輪轂電機驅動汽車區域極點配置橫向穩定性控制*

黃彩霞，雷 飛，胡 林，張志勇

（1.湖南大學，汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙 410082； 2.湖南涉外經濟學院機械工程學院，長沙 410205；3.長沙理工大學汽車與機械工程學院，長沙 410114）

前言

橫向穩定性控制是車輛動力學控制的重要內容，對提高車輛安全性能至關重要。輪轂電機驅動汽車借助分布式驅動結構，實現4個車輪轉矩的獨立控制，極大地擴展了車輛橫向穩定性控制的應用范圍。開展分布式驅動電動汽車的橫向穩定性控制是充分體現該類驅動方式優勢的基礎，對推進該類電動汽車產業化具有重要意義。正因如此，該研究方向已成為國內外學者的研究熱點［1-6］。

車輛在低附著路面高速行駛時，容易因輪胎側向力不足導致車輛橫向失穩，進而發生嚴重的交通事故。車輛橫向穩定性控制系統通過對期望質心側偏角和橫擺角速度的跟蹤，借助直接橫擺力矩實現車輛行駛姿態的調整，避免車輛因輪胎側滑沖出車道，或因嚴重過度轉向導致車輛側翻。如何減小質心側偏角和橫擺角速度實際值與期望值之間的誤差，屬于車輛橫向穩定性控制系統的上層控制策略。這些控制策略主要包括：定義橫擺角速度跟蹤誤差為滑模面，通過計算橫擺力矩調整量實現期望橫擺力矩決策的滑模控制［7］；基于李雅普諾夫判定法，使得以質心側偏角和橫擺角速度跟蹤誤差為狀態量的控制系統漸近穩定的魯棒控制［2］；基于滾動時域優化，求解橫擺力矩最優控制增量的模型預測控制［3］。另外，基于模糊控制或PID控制，及其與其他控制方法組合的控制策略也是常被采用的控制策略［4，8-9］。以上方法可以分成兩類，基于模型的控制策略和非基于模型的控制策略。其中，滑模控制、魯棒控制和模型預測控制等屬于基于模型的控制策略。對于該類策略，參考模型的精度是影響控制性能的重要因素。考慮到精確模型的結構和模型參數的時變性和非線性，建立精確的被控對象模型顯然不切實際。因此，如何提高控制策略的魯棒性非常重要。對于非基于模型的控制策略，控制器參數的整定尚無高效、準確的方法，一般只能借助工程師的經驗和反復試驗進行整定。雖然提出了一些自適應參數調整或優化的方法［10］，但其實時性有待檢驗。

上層控制策略計算的期望橫擺力矩必須通過輪胎縱向力產生相對于質心的橫擺力矩來實現，因此轉矩分配控制是車輛橫向穩定性控制的另一個關鍵技術，屬于下層控制策略。一類簡單的轉矩分配控制方法，是根據橫擺角速度與車輪轉矩的確定關系，由期望值直接計算得到車輪的轉矩［10］，或根據輪胎的垂直載荷按比例進行車輪轉矩分配［11］。這種方法雖然計算量小，但考慮到路面附著系數的不確定性和附著極限，最終車輛是否能可靠提供期望轉矩不得而知。鑒于路面附著系數的時變性，在進行轉矩分配時的難點是如何確保每個車輪能可靠實現分配的期望轉矩。因此，常根據車輪滑移率進行轉矩分配控制［7］。這類方法一般基于線性規劃、粒子群算法等優化方法，在附著極限內獲得最優的車輪轉矩［4-6］。雖然該類方法綜合考慮了路面附著情況、電機最大輸出轉矩、期望橫擺力矩等問題，但優化過程的實時性同樣具有挑戰。

針對車輛動力學模型參數不確定性問題，以及轉矩分配的可靠性和實時性難點，本文中在橫向穩定性的上層控制策略中充分考慮參數不確定性，以此提高控制策略的魯棒性；其次在轉矩分配控制中，充分利用輪轂電機驅動的特點，通過驅動模式切換及驅動力與制動力同時產生橫擺力矩，參考車輪滑移率提出了規則化的轉矩分配策略；最后，為了驗證控制策略的有效性，本文中開展了控制系統的數值仿真和硬件在環仿真驗證研究。

