用活教材實現數學學習的繼承與發展

摘要：作為高中數學教師，要用活教材，從整體與全局入手，充分理解與體會編著者的意圖，挖掘數學課程所蘊含的資源與價值；更好發揮數學的內在力量；從而讓學生的數學學科核心素養得到更好的培養，數學學習得到更好的繼承與發展。

關鍵詞：用活教材；數學學習；圓與橢圓；整體設計；內在聯系；繼承與發展

我思故我在。人是靠思想直立的，沒有“思”是不行的，僅有“思”是不夠的，還必須在“思”的基礎上進行“研”，我“研”故我智。作為一名數學教師，只有對教材深入思考與研究，理解和體會編著者的意圖，才能更好地讓數學知識、方法與思想得到繼承與發展；讓更多的學生喜愛并研究數學。因為數學的育人就要從如何發揮數學的內在力量，如何才能充分挖掘數學課程所蘊含的價值觀資源；以實現學生數學學科核心素養的發展的需要，培育學生的理性精神。下面是我在上圓與橢圓內容時所做的一些處理與嘗試。

在必修二上圓的定義時，我根據橢圓有兩個定義這一特點，在講圓的定義后我給學生拋出了一個問題“在平面上除了用動點到定點的距離等于定值的點集合來刻畫圓外，還有沒有其他方式？我們今后要學習的橢圓可是有兩種刻畫方式哦！”激起了學生探究與深入學習圓的定義的熱情與興趣。課后我給學生留了這樣一道題“在平面上，已知動點P（x，y）到兩定點A（-1，0）與B（1，0）的距離之比為2，求動點P的軌跡方程。”第二天上課講評告訴學生答案是x-532+y2=432；引申1：若將題目變成是“在平面上，已知動點 P（x，y）到兩定點A（-c，0）與B（c，0）的距離之比為m，動點P的軌跡為圓，求實數m的取值范圍。”引申2：圓的第二定義：在平面上，已知動點P（x，y）到兩定點A（a1，b1）與 B（a2，b2）的距離之比為常數m（m>0，m≠1），動點P的軌跡為圓。這樣就為推導橢圓的標準方程奠定了堅實的基礎，讓學生對課本方法理解就更為透徹，從而掌握得更好，實現了數學學習的一次繼承與發展。

章建躍博士就提倡單元整體設計教學，他認為學生數學學科核心素養水平的達成不是一蹴而就的，它有階段性、連續性與整合性等特點；所以，整體把握教學內容對促進數學學科核心素養連續性和階段性發展具有重要意義?！镀胀ǜ咧袛祵W課程標準（2017年版）解讀》（下稱《課標》）中也這樣寫道：無論是教材的編寫，還是教學的設計，都可以考慮改變傳統的設計思路，不是就每一節課或每一個知識點進行設計，而是把一些具有邏輯聯系的知識點放在一起進行整體設計。碎片化的數學內容，無法把數學的本質表述清楚，更無法體現數學的核心素養。可以把這樣的整體稱為單元或者主題，把這些內容前后照應進行教學設計，就可以在關注知識與技能的同時，思考知識與技能所蘊含的數學本質、體現的數學思想，最終實現學生形成和發展數學學科核心素養的目標。

在2-1學習橢圓的標準方程時，在必修一與四學習了函數圖像的伸縮變換，雖然圓與橢圓不是函數，但它們都存在對應關系，這樣就較為自然地從伸縮變換的角度揭示了圓與橢圓的關系即橢圓可以由圓沿某一方向“壓扁”得到。經過這樣的壓縮后，圓的每條半徑變成連接橢圓中心與橢圓上一點的線段。其中最長的為長半軸，最短的為短半軸。圓的大小由半徑決定；橢圓的形狀和大小由長半軸和短半軸決定。這樣就有效地將圓與橢圓整合在一起，為解決橢圓的一些問題做好了較為充分的鋪墊。

