μ測度點以及乘積空間X×X上概率測度的兩個性質

陳 平

(江蘇第二師范學院 數學與信息技術學院,江蘇 南京 210013)

本文的主要工作受益于文獻[5]中第六節內容的啟發。在該文獻中，作者證明了乘積空間Hn×Hn上概率測度的兩個性質定理，其中Hn指Heisenberg群(Hn,d,L2n+1)，這里d指測地距離，L2n+1為2n+1維Lebsegue測度。這兩個性質定理是證明Heisenberg群上的最優運輸問題中最優映射的存在性的重要基礎定理[5]。在該文獻的第六節第一段結尾部分，作者提及當Heisenberg群推廣至任意可分的加倍的度量測度空間(X,d,μ)時，乘積空間X×X上概率測度應該具有類似的性質，但作者并未給出證明。為此，本文詳細證明了這兩個性質定理。我們將使用如下記號：(X,d,μ)為可分的加倍的度量測度空間，簡記為X，其中加倍是指存在常數c0>0，使得對任意x∈X和r>0有μ(B(x,2r))c0μ(B(x,r))成立。P(X)表示X上的概率測度。如果ν,μ∈P(X)滿足如下性質：對集合A?X，如果μ(A)=0，則ν(A)=0，那么稱測度ν關于測度μ絕對連續，并記為ν<<μ。對與給定的的映射T:X→X以及μ∈P(X)，T#μ為X上的一個概率測度，定義如下:T#μ(A)=μ(T-1(A))，其中A?X為任意Borel集合。關于Newton空間等更多的度量測度空間的相關知識可以參閱文獻[1、2、7、8]。

1 μ測度點的定義及性質

在證明乘積空間X×X上概率測度的性質定理之前，我們首先給出(X,d,μ)上函數和集合的μ測度點的定義，這一概念是Heisenberg群上函數和集合的Lebsegue點的推廣。此外，在本節中我們還討論了函數和集合的μ測度點的性質。

定義1.1(函數的μ測度點) 設(X,d,μ)是一個具有加倍測度的度量空間，f:X→[0,+)為μ-局部可和Borel函數，如果有

成立，則稱點x∈X為函數f的μ測度點。函數f的全體μ測度點組成的集合記為Mea(f)。

定義1.2(集合的μ測度點) 設E?X，如果點x∈E是集合E的特征函數χE的μ測度點,則稱點x稱為集合E的μ測度點。集合E的全體μ測度點組成的集合記為Mea(E)。

如下兩個引理分別說明函數和集合的μ測度點性質。

引理1.4如果f∈L1(X,d,μ),則μ(XMea(f))=0。該式說明μ幾乎處處x∈X是函數f的μ測度點。

證明：對任意x∈X和r>0定義如下函數

和

要證明命題成立，僅需證明對于μ幾乎處處x∈X有Tf=0成立。

取λ>0，n為正整數，因為連續函數族C(X,d,μ)是函數族L1(X,d,μ)的稠密子集，因此存在g∈C(X,d,μ)使得||f-g||L1(X,d,μ)<1/n取h=f-g，因為g連續，因此對任意給定的x∈X，有

將最后一步等式右側第一項記為(Mh)(x)，則有(Th)(x)(Mh)(x)+|h(x)|，?x∈X。此外，由TrfTrh+Trg可知

因此

{x:(Tf)(x)>2λ}?{x:(Mh)(x)>λ}∪{x:|h(x)|>λ}

(1)

將(1)中右側的并集記為E(λ,n)，分別估計(1)中右側兩項的μ測度。因為空間(X,d,μ)可分且測度具有加倍性質，因此文[6]中引理7.3成立，僅將第三條結論修改為μ(W)事實上，因為其中B(xi,3ri)，i∈S不相交，所以μ(W)進一步的，類似于文[6]中定理7.4的結論也成立，即

μ{x∈X:(Mh)(x)>λ}

(2)

此外，令E={x∈X:|h(x)>λ|},則有λμ(E)因此

μ(E)λ-1‖h‖L1(X,d,μ)

(3)

由上述(2)和(3)可得

μ(E(λ,n))

(4)

注意到(1)的左側與n無關，因此

引理1.5設E?X，則μ(EMea(E))=0，即對于E中μ幾乎處處的x，x是集合E的μ測度點。此外有下式成立:

(5)

證明：因為χE∈L1(X,d,μ)，由定義1.1，引理1.4可知,對于μ幾乎處處x∈X，有

因此

從而命題得證。

2 乘積空間X×X上概率測度的兩個重要性質

基于上一節中的定義，我們給出如下兩個性質定理。這兩個定理對于我們研究一般度量測度空間上最優運輸問題[3、4、5、7、8]解的存在性，尤其是最優映射的存在是至關重要的。

1.y∈B(y′,r′)??B(y,r)，

2.x∈Mea(ρ)并且ρ(x)<+，

3.x∈Mea(ρ′)并且ρ′(x)<+，

其中ρ和ρ′分別表示測度(π1)#γ和測度(π1)#γ|(X×B(y′,r′))關于測度μ的密度。

γm,k:=γ|(X×B(ym,rk))，

并將測度(π1)#γm,k關于測度μ的密度記為ρm,k，此外設

Am,k:=X(Mea(ρ)∩Mea(ρm,k)∩{ρ<+})

以及Dm,k:=[X(Mea(ρ)∩Mea(ρm,k)∩{ρ<+}∩{ρm,k>0})]×B(ym,rk)，我們首先證明γ(Dm,k)=0。

由引理1.4以及定義1.3中密度的非負性可得

μ(Am,k)μ(X(Mea(ρ))+μ(XMea(ρm,k))+μ({ρ<+})=0，

因為(π1)#γ<<μ，所以

(π1)#γ(Am,k)=0，

(6)

又因為

γ({ρm,k=0}×B(ym,rk))=(π1)#γ({ρm,k=0})=0,

(7)

所以由上述(6)和(7)可知：

γ(Dm,k)(π1)#γ(X(Mea(ρ)∩Mea(ρm,k)∩{ρ<+}∩{ρm,k=0}))

(π1)#γ(Am,k)+(π1)#γ{ρm,k=0})=0

定理2.2設γ∈P(X×X)滿足(π1)#γ<<μ。假設γ集中在σ緊集Γ上。對任意x∈X和r>0，令

(8)

證明：證明依賴于空間X的可數覆蓋以及測度μ的加倍性質。證明過程可以參閱文[5]中的引理6.2。令

右側集合的μ測度為零。因為(π1)#γ<<μ，因此γ(A)(π1)#γ(π1(A))=0。