1 車輛動力學模型

在進行車輛動力學控制策略性能驗證時，可以采用7自由度或8自由度車輛動力學模型作為被控對象［6，11］。限于篇幅原因，本文中不再介紹該模型，讀者可參考文獻［11］中的7自由度車輛動力學模型。本節中后續介紹的2自由度車輛動力學模型是控制器設計的參考模型，一般是對被控對象模型進行簡化，使之適合于控制器設計。期望動力學響應模型用于描述被控對象的理想動力學響應，是橫向穩定性控制策略跟蹤的目標。

1.1 2自由度車輛動力學模型

在2自由度車輛動力學模型中，非線性輪胎被簡化為線性模型，利用輪胎的側偏剛度和側偏角來計算輪胎側向力。2自由度線性車輛動力學模型假設整車為一個單質量的剛體，忽略車身懸架對動力學的影響，且車輛繞X軸和Y軸的轉速以及沿Z軸的位移都為0，如圖1所示。

2自由度線性車輛動力學模型的側向運動和橫擺運動方程為

圖1 2自由度線性車輛動力學模型

式中：m為車輛質量；Iz為車輛繞Z軸的轉動慣量；vx為車輛縱向車速；γ為橫擺角速度；lf和lr分別為質心到前軸和后軸的距離；Fyf為前軸兩個車輪的側向合力；Fyr為后軸兩個車輪的側向合力；M為直接橫擺力矩；tw為輪距；Fxw1，Fxw2，Fxw3和 Fxw4分別為左前、右前、左后和右后車輪的輪胎縱向力。

輪胎側向力的計算公式為

式中：Cf和Cr分別為前后軸輪胎的側偏剛度；αf和αr分別為前后軸輪胎的側偏角；δ為前輪轉角；β為質心側偏角。

將式（6）和式（7）代入2自由度線性車輛動力模型中，可得

表示為狀態方程：

由于輪胎側偏角較小，因此質心側偏角β與車身側向速度vy、縱向速度vx的關系可近似表達為

1.2 電機模型

輪轂電機是車輛橫向穩定性控制系統的執行部件，負責實現分配的期望轉矩。由于永磁同步電機的功率密度大、效率高和轉矩脈動小等優點，故選用該類型電機作為輪轂電機。理想的電機模型為

式中：Tm和Tc分別為電機輸出轉矩和期望轉矩；s為拉普拉斯變換算子。

為簡化電機模型，假設電機控制系統能精確實現期望轉矩，但兩者相差一個時間間隔τ；另外，電機輸出轉矩受最大轉矩限制，即

1.3 期望動力學響應模型

車輛期望動力學模型反映了車輛轉向行駛時的理想動力學響應，一般作為車輛動力學控制系統的控制目標，其中質心側偏角和橫擺角速度是表征車輛操縱穩定性的兩個重要參數。本文中以期望質心側偏角βd和期望橫擺角速度γd作為車輛期望模型的兩個狀態變量。從車輛操縱穩定性和安全性的角度來看，穩態轉向下的汽車，質心側偏角越小越易于糾正車輛側偏現象，因此質心側偏角的期望值可定義為 0［12］，即

前輪轉角和車輛縱向速度決定了期望橫擺角速度的大小，可表示為［13］

式中：τγ為時間常數；kγ為穩態橫擺角速度增益。

考慮到輪胎力存在極限值，車輛加速度應小于路面附著系數μ和重力加速度g的乘積，即

當車輛處于穩態時，由于車輛坐標系下的側向速度和縱向速度變化緩慢，因此，大地坐標系下的車輛側向加速度和縱向加速度為

將式（19）和式（20）代入式（18），整理可得

在橫向失穩之前，一般縱向速度遠大于側向速度，則式（21）可以簡化為［14］

綜上所述，期望動力學響應模型為

狀態方程形式的期望動力學響應模型表示為

2 橫向穩定性上層控制策略設計

2.1 控制策略設計參考模型

在車輛動力學控制系統研究中，基于模型的控制策略設計方法仍是當前最常用的方法之一，該方法通常需要基于線性的動力學模型，如2自由度線性車輛動力學模型進行控制律設計。定義質心側偏角和橫擺角速度的誤差向量為

以誤差向量為狀態變量的2自由度車輛動力學模型為

傳統的區域極點配置方法通過調整時間確定圓心距虛軸的距離，最小阻尼比確定極點配置圓的半徑，從而最終確定極點配置圓的圓心。由此可看出，傳統區域極點配置方法著重考慮系統的穩定性，較少考慮狀態變量和控制輸出的大小。在本文中，綜合考慮上述因素，定義如下的代價函數：

