多帶超導體中的自發(fā)磁場和奇頻配對態(tài)*

張艷艷 陳家麟 查國橋 周世平

(上海大學物理系,上海市高溫超導重點實驗室,上海 200444)

1 引 言

大約在 45年前,前蘇聯(lián)科學家 Berezinskii[1]猜測奇頻s-波配對態(tài)作為一個基態(tài)可存在于液氦超流中.隨著鈣鈦礦銅氧化物超導電性的發(fā)現(xiàn),人們也曾嘗試探討這類超導體中的奇頻配對態(tài)[2-4].如 Pauli 不相容原理所要求,在同一時刻置換一對電子的坐標和自旋時,電子對關(guān)聯(lián)波函數(shù)振幅將要改變符號.一個頻域為偶對稱的自旋單態(tài) s-波/d-波、或者一個自旋三重態(tài) p 波對關(guān)聯(lián)函數(shù)就遵守該準則.基于這一基本對稱性的考慮,人們建議在一個自旋旋轉(zhuǎn)或者是平移對稱破缺的非均勻超導系統(tǒng)中,可望存在奇頻自旋三重態(tài) s 波[5],或奇頻自旋單態(tài) p 波[6].事實上,有跡象表明,頻域奇稱配對態(tài)極有可能是在半金屬[7,8]和基于鈥/鈷[9,10]的超導異質(zhì)結(jié)中承載著長程超流的態(tài).盡管如此,無須引入對稱破缺場或者是磁性拓撲缺陷的前提下,在一個均勻的超導系統(tǒng)中仍未見存在奇頻 s 波配對態(tài)的證據(jù).然而,Annica等[11]的工作 卻為尋找奇頻配對態(tài)帶來一絲曙光,他們建議源于鐵基超導序參量奇-偶宇稱的軌道耦合可望為奇頻配對態(tài)提供一條有效路徑.其實,如此的相互作用在多帶超導體如鐵基超導體[12]和重費米子超導體[13]中普遍存在著; 而奇-偶宇稱的帶間/軌道間的耦合對基態(tài)對關(guān)聯(lián)函數(shù)的對稱性注入了一個約束機制,允許在不違反 Pauli 不相容原理的前提下,實現(xiàn)自旋單態(tài)與三重態(tài)的轉(zhuǎn)換; 進而可以引發(fā)偶頻-奇頻配對態(tài)間的轉(zhuǎn)換.

系統(tǒng)的哈密頓量對稱性的自發(fā)破缺往往能誘導出新的元激發(fā).例如,整數(shù)量子Hall態(tài)[14]與分數(shù)量子Hall 態(tài)[15]以及基于能帶反轉(zhuǎn)的強自旋-軌道耦合作用所導致的自旋量子Hall效應[16,17]等都是對稱破缺誘導的新物質(zhì)態(tài)強有力的佐證.多帶超導中,不同對稱性的對態(tài)帶間耦合為非平庸的電子對態(tài)和奇異渦旋束縛態(tài)提供一種機制.僅以相對簡單的雙帶硼化鎂超導體為例,基于一個雙帶的 GL自由能泛函,Babaev和Speight[18]提出可能存在任意分數(shù)量子磁通,以及由 Meissner 疇和渦旋團簇所組合成的 “semi-Meissner”態(tài)的建議.Moshchalkov等[19]和Nishio等[20]報道了外磁場中硼化鎂單晶超導中 “條紋與蜘蛛網(wǎng)狀” 共存的磁通渦旋結(jié)構(gòu)實驗觀測現(xiàn)象,并建議在渦旋間相互作用為長程相吸引、短程相排斥相互競爭框架下理解之,提出了所謂 “Type-1.5 ” 超導體的觀點.然而,也有一些學者對 第 “1.5 類” 超導體和分數(shù)量子磁通的觀點提出了質(zhì)疑.例如,文獻[21-23]指出,由于兩個帶的對關(guān)聯(lián)函數(shù)必須耦合在同一個規(guī)范場中,因而那種在傳統(tǒng)Ginzburg-Landau(GL)模型框架中兩個孤立的特征長度的假定是非本質(zhì)的.此外,在SU(2)模型框架下,? imánek[24]給出了雙帶超導體中由超導環(huán)流所屏蔽的一個單渦旋的磁通量依然是量子化(h/2e)的結(jié)論.由此可見,僅從澄清雙帶超導體中“semi-Meissner” 態(tài)是否為熱力學意義上的基態(tài)及其物理本質(zhì)角度,更為深入的研究顯得十分必要.

