“正弦定理”教學設計

吳晨

【摘 要】本文通過具體實例抽象出數學問題，結合已有知識，探究并證明正弦定理，通過發現問題、解決問題的過程，以及例題講解細化正弦定理的應用。

【關鍵詞】三角形;邊角關系;正弦定理

一、教學內容分析

1.教材內容及地位

三角函數是基本初等函數，是一種重要的數學模型，在數學和生產生活中具有重要作用，解三角形則是三角函數知識的延伸。通過對任意三角形的探索，能使學生發現三角形中的邊長與角度之間的數量關系，進而得到并掌握正弦定理、余弦定理，從而應用其解決一些簡單的與測量和幾何計算有關的實際問題。

2.教學重點

通過對三角形邊角關系的研究，證明正弦定理，并用它們解決有關問題。

3.教學難點

將銳角三角形、鈍角三角形轉化為直角三角形，證明猜想。

二、教學目標分析

1.通過對具體實例的思考，直觀感受測量問題中需要進一步研究任意三角形邊與角的關系，激發學生分析問題與解決問題的積極性。

2.通過對三角形邊角關系的探究、小組討論，知道正弦定理的證明過程，體會由特殊到一般及轉化與化歸的數學思想。

3.會敘述正弦定理，能總結出應用正弦定理可以解決的解三角形問題，體驗方程思想在解三角形問題時的重要作用。

三、學生學情分析

學生通過初中的學習，已經掌握了相關邊角關系的定性結果，在高中必修四中又學習了三角函數、平面向量等相關知識，但對前后知識間的聯系、理解、應用有一定困難。教師在教學中要恰當引導學生，并通過小組合作的方式，自主探究正弦定理的證明過程，從而提高學習主動性，并品嘗勞動成果的喜悅。

四、教學策略分析

1.引導發現

以三張圖片展現具體測量實例，引出解決問題的具體辦法——深化三角形的邊角關系，實現目標1。

2.探索證明

以直角三角形為例，推導出■=■=■，并大膽猜想其在一般三角形中也成立，學生分組探究，加以證明，并總結定理，實現目標2。

3.應用舉例

通過例題，總結出正弦定理的兩個主要應用，體會正弦定理解決實際問題的過程，從而實現目標3。

五、教學過程分析

1.創設情境，引入課題

問題1：（1）我國古代就有嫦娥奔月的神話故事，那月亮離我們到底有多遠呢？（2）湖南衛視的一檔節目《奇妙的朋友》中有一個任務是測量長頸鹿的身高，怎樣測量更方便呢？（3）在無法到達河對岸的情況下，如何測得河的寬度呢？

【設計意圖】以身邊的實例激發學生研究問題的興趣，經過引導，將問題歸結為三角形的邊角關系。

問題2：在初中我們學習過哪些與三角形邊角有關的結論呢？

【設計意圖】初中已學習過“大邊對大角，小邊對小角”這一定性結論，而具體的距離、高度等是數量，教師需引導學生探究任意三角形中角A、B、C與邊a、b、c之間的定量關系。

2.小組合作探究，探索定理

問題3：哪種三角形特殊？在初中我們學過哪些與直角三角形有關的結論呢？

【設計意圖】從直角三角形出發，發現并證明■=■=■成立。大膽猜想這一結論對斜三角形也成立。

活動1：分組討論，證明上式在銳角三角形中成立。

活動2：類比銳角三角形中證明上式成立的方法，證明其在鈍角三角形中也成立。

【設計意圖】轉化與化歸思想在高考中占有十分重要的地位，這里通過將銳角三角形轉化為直角三角形，應用三角函數定義表示出高線，進而證明該結論也對銳角三角形成立;學生通過分組討論，應用類比思想加以證明，體驗從大膽猜想到小心求證的數學發現過程，進而得到正弦定理。

問題4：誰能給大家總結一下正弦定理的內容？

【設計意圖】檢測目標3。

3.典例精講

問題5：已知邊長a、角A、角B，能求邊長b、c及角C嗎？已知邊長b、角A、角C，能求邊長a、c及角B嗎？以上的解唯一嗎？

【設計意圖】引出解三角形的定義，并總結出應用正弦定理可以解決的一類問題，即已知角角邊、角邊角解三角形，發現其恰好為初中學習過的三角形全等的判定定理之中的兩條，使得學生的知識框架更為完整。

例1：在△ABC中，已知A=32.0°，B=81.8°，a=42.9cm，解三角形。

例2：在△ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40°，解三角形。

變式：在△ABC中，已知b=10，c=5■，C=60°，解三角形。

【設計意圖】檢測學生對正弦定理的理解程度，并考查能否運用方程思想完成解答。由此總結出正弦定理的兩個應用：（1）已知兩角及任意一邊，可以求出其他兩邊和另一角;（2）已知兩邊和其中一邊的對角，可以求出三角形的其他的邊和角。又通過變式講解，引導學生進一步明確什么情況下三角形的解是唯一的，什么情況下三角形的解不確定，為下節課做鋪墊。

4.總結知識，優化結構

課堂小結：由學生自己總結本節課學到的正弦定理的內容及主要應用。

【設計意圖】理清本節課的教學重點，使學生明確知道本節課學習了什么以及該如何應用。

5.作業設計

課后探究：

（1）正弦定理的其它證明方法。

（2）已知三角形兩邊及其中一邊的對角，三角形解的情況。

（3）■=■=■的比值等于什么？

作業：

教科書第4頁練習1、2。

六、教學評價與反思

需要教師的精心設計，平衡高中課堂學習時間的有限性與對學生數學能力的培養，。在本節教學設計中，運用問題解決教學引導學生思考，能夠充分還給學生自主學習、主動探究的時間，使其以小組討論的形式，運用轉化與化歸的數學思想證明出正弦定理。學生積極性很高，能通過親身體驗透徹理解正弦定理并清除分析相關問題，在后續的例題講解中學生作答流暢，基本完成了預設的學習目標。

【參考文獻】

[1]劉紹學.普通高中課程標準實驗教科書必修5[M].北京：人民教育出版社，2007

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003