教育數學一線串：圓的基礎性

徐章韜

(華中師范大學數學與統計學學院 430079)

圓錐曲線是因解倍立方體問題的需要而產生.圓錐曲線的研究法先是純幾何的手法，直至笛卡爾才用坐標法研究圓錐曲線，解析幾何產生了.這些成果已反映在現行的教材中.從研究方法上看，直線、圓、圓錐曲線都是坐標法的研究對象，體現了坐標法的巨大威力；但從研究內容上看，直線、圓、圓錐曲線的內在關聯性還揭示得不夠.平面幾何花了大量的氣力研究圓，這些學習成果應在后續學習中體現出來.三角函數又稱圓函數，現在人們已經逐漸認識到應發揮單位圓在三角學習中的支持作用.受此啟發，在邏輯上圓和圓錐曲線有著內在關聯，以圓為認知工具，可以把直線、圓、圓錐曲線等“一線串”起來，把平面幾何、解析幾何的學習有機關聯起來.

1 從圓到圓錐曲線

點可看作半徑為零的圓，直線可看作半徑為無窮大的圓，或曲率為零的圓.作一半徑為2a的圓，利用軸對稱，用圓可以生成橢圓和雙曲線.還有一些用圓生成圓錐曲線的方法.

圓作為圓錐曲線的“母體”，圓的度量性質、仿射性質大多可以引申推廣到圓錐曲線中.如，直徑所對的圓周角為直角、切線與半徑垂直、垂徑定理、圓冪定理都可以推廣.這已形成一種技法，欲探究橢圓的性質，有的可以還原到圓上去研究.

2 圓錐曲線間的互變

圓錐曲線同根同源，可以相互轉化.

(由圓生成圓錐曲線)設圓x2+y2=r2(r>0),PP′是圓垂直于x軸的一條弦，M(m,0),N(n,0)是x軸上的不同的兩點，求直線PM與P′N的交點Q的軌跡，則當(m+n)2-4a2>0時，軌跡是橢圓或圓；當(m+n)2-4a2=0時，軌跡是拋物線；當(m+n)2-4a2<0時，軌跡是雙曲線.

雙曲線可視為虛橢圓，兩者同為有心曲線，可以相互轉化.

在學習、研究有心曲線時，可以以橢圓為重點，這也是教材淡化雙曲線的重要原因之一.這樣的處理是非常有道理的.

3 幾種特殊的圓

由上述可以看到圓的基礎性，故在研究圓錐曲線時，要研究幾種特殊的圓.

3.1 輔助圓

借助輔助圓，可以探究橢圓的切線.

性質2(過橢圓上一點作切線)橢圓和輔助圓的對應弦相交于長軸所在直線上.如圖，點F、G為橢圓長軸上的點，過點F、G分別作垂直于長軸的線交橢圓和圓于點A、D、B、C，則對應弦AB、DC所在直線交于x軸上一點E.

運用這個性質，可以作過橢圓上一點的切線.

性質3(過橢圓外一點作切線)從焦點引橢圓上任一點的切線的垂線，則切線與垂線的交點在該橢圓的輔助圓上.

運用這條性質可以過橢圓外一點，作橢圓的切線.

過圓錐曲線焦點且垂直于橫軸的弦，叫通徑.過通徑的兩個端點作圓錐曲線的切線，切線斜率的絕對值恰好是離心率.這樣就溝通了斜率與離心率之間的關系，既然可以用斜率來刻畫圓錐曲線，即是所謂的圓錐曲線的“第三定義”，也可以用離心率來刻畫圓錐曲線.

這可以認為是為什么要研究圓錐曲線切線的理由之一.

3.2 阿波羅尼奧斯圓

阿波羅尼奧斯，古希臘數學家，所著《圓錐曲線論》代表了古希臘演繹幾何的最高成就.

依據上述阿氏圓定義不難得到以下結論：

3.3 蒙日圓

蒙日，法國數學家，畫法幾何的創始人.蒙日不僅將分析應用于幾何，同時也反過來用幾何去解釋微分方程，推動了微分方程的發展.用特征曲線、特征錐(蒙日錐)探討偏微分方程的特征理論.

借助蒙日圓，可以得到一些優美性質:

3.4 相切圓

由定義不難得到，在橢圓中，以焦半徑為直徑的圓與輔助圓均內切；在雙曲線中以焦半徑為直徑的圓與輔助圓一個外切，一個內切；在拋物線中，以焦半徑為直徑的圓與y軸相切；以過拋物線焦點的弦為直徑的圓與其準線相切.

對雙曲線、拋物線也有類似的性質.

橢圓上一點P與焦點F1、F2構成焦點三角形△PF1F2，則其旁切圓的圓心B在長軸上的射影是橢圓的一個頂點，且PB是橢圓的一條切線.

雙曲線上一點P與焦點F1、F2構成焦三角形△PF1F2，則其內切圓的圓心B在實軸上的射影是雙曲線的一個頂點，且PB是雙曲線的一條切線.

拋物線上一點P與焦點F的連線為PF，過點P作準線的垂線PM，垂足為M，作圓B與PF，PM及軸DF同時相切，則圓心B在軸上的射影是拋物線的頂點，且PB是拋物線的一條切線.

還可以探討圓錐曲線中的四點共圓等主題.

借助圓，圓錐曲線的性質得到了進一步的開發.

4 分析與討論

上面討論圓的基礎性，從內容上看，的確可以以圓為線索把直線、圓、圓錐曲線的內容“一線串”起來，加強內容之間的內聚性.這是教育數學的觀點，教育數學還可以通過數學研究得到另外的見解.

強調圓的基礎性，和前面所學的內容進行了有機的溝通，使平面幾何更“有用”.由三角函數及現在圓對解析幾何內容串通性的研究知道，那種任意刪減平面幾何課程的做法值得商榷.課程的編寫一方面要尊重數學歷史的發展，另一方面要強調邏輯的內在一致性，使學生從內在和諧性中感受到數學的內在和諧美.這也是一種“立德樹人”.數學不是支離破碎的，教育數學的研究彌補了課程教材在這方面的不足.

還要強調發展性.如果沒有發展，完全回到圓，圓錐曲線就沒有研究的必要了.這時，就要強調圓錐曲線中為圓所沒有的元素.焦點、準線、離心率這些圓錐曲線所特有的概念，要重點加以關注，而且還要溝通它們之間的關聯.而課程標準、教材則恰恰把這部分內容給刪除去了.這樣的后果之一必會使學生看到，A就A，B就是B，兩者之間沒有任何關聯.這種做法或教法，早就引起了學者的注意“為什么許多國家不教圓錐曲線？我們則是高考的大頭？”刪除了這部分內容，學生的課業負擔并沒有減輕，“題海還題海，刷題還是刷題”.注重發展性，為后面以微積分的觀點研究幾何、用射影的觀點認識二次曲線打下了伏筆.

“教什么，怎樣教”，歷來是教育學討論的重要主題.有人認為，教什么比怎樣教更重要，有的觀點則恰好相反.通過教育數學的研究，可以認為，“教什么”是內容選擇，無論“怎樣教”都要注意內在的和諧統一性；“怎樣教”是方法選擇問題，要注意歷史上種種研究方法在教學法上的表現，要以基本內容為載體，發展學生的數學能力.按核心素養的說法，發展學生能力的最高水平是知識創新，以圓錐曲線為載體，讓學生充分地學會類比、猜想，做數學，而不是簡單地解幾道考試題，更有教育價值.