式中：Q＝QT＞0，R＝RT＞0分別為狀態變量和控制輸出的權重矩陣，用于調整狀態偏差和控制輸出大小在代價函數中的權重。

在2自由度線性車輛動力學模型中，輪胎側向力計算模型將側偏剛度簡化為常數，這顯然不符合輪胎的強非線性特點。由此可見，控制策略設計參考的2自由度線性車輛動力學模型與非線性車輛動力學模型存在較大誤差，要確保基于前者設計的控制律對后者的有效性，必須在控制律設計過程中充分考慮參數不確定性，以便控制律對參數不確定性具有魯棒性。

定義參數攝動矩陣ΔA，ΔB1和ΔB2可分別分解為兩個矩陣的乘積。

式中：H1與E1，H2與 E2和 H3與 E3為定常矩陣，分別為參數攝動矩陣ΔA，ΔB1和ΔB2的分解矩陣；F（t）為參數變化矩陣，滿足 FT（t）F（t）＜I，I為合適維數的單位矩陣。

相較于文獻［15］中所采用的參數攝動矩陣分解方式，式（28）所示的分解方式更靈活，更有利于實現參數不確定性的表述。參數波動幅值與控制律增益直接相關［16］，一般而言，考慮參數波動幅值越大，即參數不確定性幅值越大，控制律的增益也會越大，不僅導致控制系統輸出越大，而且容易導致控制器增益求解過程無解。因此，在控制器設計過程中考慮多大的參數波動幅值，需要綜合考慮真實的參數變化范圍，以及控制器增益的可解性和控制器輸出大小。

一般認為橫擺角速度可直接測量，而質心側偏角可通過車輛估計算法進行在線估計［17-19］。因此，本文中提出的車輛橫向穩定性控制律采用狀態反饋控制方式。在考慮參數不確定性的條件下，式（26）所示車輛動力學模型的控制系統表述為

式中K為控制器增益。

2.2 基于區域極點配置的控制策略設計

定理 對于具有參數不確定性的式（29）車輛橫向穩定性控制系統和式（27）保性能代價函數，如果存在以下矩陣：X＝P-1＞0，W，e1＞0和 e2＞0，使得式（30）的矩陣不等式有解，則控制律K能使式（29）漸近穩定，極點位于圓盤 D（q，r）內，且具有式（27）表示的保性能。

在證明上述定理過程中，需要用到如下3個引理。

引理1［20］如果矩陣A的極點位于圓盤D（q，r）內，當且僅當存在一個正定的對角矩陣P＝PT＞0，使得下面的矩陣不等式成立：

引理 2（Schur補引理）［21］如果一個矩陣表示為如下的分塊形式：

則下式恒成立：

引理3［22］對于適當維數的實數矩陣H，E和F（t），如果 FT（t）F（t）＜I，則存在任意正實數 ε使下式成立：

定理證明過程如下。

對于考慮參數不確定性的式（29）被控系統，引理1通過引理2可變換為

加入式（27）保性能后，為

其中：AcΔ＝（A+ΔA）X+（B1+ΔB1）K

因為 Q＞0和 R＞0，比較式（35）和式（36），易知后者比前者更嚴格，即在滿足后者的情況下前者也肯定滿足。式（36）可變換為

利用式（28）進行不確定性矩陣進行替換，式（37）重寫為

根據引理3，可得

應用引理3，式（41）可重寫為式（30），因此定理得證。在控制器設計過程中，為避免過保守而無解的問題，需要試探性地確定參數不確定性上下界、攝動矩陣的分解方式和保性能代價函數的權重系數大小。

3 轉矩分配控制

式（29）所示的上層控制策略計算的期望橫擺力矩，需要通過下層控制器進行轉矩分配。在基于差動制動的轉矩分配控制中，通過4個車輪的制動力產生相對于質心的橫擺力矩實現。注意到，同一車輪的制動力和驅動力產生相對于質心的力矩方向相反。如果將給定的期望直接橫擺力矩同時通過制動車輪和驅動車輪實現，即采用差動制動和差動驅動相結合的轉矩差動分配控制，則可減小車輪轉矩輸出，提高路面附著能力。如圖2所示，期望橫擺力矩為1 000 N·m，如果僅通過制動右側兩個車輪，每個車輪需要通過制動力分別產生500 N·m的橫擺力矩。如果在制動右側車輪的同時，同時驅動左側兩個車輪，則每個車輪通過制動或驅動產生250 N·m的橫擺力矩，明顯降低了路面附著要求。但是，由于電機驅動受電機功率的限制，通過驅動產生縱向力的能力，遠小于通過制動產生縱向力的能力。因此，采用上述轉矩分配策略時，需要考慮驅動車輪能產生的最大橫擺力矩。另外，對于輪轂電機驅動汽車而言，車輪制動包括機械制動和再生制動兩種方式。在滿足再生制動條件時，車輛動能可以部分轉化為電能保存到電池中，不僅能減小機械制動系統的磨損，而且能提高能量利用率。