本文通過求解描述硼化鎂超導體的金茲堡-朗道模型,證明了 π 帶與 σ 帶間耦合確實提供了一個內(nèi)在的對稱破缺機制; 特別是,適當?shù)奶荻锐詈蠌姸认?可以誘導出一種新的疇結(jié)構(gòu); 其中對應兩個帶的對勢函數(shù)相位差在疇內(nèi)部為一個恒定值,穿越疇壁卻顯示出劇烈變化,并由此誘導出自發(fā)磁偶極子.與σ?guī)У牧菍ΨQ結(jié)構(gòu)不同,繞晶面對稱軸每轉(zhuǎn)動90°該局域自發(fā)磁偶極子極性翻轉(zhuǎn)一次,具有二度旋轉(zhuǎn)對稱結(jié)構(gòu).與此旋轉(zhuǎn)對稱自發(fā)破缺相對應的,允許存在時間反演破缺束縛態(tài)ψσ±iψπ; 與此同時,自發(fā)磁性疇壁散射引起的自旋相反的電子的費米波矢失配則允許自旋單態(tài)與自旋三重態(tài)的共存; 而一個偶宇稱的三重態(tài)必將是頻域奇稱的配對態(tài).

2 模 型

(1)式為一個表述雙帶超導的GL自由能泛函一般形式,

其中下標i=1,2 以區(qū)別兩個凝聚帶的指標; 符號Δ1,Δ2和A為對勢函數(shù)和矢勢函數(shù).αi=νFi,Ni和Vi分別表示對應帶費米面電子的平均速度、態(tài)密度和吸引勢強度.定義轉(zhuǎn)變溫度為NiViln(2eγωi/πTi)=1 ,其中ωi為 Debye 頻率,γ表示 Euler 常數(shù).動量算符記為Π=iκ-1?+A,κ為等效 GL 參數(shù).符號γ1,γ2和γ3分別表示帶間Josephson 耦合、二階耦合和梯度耦合強度.

模型的參數(shù)值取決于具體材料費米面處的電子結(jié)構(gòu).對硼化鎂化合物,M g+離子提供了導帶中的載流子,扮演著電荷庫的角色,其軌道運動對電輸運貢獻度卻不大; 而正六面頂角的硼軌道電子主導了材料的電行為.類似于苯環(huán)中碳原子 s p2軌道鍵合,一個元胞中六個頂角上最近鄰原子對軌道構(gòu)成了 σ 鍵,而剩余的那個p 軌道電子沿六角平面c-軸形成了 π 鍵.前者具有較強的電子-聲子耦合模,給出了2 維的 σ 主帶; 后者則呈現(xiàn)相對較弱的電子-聲子耦合,對應 π-帶配對.參考掃描隧道顯微鏡觀測數(shù)據(jù)[25]和緊束縛模型擬合結(jié)果[26],我們選取Δ1=7meV ,Δ2=2.35meV ,N1=0.4N0,N2=0.6N(0).其中N(0)=0.41 states/(eV·Cell·Spin),面內(nèi)費米速度主帶(σ-band)的轉(zhuǎn)變溫度T1=39K ,而 π-帶的轉(zhuǎn)變溫度T2可以在(20—30)K 之間取值.

由這些參數(shù)出發(fā),在弱耦合極限下通過求解平衡態(tài)方程可以估算耦合參數(shù)強度.首先,假設約瑟夫森耦合項與 π-帶對勢有相同的溫度分布.弱耦合條件下其次,將γ1代入平衡態(tài)方程得到

利用松弛迭代公式(2)和周期性邊界條件(3)將自由能泛函極小化:

其中?j為松弛因子,取值范圍為(0,2).迭代精度,即相鄰兩次迭代所對應的能量增量|δF|≤ 10-8.

