數學教學：淺談排列組合中的“球入盒”問題

江蘇省昆山中學 蔡麗菊

在高中數學中有《排列組合》這一章，對學生邏輯推理能力、分類討論以及建構模型的能力都有極高的要求，包括現在的數學競賽中都涉及排列組合問題。其中，“小球與盒子”的模型問題一直是一個熱門話題。由于球與盒子都有著“相同”與“不同”的分類，并且具有知識上的綜合性、解題技巧上的靈活性以及思維方式上的抽象性，使同學對此類問題感到很是困惑，感覺千變萬化，無從下手。下面我就對此模型問題的解法及運用作一個總結和分析，望同學有所感悟。

類型一：不同小球入不同盒子的模型

1.球少盒多型

例1：若將4個不同的小球，放入5個不同的盒子里，有幾種不同的放法？

變式1： 若將4個不同的小球，放入5個不同的盒子里，每盒至多放一個，有幾種不同的放法？

變式2：若將5個不同的小球，放入5個不同的盒子里，每盒至少放一個，有幾種不同的放法？

注：此類問題一般用排列組合思想，利用分步計數原理

2.球多盒少且每盒至少放一球型

例2：若將5個不同的小球，放入4個不同的盒子里，每盒至少放一個，有幾種不同的放法？

變式：若將5個不同的小球放入4個不同的盒子里，恰有1個空盒，有幾種不同的放法？

注：此題型應該先分組，后排列。

類型二：相同小球放入不同盒子的模型

例3：若將10個相同的小球，放入3個不同的盒子里，每個盒子不空，有多少種不同的放法？

變式1： 若將10個相同的小球放入3個不同的盒子里，允許盒子空，有多少種不同的放法？

變式2：若將10個相同的小球裝入3個編號分別為1，2，3的盒子，要求盒子里球的個數不小于盒子的編號數，這樣的裝法總數是多少？

解：此題分兩步，先將編號為1，2，3的3個盒子分別放入0，1，2個球，再把剩下的7個球分成3組，即在這7個球中間的6個空檔中放入兩個相同隔板,自然分成3組，代表放入三個不同盒子中。即3個盒子此時小球肯定不小于編號數了。故有 種放法。

應用3（名額分配問題）：將10個三好生分配給3個班級。

（1）每班至少一個,則共有多少種分配方法？

（2）任意分配共有多少種分配方法？

（3）若班級為一、二、三班,三好生人數不少于班級數,則共有多少種分配方法？

解：由于10個三好生是相同的,那么就等價于10個相同的小球放入3個不同盒子。

注：如果是處理“相同元素不同組”模型時,我們都可以用“隔板法”；如果每組元素數為至少一個時,可用插“隔板”；如果出現每組元素數為0個時用排“隔板”。

【歸納小結】其實小球入盒是排列組合中非常典型的問題，還有像方程解的問題和名額分配等問題，雖然形式多變，但實際與小球入盒問題是等價的。小球入盒可以分為4類：不同的小球放入相同的盒子里；不同的小球放入不同的盒子里；相同的小球放入相同的盒子中；相同的小球放入不同的盒子里。解決小球入盒問題最高效、最準確的方法是“先分組，后分配”,解答相同小球入不同盒子問題的最有效、最簡易的方法是隔板法。雖然看起來很復雜，其實只有搞清楚類型，注意小球和盒子的“同”與“不同”，對號入座，再次結合兩個計數原理，我相信對同學提高此類問題的解題能力一定是有所幫助的。