一類擬線性橢圓方程解的存在性

高 芳, 陳 林

(伊犁師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)分院,新疆 伊寧 835000)

1 引言及主要結(jié)果

近年來,許多學(xué)者研究了依賴于解的梯度項(xiàng)的擬線性橢圓問題

(1)

(2)

正解的存在性。其中1

由于我們尋求的是問題(2)正解的存在性,為研究問題的方便,我們作如下假設(shè):

(A1)對(duì)于所有的t<0和ζ∈N,有f(t,|ζ|p-2ζ)=0成立。

(A2)對(duì)于所有ζ∈N,有成立。

(A3)存在q∈(p,p*),使得對(duì)于所有ζ∈N,有成立,其中

(A4)[4]假定函數(shù)f滿足Ambrosetti-Rabinowitz超線性條件,即存在θ>p,使得對(duì)于所有t>0和ζ∈N,有

成立。

(A5)存在m,n>0,使得對(duì)于所有s>0和ζ∈N,有F(s,|ζ|p-2ζ)≥msθ-n成立。

(A6)對(duì)于任意的ζ∈N,函數(shù)關(guān)于t>0是單調(diào)遞增函數(shù)。

(A7)存在常數(shù)ρ1,ρ2>0,對(duì)于任意的ζ∈N,t1,t2∈[0,ρ1]及|ζ|ρ2,有

|f(t1,|ζ|p-2ζ)-f(t2,|ζ|p-2ζ)|M1|t1-t2|p-1

成立。

(A8)存在常數(shù)ρ1,ρ2>0,對(duì)于任意的ζ∈N,t∈[0,ρ1]和|ζ1|,|ζ2|ρ2,有

|f(t,|ζ1|p-2ζ1)-f(t,|ζ2|p-2ζ2)|M2|ζ1-ζ2|p-1

成立。

下列不等式在證明結(jié)論過程中起著重要作用

(3)

其中,Dp是一個(gè)實(shí)數(shù),〈·,·〉是N中的內(nèi)積。

2 不依賴于解的梯度項(xiàng)問題

(4)

顯然問題(4)具有變分結(jié)構(gòu),因此問題(4)弱解的存在性問題可轉(zhuǎn)化為它的能量泛函的極值問題。定義問題(4)的能量泛函為

首先,我們證明能量泛函Jτ滿足山路定理的幾何條件。

引理2.1[5]假定Ω是具有C1邊界的N(N≥3)中的有界開區(qū)域且0∈Ω。設(shè)-

證明:由條件(A2),(A3)和(A4)知,存在δ>0及D>0成立

|F(t,|ζ|p-2ζ)|

根據(jù)引理2.1,我們做以下估計(jì):

證明:由條件(A5)和引理2.1知

(5)

由于θ>p,從而當(dāng)s足夠大時(shí)(5)式右端小于等于零。引理2.3證畢。□

下面我們證明問題(4)正解的存在性。

證明:由引理2.2和2.3知，泛函Jτ(u)滿足山路定理的幾何條件。由沒有(PS)條件的山路定理(參見文獻(xiàn)[4])可知,存在一個(gè)序列{un}?W1,p(N),使得Jτ(un)→dτ和成立,

其中

dτ=infγ∈Γmaxt∈[0,1]Jτ(γ(t))>0

而

Γ={γ∈C([0,1],W1,p(N)):γ(0)=0,γ(1)=Iv0},

且v0和I的定義與引理2.3中的一致。

由條件(A4)知

因此,存在一個(gè)正常數(shù)D4成立

D4‖un‖pdτ+‖un‖。

由于{un}在W1,p(N)中有界,從而存在一個(gè)子序列(仍然用{un}表示)和uτ∈W1,p(N),使得當(dāng)ptp*時(shí),{un}在W1,p(N)中弱收斂于uτ,{un}在N)中強(qiáng)收斂于uτ及un(x)在N中幾乎處處收斂于uτ(x)。由文獻(xiàn)[6]知,在N中幾乎處處收斂于此外,在文獻(xiàn)[7]中,對(duì)于所有的ψ∈W1,p(N),當(dāng)n→時(shí)成立

再根據(jù)勒貝格控制收斂定理(參見文獻(xiàn)[8]),對(duì)于所有的ψ∈W1,p(N),當(dāng)n→時(shí)成立

因此,對(duì)于所有的ψ∈W1,p(N),有成立。

若uτ≡0,我們證明存在一個(gè)序列{yn}?N和σ,R>0,使得

(6)

定義vn(x)=un(x+yn),我們利用N中的平移不變性可以得到,Jτ(vn)→dτ和并且,vn在W1,p(N)中弱收斂于vτ,vn在Lp(BR(0))中強(qiáng)收斂于vτ,其中vτ是能量泛函Jτ的一個(gè)臨界點(diǎn)。由(6)知,vτ是非空的。引理2.4證畢。□

證明：由于uτ不恒等于0,由條件(A2)和(A3)知

故

(1-D5δ)‖uτ‖pD6D‖uτ‖q。

引理2.5證畢。□

證明：由條件(A6)知

取函數(shù)v0(同引理2.3),由條件(A5)知

dτ

故

‖uτ‖

引理2.6證畢。□

3 定理1.1的證明

-div(|x|-ap|un|p-2un)+V(x)|un|p-2un=f(un,|un-1|p-2un-1)

(Pn)

利用(Pn+1)和(Pn),可得

因此

‖un+1-un‖pun|p-2un)-f(un,|un|p-2un)](un+1-un)dx

利用條件(A7)和(A8)可以做以下估計(jì):

利用H?lder不等式得

‖un+1-un‖

由于系數(shù)h小于1,且序列{un}在W1,p(N)中強(qiáng)收斂于u,從而,{un}在W1,p(N)中是一個(gè)柯西序列,并且對(duì)于所有的n∈N+,有‖un‖≥R1成立,故在N中u>0。定理1.1證畢。□