其中g(shù)k(X)稱作生成函數(shù),θ和ck(k=1,2)為任意常數(shù).磁場平均強度B ≡2πm/|t1×t2|; 整數(shù)m表示外加磁場通量渦度,即Φ=mΦ0,|t1×t2|表示磁元胞的面積.方便起見,選取θ=ck=0 .

3 結(jié)果與討論

先討論面外垂直磁場下帶間耦合引起的相分離現(xiàn)象.為避免受限尺寸效應對數(shù)值解的影響,我們選取足夠大的磁元胞尺寸Lx×Ly=128×128ξ2.圖1 給出溫度為T∈(T1,T2)時的計算結(jié)果,圖2給出了溫度為T

下面簡要分析引起一個四度旋轉(zhuǎn)對稱的渦旋格子到二度旋轉(zhuǎn)對稱格子的起因.由于渦旋芯附近波函數(shù)幅值較低,直接耦合項的貢獻可以忽略， 于是重點考慮梯度耦合項的貢獻.一個梯度算符可以等效為一個軌道角動量.作為一階近似,渦旋芯附近該軌道角動量可表示為如圖1所示,π-帶與 σ-帶波函數(shù)相位繞向是彼此相反的,前者為逆時針方向,后者卻是順時針的.由此我們推斷,梯度耦合項對兩個不同帶的電子軌道施加了方向相反的角動量.如果有意識地引用“自旋”來描述該相位反向環(huán)繞效應,就可以假設 σ-帶電子是自旋向上的,π-帶是下自旋.梯度耦合項則誘導出一個等效軌道磁場,相對于兩個互為相反的自旋帶彼此是反向的,這等同于 Rashba 自旋-軌道相互作用.由于其強度與兩個帶波函數(shù)模的乘積成正比,在合適的溫度下當|ψπ|2=|ψσ|2時,該等效軌道場強度達到最大值; 從而可望誘導相分離而形成新的兩度旋轉(zhuǎn)對稱的渦旋格子.

本節(jié)考慮零外場條件,探索與帶間耦合相對應的自發(fā)對稱破缺所誘導的新物質(zhì)態(tài).溫度設置為T=0.1K,結(jié)果如圖3 所示,顯示出非常奇特的疇結(jié)構(gòu).坐標空間中,除去環(huán)狀的疇壁近鄰區(qū)域外,兩個帶的波函數(shù)幅度ψ1和ψ2都是均勻不變的.與此同時,它們的位相差在疇內(nèi)部也是一個不變的常量,但在非常靠近環(huán)形疇界的兩側(cè)呈現(xiàn)出急劇的凸陡,與此相對應的自發(fā)場空間分布也一并示于圖中.環(huán)繞著環(huán)形疇壁,自發(fā)磁場的極性螺旋進動,與六角對稱的晶面結(jié)構(gòu)不同,繞晶面對稱軸每轉(zhuǎn)動π/2弧度該局域自發(fā)磁偶極子極性翻轉(zhuǎn)一次,因而具有二度旋轉(zhuǎn)對稱.顯然,這是帶間耦合散射過程所導致的旋轉(zhuǎn)自發(fā)對稱破缺.而旋轉(zhuǎn)對稱自發(fā)破缺則允許存在時間反演破缺束縛態(tài)與此同時,磁性疇壁散射引起的自旋相反的電子的費米波矢失配則允許自旋單態(tài)與自旋三重態(tài)共存,而一個(軌道)偶宇稱的三重態(tài)必將是頻域奇稱的配對態(tài).事實上,頻域奇稱的配對態(tài)與自旋/軌道指標輪換而反號的對態(tài)是互易的,由于關(guān)于軌道奇偶對換操作(P)和時間反演操作(T)服從這樣的原則: 作用于自旋單態(tài)TP=+1,作用于自旋三重態(tài) TP=—1.

