關(guān)于積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)

重慶交通大學(xué) 段成均

由于積分上限函數(shù)是一個(gè)全新的概念，對(duì)它的學(xué)習(xí)，我們必須把握對(duì)數(shù)學(xué)概念理解的通用的步驟，那就是：概念的引入，概念的準(zhǔn)確描述，概念所定義對(duì)象的性質(zhì)，給定對(duì)象是否滿足概念的定義，與概念相關(guān)的技巧培養(yǎng)。

一、相關(guān)概念的回顧及積分上限函數(shù)的引入

x 1 2 3 4… x 2 8 …

二、積分上限函數(shù)的意義是給出f（x）的一個(gè)原函數(shù)

定理1： 設(shè)f（x）在區(qū)間[a，b]2上連續(xù)，則φ（x）可導(dǎo)并且φ'（x）=f（x）。

通過(guò)對(duì)定理的證明，加深學(xué)生對(duì)f（x）的連續(xù)性假設(shè)的理解。同時(shí)給出不定積分與積分上限函數(shù)的聯(lián)系，即f（x）的原函數(shù)與積分上限函數(shù)相差常數(shù)C：

三、關(guān)于積分上限函數(shù)的分析性質(zhì)的討論

在介紹和證明積分上限函數(shù)的分析性質(zhì)時(shí)，除了定理1 中的可微性，我們還可以補(bǔ)充一個(gè)關(guān)于它的連續(xù)性的命題。即：

定理2：設(shè)f（x）在區(qū)間[a，b]2上可積分，則φ（x）在[a，b]2上連續(xù)。

為了讓學(xué)生對(duì)φ（x）的連續(xù)性和可導(dǎo)性有更直觀的了解，介紹如下例題：

解：因?yàn)閒（x）在[-1,2]有界且僅有一個(gè)間斷點(diǎn)，所以f（x）在[-1,2]可積分，從而φ（x）在[-1,2]連續(xù)。

四、與概念相關(guān)的技巧訓(xùn)練

為了讓學(xué)生熟練掌握上面的求導(dǎo)公式，我們由淺入深地講解如下三個(gè)例題。例2 是常見(jiàn)積分上限函數(shù)求導(dǎo)，例3 是關(guān)于積分上限函數(shù)的極限訓(xùn)練，例4 是常見(jiàn)兩類特殊函數(shù)求導(dǎo)。

例2 計(jì)算下列各題：

例4 （1）已知求F'（x）。

分析：被積函數(shù)里含有x，故F（x）不是積分上限函數(shù)，但我們可以通過(guò)將x提到積分號(hào)外或換元，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可以利用積分上限函數(shù)導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題來(lái)做。

（2）令μ=t-x，dt=du，

所以F'（x）=f'（-x）。

總的來(lái)說(shuō)，在講解一個(gè)新概念時(shí)，我們要思考概念是怎樣引入的，和已經(jīng)學(xué)過(guò)的舊概念有什么內(nèi)在聯(lián)系，概念的實(shí)質(zhì)是什么，利用概念及其相關(guān)結(jié)論可以解決哪些問(wèn)題。同時(shí)，由于數(shù)學(xué)概念非常抽象，所以我們要想辦法降低其抽象度，以具體數(shù)字代替公式中的字母，用具體表達(dá)式代替抽象表達(dá)式，多從學(xué)生角度思考問(wèn)題，教學(xué)效果會(huì)一步一步得到提高。