如在湘教版第39頁例3：對不同的實數m，討論直線y=x+m與橢圓x24+y2=1的公共點的個數。我們常規解法是聯立直線與橢圓方程，消元后通過Δ來判斷，其實我們也可以通過伸縮變換把橢圓方程與直線方程先進行變換成圓與新的直線，利用圓心到直線的距離與半徑的大小也可得出正確答案，過程如下：令x′=x2y′=y，則直線l：y=x+m可化為2x′-y′+m=0，橢圓x24+y2=1可化為圓O：（x′）2+（y′）2=1，則圓心到直線的距離d=|m|5，所以當|m|>5時，直線與橢圓相離，當|m|=5時，直線與橢圓相切，當|m|<5時，直線與橢圓相交。這樣，就讓學生再一次感受了圓與橢圓間的密切關系，也告訴學生許多問題可以通過化歸與轉化的方法來解決。

雖然我們高中數學課程內容的選擇遵循了以三條原則：基礎性、發展性與可行性；但模塊化的課程結構，使得同一主題的內容分散在不同模塊中，割裂了數學內容之間的邏輯聯系。而發展性就要求課程要具有自我生長的活力，容易在新情境中引發新思想和新方法；可行性是針對學生的，相互之間有交叉。所以，如果單純在模塊內進行教學是無法很好實現發展性與可行性的；《課標》中也這樣寫到：學生數學學科核心素養的形成與發展，是在教師的啟發和引導下，學生通過自己的獨立思考或與他人交流，最終自己“悟”出來的，是一種逐漸養成的思維習慣和思想方法。因此，在教學活動中，把握數學內容的本質、精心設計合適的教學方案就非常重要。數學學科核心素養的養成是日積月累的結果，因此需要整體設計、分步實施。

再如在圓中有性質：直徑所對的圓周角等于90°即圓上的動點與直徑兩端點連線的斜率之積等于-1。因為橢圓x2a2+y2b2=1可由x′=xay′=yb伸縮變換成（x′）2+（y′）2=1，則單位圓上任意一點P（x′，y′）與A（-1，0）、B（1，0）連線的斜率之積為-1即KPA·KPB=y′x′+1·y′x′-1=（y′）2（x′）2-1=-1y2b2x2a2-1=-1y2x2-a2=-b2a2即橢圓上任意一點P（x，y）與長軸上的兩頂點A（-a，0）、B（a，0）連線的斜率之積為定值-b2a2，這樣很自然地讓學生理解并推導出了橢圓中重要的一個結論；同時再次讓學生體驗了數學學習的環環相扣及數學不同章節之間的繼承與發展。事實上這一結論如果不從橢圓與圓的關系來揭示是很難發現的，雖然證明并不難。章建躍博士就強調代數要教歸納，而幾何要教類比；研究對象在變，但研究套路與思想方法不變。

今天，我們沐浴在新世紀的曙 光里。中國數學教育呼喚著新的變革；素質教育要落實在數學課堂上；新一輪數學課程改革已經拉開序幕那就是要深入研究數學知識間的內在聯系，在問題引導下進行有效研究，這比使用多媒體技術與計算機課件上課更為重要，因為這能讓學生更好地學會學習，發現數學眾多知識間的有機與密切關聯，這也正是數學的最大價值——發展人的思維，讓人變得更聰明而且更愛學與善學。使學生在數學學習中樹立自信與啟迪智慧。課程標準也認為普通高中教育的任務是促進學生全面而有個性的發展，為學生適應社會生活、高等教育和職業發展做準備，為學生的終身發展奠定基礎。愛因斯坦說過：“知識是會忘記的，留下來的是教育?！彼哉莆罩R并不是教育的最終目的，發展認識力才是教育的最大目標。因而我們的教學應該是教會學生去思考、去繼承與發展，進而提升自己的認識能力與水平實現自我的發展與跨越！

作者簡介：

林志坤，福建省龍巖市，福建省長汀一中。