圖1 當溫度 T ∈(T1,T2),外-磁場磁通渦量 m=2 時,四度旋轉(zhuǎn)對稱的Abriksov渦旋格子圖(a)-(c)分別為 π-帶和σ 帶序參量和磁場的空間分布圖;(e)(g)分別為對應的等高圖;(d)和(h)分別為 π 帶和σ 帶波函數(shù)的相位分布圖,兩者的相位繞向彼此相反Fig.1.The fourfold rotational symmetric Abrikosov vortex for the superconductor with coupled π-and σ-pairings under the external magnetic flux of two quanta(m=2)and at the temperature T ∈(T1,T2): Panels(a)-(c)show the spatial distributions for π-and σ-channel amplitude and magnetic field H,respectively;(e)-(g)show the contour plots,respectively;(d)and(h)show the phase distribution for the π-and σ-channel,An opposite phase winding is indicated in the π-and σ-channels.

有必要強調(diào),不同于一個平庸的點缺陷,在那里局域?qū)莶ê瘮?shù)嚴格趨于零; 自發(fā)磁疇則是一種奇特的非平庸拓撲缺陷.尤其是電子局域坐標穿越疇界時,由于帶間波函數(shù)相位差的突變,可望誘發(fā)所謂的“相孤子”或者是“磁扭結(jié)”.而一個閉合的二度旋轉(zhuǎn)對稱扭結(jié)環(huán),正是一種拓撲非平庸的Skyrmion(斯格明子)結(jié)構(gòu).另一方面,外場中,一旦斯格明子模與Abrikosov磁通格子得以共存,則可望對前文提到的由Meissner疇和渦旋團簇所構(gòu)成的“Semi-Meissner”現(xiàn)象給予一種解釋.此外,時間反演對稱破缺態(tài)究竟以何種方式呈現(xiàn),與超導體配對態(tài)對稱性是密切相關(guān)的,與此同時,它還決定了相應基態(tài)載流與否.基于此分析,在討論同樣是多帶超導體的鐵基超導體系的基態(tài)對稱性扮演了重要作用.更為細致的討論將在后續(xù)工作給出.

圖2 當溫度 T=0.1K ,外磁 場磁 通渦量 m=2 時,π-和σ-帶空間分 離的兩度旋 轉(zhuǎn)對 稱半渦旋圖(a)-(c)分別為 π-和σ-帶序參量和磁場的空間分布圖Fig.2.The twofold rotational symmetric semi-vortex unit,consisting of spatially separated π-wave and σ-channel cores at the temperature T=0.1K and under the external magnetic flux of two quanta(m=2),(a)-(c)show the contour plots for π-and σ-channel amplitude and magnetic field H,respectively.

圖3 當溫度 T=0.1K 時自發(fā)場圖(a)-(c)分別為 π-帶和σ-帶序參量和磁場的空間分布圖;(d)-(f)分別為對應的等高圖Fig.3.Spontaneous magnetic field at the temperature T=0.1K ,Panels(a))-(c)show the spatial distributions for π-andσchannel amplitude and spontaneous magnetic field H,respectively;(d))-(f)show the contour plots,respectively.

值得關(guān)注的是,近期多帶/多分量超導體時間反演對稱破缺態(tài)以及與其相關(guān)的非平庸渦旋態(tài)的討論引起了諸多研究者的關(guān)注.如Garaud等論述了多帶超導體中時間反演破缺態(tài)的熱電力學征兆[29,30]以及渦旋結(jié)構(gòu)變化[31].Lin等[32]分析了缺陷誘導的不同時間反演破缺(T-broken)態(tài)的特征.Grinenko等[33]給出了鐵砷超導體中時間反演破缺超導電性的觀點,此外,時間反演破缺態(tài)支持了本文的疇結(jié)構(gòu),特別是疇界將一對簡并的時間反演破缺態(tài)ψσ±iψπ局域化[34].如果將ψσ±iψπ理解為內(nèi)稟軌道角動量為±1而與正/負自發(fā)磁場局域相對應,正如在向列超導體[35]和Bose-Einstein凝聚[36,37]冷原子系統(tǒng)中有望發(fā)現(xiàn)拓撲非平庸的渦旋態(tài)斯格明子態(tài)和Majorana零能模[38].

