淺談基于“三教”理念的高中數學建模教學

薛潤　蔡擇林

摘 要：2017版《普通高中數學課程標準》將數學建模納入了高中學業質量考察范圍，數學建模活動教學必然引起重視.本文嘗試將教思考、教體驗、教表達的教學理念（簡稱“三教”）與數學建模教學結合，以三角函數例題為例，通過教學活動體現“三教”理念，達到培養學生數學建模能力的目的.

關鍵詞：高中數學建模;“三教”;三角函數

2003年教育部頒發《普通高中數學課程標準（實驗稿）》，提出將數學建模內容納入高中數學課程，因此數學教育學者紛紛響應，不斷研究數學建模理論和教育實踐.2017年，教育部頒發的《普通高中數學課程標準》落實了將數學建模作為高考考查內容，在必修課程和選擇性必修課程以及部分選修課程中都有體現，新課標中數學建模活動與數學探究活動的學業要求指出：“經歷數學建模活動與數學探究活動的全過程，整理資料，撰寫研究報告或小論文，并進行報告交流，撰寫研究報告或小論文及其評價應存入學生個人學習檔案，為大學招生提供參考和依據.”這無疑錘石了高中數學建模的重要性，向一線教師提出挑戰.

一、研究背景

數學建模是對現實問題的數學抽象，在從實際情境中發現和提出問題、建立和求解模型、檢驗和完善模型、分析和解決問題的過程中，使學生感悟數學與外部世界的聯系，培養學生用數學邏輯語言表達現實世界的能力，引導學生有意識地運用數學思維解決問題.

在應試的壓力下，數學課堂往往成為訓練解題的課堂，學生很難有自己獨立的思考和深入的理解，如同學習“啞巴數學”一樣.傳統灌輸式教學的課堂中學生缺乏思考，課堂氛圍沉悶，學生缺少參與發現數學知識的過程，哪里會有數學體驗？何談用數學語言表達自己的想法？因此，教學要重視數學知識的來源過程，增強學生對定理公式的理解而不是光靠死記硬背，通過學生自己的思考、理解、操作和感悟才能掌握運用知識.

二、“三教”理念與數學建模

2014年1月，貴州師范大學呂傳漢教授提出：“在數學教學中教思考、教體驗、教表達（簡稱‘三教）的教育理念.主張：教思考，讓學生用數學的思維分析世界，學會‘想數學，促進學生思辨能力的培育;教體驗，讓學生用數學的眼光觀察世界，學會‘做數學，獲得個人學習體驗;教表達，讓學生會用數學的語言表達世界，學會‘說數學，表達、交流、加深思考.”數學建模活動是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法建構模型解決問題的全過程.數學建模活動教學的過程正是教學生思考、體驗、表達的過程，與呂傳漢教授的“三教”教育理念極其契合.

課堂上教師提出的問題應該是有意義的問題，要求能夠激發學生的思考.學生在小組討論交流中思維發生碰撞，訓練活躍性的數學思維方式.數學建模教學過程中，教師應作為引導者，充分發揮學生主體性的地位，讓學生自主動手動腦切身體驗數學建模活動，在學生請求幫助時協助解決問題.建模活動后教師應要求學生撰寫數學建模研究報告或小論文，鼓勵學生用數學語言表述，引導學生進行反思和交流，培養學生文字表達能力，增強數學建模學習的體驗.

三、課本建模案例

（一）問題提出

例4：“海水受日月的引力，在一定的時候發生漲落的現象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近碼頭;卸貨后，在落潮時返回海洋.下面是某港口在某季節每天的時間與水深關系表：

1.選用一個函數來近似描述這個港口的水深與時間的函數關系，給出整點時的水深的近似數值（精確到0.001）

2.一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規定至少要有1.5米的安全間隙（船底與洋底的距離），該船何時能進入港口？在港口能呆多久？

3.若某船的吃水深度為4米，安全間隙為1.5米，該船在2：00開始卸貨，吃水深度以每小時0.3米的速度減少，問該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？”

（二）從分析問題中學會“想數學”，訓練思維方式

教學片斷一：

師：假設同學們都是船長，航海歸來遇到何時停船靠岸的問題，我們現在該怎樣解決問題呢？以這道題目為例，看看誰是咱們班上最聰明的船長.

師：第一個問題要求描述港口水深y與時間x的函數關系.首先，請船長們觀察一下表格中的數據，大家能發現什么？

生1：表中水深米數的數值是5，7.5，2.5這三個數值.

生2：觀察記錄的時刻間隔為3小時.

生3：在24小時中，水深米數以5.0，7.5，5.0，2.5循環了兩次.

師：有同學提到“循環”，也就是說出現了一種規律，這是什么樣的規律呢？

生：24小時內，每3小時觀察一次的水深數據以5.0，7.5，5.0，2.5為周期循環.

