二重積分計(jì)算公式的一個(gè)推導(dǎo)方法

中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)教學(xué)部 鄭紅芬 賈屹峰

直角坐標(biāo)系下二重積分化為二次積分，是重積分的基礎(chǔ)，傳統(tǒng)的方法是通過(guò)計(jì)算平行截面面積已知立體的體積完成的。在[2]中，采用的坐標(biāo)系不是常見的，而且推導(dǎo)過(guò)程中需要把立體的圖形平面化，使得部分學(xué)生難以理解。這里采用生活中常見的切片面包作為實(shí)物模型，利用元素法直接計(jì)算曲頂柱體的體積，得到二重積分的計(jì)算公式，將抽象的知識(shí)具體化，并在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中得以應(yīng)用，取得了很好的效果。

根據(jù)二重積分的幾何意義，二重積分的計(jì)算歸結(jié)為求曲頂柱體的體積。圖1 所示的面包外形是曲頂柱體，我們以此為具體的實(shí)物模型，計(jì)算曲頂柱體的體積。

圖2 是圖1 面包所對(duì)應(yīng)的曲頂柱體。設(shè)曲頂所對(duì)應(yīng)的曲面方程為z=f(x，y)，其在xOy面上的投影D是Y型區(qū)域，即：

圖1 中的面包是切片面包，在圖2 中，相當(dāng)于用一組垂直于y軸的平面 截曲頂柱體，將其分割成n個(gè)薄曲頂柱體，其中，y0=c，yn=d，且y0＜y1＜…＜yn

如果能夠算出所有面包片的體積V（yi），代入上式，即可求得整個(gè)面包的體積V。從圖2 中任取一個(gè)薄曲頂柱體，如圖3。

圖3

其中，A(y)是垂直于y軸的平面截曲頂柱體所得的截面積。

如果能夠求出截面積A(y)，代入（7）式，就可以計(jì)算出曲頂柱體的體積。為了求截面積A(y)，首先需要知道截面是什么圖形，任取一個(gè)面包片，把它的外形畫在黑板上，如圖4。

圖4

圖5

則任一垂直于y軸的平面，截曲頂柱體所得的截面面積為

把上式代入(7)式，可得曲頂柱體的體積

曲頂柱體的體積也就是二重積分的值，進(jìn)一步可以寫成：

從而，二重積分就化為了二次積分，f(x,y)＜0，上式仍然成立，因此，（15）式就是Y 型區(qū)域二重積分的計(jì)算公式。

以切片面包輔助推導(dǎo)二重積分計(jì)算公式具有非常好的直觀性，學(xué)生獲得豐富的感性認(rèn)識(shí)，在把課本上的知識(shí)同現(xiàn)實(shí)生活結(jié)合起來(lái)的同時(shí)，使得高等數(shù)學(xué)不再枯燥，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)課程的興趣。