最后,利用微擾近似分析給出一個關(guān)于多帶超導體的典型相圖.定義產(chǎn)生、湮滅算符為其中H表示磁場強度.近似至ψ1,2的一次項,并利用對易關(guān)系[p+,p-]=1,平衡態(tài)GL方程(2)式可寫為,

其中ι2=hc/2eH,α1=λ1,α2=λ2,γ1=和λ2=(1/2)N2(0)V2.為避免可能的指數(shù)發(fā)散,已將溫度函數(shù)ln(Ti/T)在Ti附近作Taylor級數(shù)展開至兩階項.分析中,梯度耦合強度γc作為一個可變參量,取值范圍接下來,通過逐級近似遞推方式(這里考慮了零階與一階近似),給出相變場曲線方程.第一步,取γc零階近似下,(4)式退化為關(guān)于ψ1,ψ2的獨立的簡諧振子方程.記各自的基態(tài)為|0〉1,|0〉2,他們分別滿足然后,考慮耦合項的一階近似,粒子數(shù)表象中,|0〉1僅與|2〉2耦合,|0〉2僅與|2〉1疊加.于是,假設對應兩個帶的本征態(tài)為其中c1,2和d1,2為待定的常數(shù).將代入到(4)式中,即可得到關(guān)于這些待定系數(shù)的方程組.由此可以求得本征值和本征態(tài).對于σ?guī)У淖钚”菊髦凳?取最低的本征值為零,即可得到相變場曲線方程,

將表征不同帶指標的下標互換,即可得到π-帶的相變場方程.由此描繪出的相圖示于圖4.可以看出,在略低于超導-正常相變的溫區(qū),尤其是π-帶電子間吸引勢較弱時,體系是 σ 帶占優(yōu)的; 合適的溫度范圍內(nèi),當|ψπ|與|ψσ|大體相當時,則是π-σ混合相,雙帶間的耦合是諸多反常現(xiàn)象的主要誘因; 更低的溫區(qū),當|ψπ|＞|ψσ|時,帶間耦合強度反而變?nèi)趿?系統(tǒng)行為將是 π 帶占主導.這樣的單帶-混合相-單帶相變或許是多帶/多分量超導體相圖中的一個普遍現(xiàn)象.

圖4 帶間耦合強度 γ c=0.5 時雙帶超導體MgB2相圖Fig.4.The phase diagram for the two-band superconductor MgB2 with the interband coupling strength γ c=0.5 .

4 結(jié) 論

基于一個半唯像的雙帶金茲堡-朗道模型,研究了雙帶超導體MgB2中奇頻配對態(tài)存在性問題.證明了帶間耦合特別是梯度耦合作用,可以誘導“半-渦旋”結(jié)構(gòu)以及四度旋轉(zhuǎn)對稱與二度旋轉(zhuǎn)對稱的渦旋格子相變.研究發(fā)現(xiàn),零外磁場下,帶間耦合所引起的自發(fā)磁場的極性繞晶面對稱軸每轉(zhuǎn)動π/2弧度翻轉(zhuǎn)一次,因而具有二度旋轉(zhuǎn)對稱.顯然,這是帶間耦合散射過程所導致的自發(fā)對稱破缺.一個旋轉(zhuǎn)對稱自發(fā)破缺則允許存在時間反演破缺束縛態(tài)與此同時,磁性疇壁散射引起的自旋相反的電子的費米波矢失配則允許自旋單態(tài)與自旋三重態(tài)共存,而一個(軌道)偶宇稱的三重態(tài)必將是頻域奇稱的配對態(tài).

事實上,如果將自發(fā)磁疇理解為一個磁性正常疇,則整個體系就等價于一個磁性金屬-超導結(jié)結(jié)構(gòu).與磁性界面散射相對應的反常Andreev 反射和近鄰效應所引起的配對態(tài)對稱性,如自旋單態(tài)與三重態(tài)的轉(zhuǎn)換[39]、s-波超導局域態(tài)密度中的零能峰[40]等都是存在奇頻s-波配對態(tài)的強有力佐證.

感謝張凌峰博士(Dr.L-F Zhang)富有成果的討論.