師：總結得非常好，經過同學們的思考發現了規律具有“周期性”.

簡評：教師通過設置問題情境，使學生參與到解決問題的活動中，調動學生上課積極性并且活躍了課堂氛圍.教師通過訓練學生一般地解題思路培養學生數學思維，教師引導學生分析題干信息是非常重要的一個環節，學生在分析題干信息中先觀察再思考最后有解題思路.

教學片斷二：

師：題目中第二個問題主要告訴我們什么信息？

生1：船在安全水深的時候才能駛入港口，否則船會擱淺.

生2：安全水深要大于或等于貨船吃水深度加上安全間隙，即水深要大于或等于5.5米船才可以駛入港口.

師：那如何在函數圖像上刻畫出水深大于等于5.5米呢？

生：正弦函數的縱坐標在數值5.5以上，就表示水深大于等于5.5米.

師：可以建立模型幫助解決問題嗎？該怎樣嘗試建立模型？

生：可以構造常數函數g（x）=5.5與正弦函數相交，g（x）圖像以上的部分表示安全水深.

師：很好，通過構造常數函數g（x）=5.5，我們可以清晰直觀地表示出安全水深的范圍，建立合適的模型有助于我們分析問題解決問題.

簡評：提問的設計旨在培養學生分析題干信息的能力，使學生學會用數學的思維方式思考問題，讓學生知道為什么這樣做以及怎樣做.教學充分利用討論的環節，鼓勵學生進行思維的碰撞和思想的交流.

（三）在問題情境中體驗“做數學”，積累建模經驗

教學片斷三：

師：那船長們選擇用什么方式刻畫表格中水深與時間的規律呢？

生：作圖.

師：好，請完成的同學展示一下你們的作品.

師：（點名表揚作圖規范的同學）聰明的船長們根據所作的散點圖聯想到什么函數圖像呢？

生1：正弦函數.

生2：余弦函數也可以.

師：補充得很好，正弦函數和余弦函數都可以，我們一般選擇更方便解題的函數模型.

簡評：在教師設置的情境中，學生體驗用數學的方法解決實際問題的過程正是一種通過“做數學”獲得知識的過程，設置展示學生作圖環節目的是培養學生良好的作圖習慣，問題的設置主要通過誘導的方式訓練學生如何用數學思維解決問題.

教學片斷四：

師：同學們得出了通過構造常數函數g（x）=5.5與三角函數的圖象結合解決問題的思路，請船長們動手構造這樣的函數，小組討論貨船何時進出港最合適，為什么？

生：我們通過分析兩個函數相交的交點A、B、C、D四個點，發現貨船應該在A點或者C點這兩點進港比較合適，由圖像可以觀察到A、C兩點是安全水深的最小值且隨著時間的增加安全水深逐漸增大，因此B、D 兩點不適合貨船進港口，因為如果貨船在B、D兩點進港會發生擱淺，并且貨船應該最晚在B點或者D兩點出港，否則也會出現擱淺.

師：非常好，大家借助計算器計算各點的值是多少.

簡評：這一教學片斷是在引導學生思考的基礎上體現“做數學 ”，學生在思考和討論的過程中體驗解決數學問題，學生對于這種體驗的記憶和感受會更加深刻.教師應當鼓勵學生合理地運用計算工具解決問題，提高解題效率.

（四）在探討交流中鼓勵“說數學”，培養表達能力

教學片斷五：

師：第三問也是安全水深的問題，與第二問不同的是貨船的吃水深度隨著時間的變化而變化.該如何刻畫變量呢？請同學們自主探究.

生：貨船吃水深度與時間的關系就是一個簡單的一次函數關系，如果單憑想象很難理解問題的涵義，我們感受到建立函數模型對于解決問題的重要作用.

生：第三問看似復雜，思路是和第二問一樣的，考察我們將三角函數與一次函數結合分析問題的能力.

師：同學們的感受非常棒，老師建議同學們課后寫一份報告，談談你們經歷這次建模的所思所想，下節課請同學們進行報告交流.

簡評：表達能力包括書面文字的表達能力和口頭語言的表達能力，課堂上給學生充分的表達時間，鼓勵學生大膽表達，逐漸培養學生使用數學語言交流的習慣，從而使學生增強數學學習體驗、促進思考.

四、小結

該例題的教學思路以創設問題情境激發學生思考，鼓勵學生討論交流，教師作為引導者和輔助者讓學生充分參與數學建模活動的課堂，通過撰寫學習報告或者論文加深理解，感悟數學學科的精神和思想方法.

學生在數學建模活動中首先要有自主思考，才會有深刻的課堂體驗，有了課堂體驗才會有表達的內容，并且在表達中進行思考.數學建模活動的教學需要教師自身不斷的學習，在生動而豐富的教學活動積累經驗，將信息技術手段與數學學科融合，提高課堂的效率和質量，更好地促進學生發展.

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