知識來解決問題，從而再次鞏固知識和培養學生分析問題和解決問題的能力。

在常微分方程的課堂教學中，重視融入自動控制應用背景，從而形象深入地說明具體常微分方程知識的重要性和應用性。例如，我們以如下帶初值的一階常微分方程來說明：

=ax（t）+u（t），x（t0）=x0， （1）

其中a為常數，t0是初始時刻，x（t0）是初值，u（t）是關于t的連續函數。對于一階常微分方程（1），其存在唯一解且由常數變易法可知該解可以表示為：

x（t）=e X0+ u（s）dx. （2）

結合自動控制應用背景，該一階常微分方程可以用來描述工程技術領域中一個控制系統的動力學行為，其中方程的解 x（t）表示該系統的狀態，初值表示該系統的初始狀態，u（t）表示人為施加到該系統的控制器。

當u（t）≡0時，一階常微分方程（1）表示系統沒有人為施加的力量控制它的運轉。此時方程（1）的解可以表示為：

x（t）=e X0 （3）

在控制工程技術中，我們一般要求系統是穩定的，即當時間t趨于無窮時，描述系統的方程的解x（t）趨于0。因此，由方程（3）可以看出，當a<0時，方程的解x（t）會隨著時間t趨于無窮而指數衰減到0，此時我們稱系統是指數穩定的。但是由方程（3）可以注意到，當a>0時，方程的解x（t）當時間t趨于無窮時會趨于無窮，在實際控制工程技術中，我們不希望看到這種現象發生，因為此時系統是“爆破”的。綜上，我們可以發現當系統沒有人為施加控制的時候，系數a決定了系統是穩定的還是爆破的。

所以，我們在對實際系統用常微分方程建模時，期待出現的是負的系統系數a，如果出現的是正的系統系數a，我們就需要人為地給系統裝上控制器u（t）來強行改變系統的動力學行為。既然u（t）是人為施加的操作，也就是我們要怎樣選取都行。因此，針對a>0的情形，我們不妨選取控制器u（t）=-2ax（t）。此時，系統（1）轉化為：

=-ax（t），x（t0）=x0， （4）

注意到系統（4）的系統系數是負數，因此系統（4）是指數穩定的。因為系統（4）是系統（1）加了控制器之后產生的系統，在自動控制領域中稱這樣的系統是閉環系統。因為選取的控制器u（t）是與狀態x（t）有關的，在自動控制領域中這樣的控制稱為狀態反饋。

綜上所述，在常微分方程的教學中，以自動控制應用為背景引入，讓學生們認識到一個簡單的一階常微分方程也會具有豐富的應用背景，所以學習常微分方程并不是枯燥無味，沒實際用處的，通過這樣的應用背景引入方式能有效地激發和提升學生的學習興趣和學習動力，培養學生分析、解決工程應用問題和數學問題的能力。

參考文獻：

[1]屈紅雁，杜潤梅，徐文達.把數學建模思想融入常微分方程課程中的探討[J].數學學習與研究，2017（13）.

[2]吳楚芬.案例分析在常微分方程教學中的應用[J].數學學習與研究，2015（5）：79.

作者簡介：

吳澤浩，1988年4月出生，男，博士，講師，研究方向為隨機系統控制理論。