《均值不等式》課堂設計

徐愛功 張立英

摘 要 本文從教材分析，教學目標，教學重點和難點，教學方法，學生學法，教學過程，板書設計，效果分析八個方面說說我對這堂課的設計。

關鍵詞 均值;不等式;課堂設計

中圖分類號：O122.3?????????????????????????????????????????????????? 文獻標識碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號：1002-7661（2019）14-0186-01

均值不等式是不等式這一章的核心，在高中數學中占有重要地位。特別是對不等式的證明和求最值問題極為重要。

一、教學目標

（一）知識與技能：

1.掌握均值不等式以及其成立的條件;

2.能運用均值不等式解決一些較為簡單的問題。

（二）過程與方法：

1.探索并了解均值不等式的證明過程、體會均值不等式的證明方法;

2.培養探究能力以及分析問題、解決問題的能力。

（三）情感態度與價值觀：

1.通過探索均值不等式的證明過程，培養探索、鉆研、合作精神;

2.通過對均值不等式成立條件的分析，養成嚴謹的科學態度;

3.認識到數學是從實際中來，通過數學思維認知世界。

二、教學重點和難點：

重點：均值不等式的推導;均值不等式及其成立的條件。

難點：均值不等式成立的條件是本節課的難點。

三、教學方法：

突出重點的方法：將通過引導啟發、學生展示來突出均值不等式的推導;通過多媒體展示、精講點撥來突出均值不等式及其成立的條件。

突破難點的方法：采用重復法、辨析法、有效訓練來突破均值不等式成立的條件這個難點。

此外還將繼續采用個人和小組積分法，調動學生積極參與的熱情。

四、學生學法：

在學生的學習中，注重知識與能力，過程與方法，情感態度和價值觀三個方面的共同發展。充分體現學生是主體，具體如下：

（一）課前預習——學會自主學習;

（二）分組討論——合作探究、明確重點、解決疑點;

（三）積極參與——敢于展示、大膽質疑、爭相回答;

（四）自主探究——學生實踐，鞏固提高。

五、教學過程：

采取“三步驟四環節和諧高效課堂”教學模式，運用學案導學開展本節課的教學。第一步：課前預習

（一）成果反饋

1.對課前小組合作完成的現實生活中的問題：

“今有一臺天平，兩臂不等長，要用它稱物體質量，將物體放在左、右托盤各稱一次，稱得的質量分別為a，b，問：能否用a，b的平均值表示物體的真實質量？若不能，這二者是什么關系？”進行多媒體情景演示，抽小組派代表回答，從而引出均值不等式。

抽出兩名同學在黑板上完成2、3

2.均值定理：_____________________________________

預備定理：a²+b²≥2ab（a，b∈R），仿照預備定理的證明證明均值定理

3.已知ab>0，求證：，并推導出式中等號成立的條件。

其他同學分組合作探究和均值定理有關的以下問題，教師巡視并參與討論，適時點撥。

①適用范圍a，b∈________，對嗎？

②等號成立的條件，當且僅當__________時，________=_________。

③語言表述：兩個___數的____平均數_____它們的_______平均數。

④把不等式_________________又稱為均值或________不等式。

⑤數列觀點：兩個正數的______中項不小于它們的_____中項。

⑥幾何解釋：________________。

⑦常見變形a+b≥_______。

_???? _______，即a+b≤___________。例：

4、（1）一個矩形的面積為100m²，問這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的周長最短？最短周長是多少？（2）已知矩形的周長是36m，問這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的面積最大？最大面積是多少？

由此題可以得出兩條重要規律：

兩個正數的積為常數時，它們的和有______值;

兩個正數的和為常數時，它們的積有______值。

首先針對黑板上這兩道題發動學生捉錯，然后再由老師完善，以此加深學生對定理及應用條件的認識。其次，老師根據剛才巡視掌握的情況，結合多媒體進行有針對性的講解。初步掌握用均值定理求函數最值時要注意“一正、二定、三相等”。

第二步：課內探究

（二）精講點撥

1.例：求函數????????????? 的最大值，及此時x的值。

先和學生們一起探討該問題的解題思路，先拆分再提出“-”號，為使用均值定理創造條件，后由學生們獨立完成，教師通過巡視發現問題及時指正！該例題主要讓學生注意定理的應用條件及一些變形技巧。

2.多媒體展示辨析對錯：（略）

（三）有效訓練

1.下列有效的最小值為2的是（）。

A.????????? B.

C.? D.

本題意在鞏固用均值定理求函數最值時要注意“一正、二定、三相等”。

2.（小組合作探究）一扇形中心角為α，所在圓半徑為R。若扇形周長為一常值C（C>0），當α為何值時，扇形面積最大，并求此最大值。

本題若直接運用均值不等式不會出現定值，需要拼湊。待學生討論過后，若有必要，抽派小組代表到講臺上講解，及時反饋矯正。

（四）本節小結

小結本節課主要內容，知識點，由學生總結，教師完善。

1.兩個重要不等式

a²+b²≥2ab（a，b∈R，當且僅當a=b時取“=”）

（a，b∈R⁺，當且僅當a=b時取“=”）

2.用均值定理求函數最值時要注意“一正、二定、三相等”。

第三步：課后訓練

（一）雙基達標（必做，獨立完成）：

1.課本第71頁練習A、B;

2.已知x<-1，求 ????????????????的最值;

（二）拓展提高（供選做，可小組合作完成）：

3.a>0，b>0，且，求a+b最小值。

4.求函數的最小值。

通過作業使學生進一步鞏固本節課所學內容，注重分層次設計題目，更加關注學生的差異。

六、板書設計

（一）均值不等式及推導。

（二）均值不等式的應用。

（三）小結。

七、效果分析

本節課采取了我校推行的“三步驟四環節和諧高效課堂”教學模式，通過學案導學，多媒體展示，師生互動。學生基本能掌握均值不等式及其成立的條件;能運用均值不等式解決一些較為簡單的問題。但用均值定理求函數最值時要注意“一正、二定、三相等”，學生還得通過反思和課后訓練進一步體會。