研究函數必須堅持“定義域優先”原則

胡衛紅

摘 要 函數的定義域是構成函數的三大要素之一，在研究函數問題時，如不加以注意，極易出錯。因此在解函數題中，必須反復強調“定義域優先”原則，反復強調定義域對解題的作用與影響，這對提高學生的數學素養非常有幫助。

關鍵詞 定義域;優先;原則;數學素養

中圖分類號：A，U491.2+32，{DF711}??????????????????????? 文獻標識碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號：1002-7661（2019）14-0151-01

函數作為高中數學的一條主線，貫穿于整個高中數學的學習，函數的定義域是構成函數的三大要素之一，函數的定義域通常由所研究問題的實際背景確定，不僅要給出函數解析式，更要理解它的定義域，函數的定義域就是指能使這個式子有意義的實數的集合。在解函數題中，必須反復強調“定義域優先”原則，反復強調定義域對解題的作用與影響，這對提高學生的數學素養非常有幫助。

一、研究函數解析式必須優先考慮函數的定義域

函數關系式包括定義域和對應法則，所以在求函數的關系式時必須優先考慮所求函數關系式的定義域，否則所求函數關系式可能是錯誤。

例1.將邊長為的鐵絲折成一條邊長為矩形，求矩形的面積關于的函數關系式？

解：因為矩形的一邊長為米，則另一邊長為米，由題意得：，故函數關系式為：。

如果解題到此為止，則函數關系式還欠完整，缺少自變量的范圍。因為矩形的邊長和面積不可能為負數，因此應補上自變量的范圍：。

在用函數方法解決實際問題時，必須要注意到函數定義域的取值范圍對實際問題的影響。

二、研究函數的最值必須優先考慮函數的定義域

函數的最值是指函數在給定的定義域區間上能否取到最大（小）值的問題。如果不注意定義域，將會導致最值的錯誤。

例2.求函數的最值.

解：∵，∴當時，。

初看本題似乎沒有最大值，只有最小值。產生這種錯誤的根源在于學生是按照求二次函數最值的思路，而沒有注意到已知條件發生變化。

在函數定義域受到限制時，若能讓學生注意定義域對函數最值的影響，便能提高學生的綜合數學素養。

三、研究函數的值域必須優選考慮函數的定義域

函數的值域是該函數全體函數值的集合，當定義域和對應法則確定，函數值域也隨之而定。因此在求函數值域時，必須優先注意函數定義域。如：

例3.求函數的值域。

錯解：令

∴，

故所求的函數值域是。

分析：經換元后，應有，而函數在上是增函數，所以當時，。故所求的函數值域是。

注意，在用換元法求函數值域時，必須注意變量的范圍和隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結果的產生。

四、研究函數奇偶性必須優先考慮函數的定義域

例4.判斷函數的奇偶性。

解：∵，∴定義域區間[-1，3]關于坐標原點不對稱，∴函數是非奇非偶函數。

若學生沒有注意函數定義域，那么判斷函數的奇偶性得出如下錯誤結論：

∵

∴函數是奇函數。

五、小結

判斷函數的奇偶性，必須先考慮該函數的定義域區間是否關于坐標原點成中心對稱，若定義域不關于坐標原點對稱，則函數就不存在奇偶性。

綜上所述，在求函數函數關系式、最值、值域、奇偶性等問題中，若能引導學生注意到函數定義域的變化對解題結果有無影響，就能提高學生質疑辨析能力，有利于培養學生的數學素養，進而提高學生思維的創造性。