圖2 制動力與驅動力同時產生橫擺力矩的原理

本文中制定如表1所示的驅動力和制動力分配規則。分配規則根據期望橫擺力矩和轉向角的符號，確定需要制動和驅動的車輪。

表1 期望直接橫擺力矩分配規則

路面所能提供的最大驅動力或制動力受路面附著條件限制，高附著路面能提供的驅動力或制動力大，而低附著路面能提供的驅動力或制動力小。因此，期望橫擺力矩的分配還要考慮路面附著情況。根據輪胎特性曲線可知，當車輪滑移率為0.2左右時，產生的縱向力最大［4，10］。如果能將車輪的滑移率控制在0.2左右，就能最大限度地利用路面的附著極限，同時也有利于減小輪胎磨損。

單個車輪驅動時對質心產生的最大橫擺力矩為

式中：Tmax為電機的最大輸出轉矩；Re為輪胎滾動半徑。

結合驅動模式切換，在表1的基礎上，本文中進一步制定如下基于規則的轉矩分配策略（控制策略以M＞0為例進行說明，對于M＜0的情況，只需要將策略中的右輪和左輪對換，并取M的絕對值計算即可）。

（1）前輪未嚴重滑轉，且 T＾max≥0.5M時，左前輪制動，右前輪驅動。車輪分配的轉矩為

式中：Td和Tb分別為驅動轉矩和制動轉矩，且驅動轉矩為正，制動轉矩為負。

（2）前輪未嚴重滑轉，但 T＾max＜0.5M時，左前輪制動，右前輪驅動。車輪分配的轉矩為

（3）前輪嚴重滑轉，且 T＾max≥0.25M時，左側兩個車輪制動，右側兩個車輪驅動。車輪分配的轉矩為

（4）前輪嚴重滑轉，但 T＾max＜0.25M時，左側兩個車輪制動，右側兩個車輪驅動。車輪分配的轉矩為

上述控制策略中，當前輪嚴重滑轉時，驅動模式由前輪驅動切換至四輪驅動。為避免驅動模式的頻繁切換，只有當前輪任意車輪滑轉率大于0.5時切換至四輪驅動模式。由四輪驅動模式切換回前輪驅動模式的條件是兩個前輪的滑移率都小于0.1。

4 控制性能分析

初始車速為100 km／h，采樣時間Ts取0.01 s。主要車輛參數如下：m＝1450 kg；Iz＝4568 kg／m2；lf＝1.34 m；lr＝1.45 m；tw＝1.3 m；Tmax＝300 N·m；τ＝30 ms。由于車輛在低附著路面容易發生橫向失穩，因此本文中針對低附著路面工況，路面附著系數設定為0.5。車輛操縱方式為換道操作，前輪轉角輸入如圖3所示。

圖3 前輪轉角輸入

在控制系統性能分析過程中，以質心側偏角和橫擺角速度分別作為操縱性和穩定性的評價指標。

區域極點配置圓的圓心q和半徑r計算公式為

其中：σ＝4／ts；θ＝arccosζmin

式中：ts為調整時間；ζmin為最小阻尼比。在本文中，初步確定調整時間為0.8 s，最小阻尼比為0.1。

4.1 數值仿真分析

（1）確定參數下的控制性能分析

有無橫向穩定性控制系統時，質心側偏角和橫擺角速度對比如圖4所示。可見，沒有控制系統時，車輛質心側偏角明顯偏離期望值，駕駛員會感覺到車輛失去控制。另外，橫擺角速度也與期望值之間存在較大偏差，說明車輛橫向失穩嚴重。在控制系統的干預下，不僅質心側偏角更接近期望值，而且橫擺角速度也能較準確地跟蹤期望值，表明車輛同時具有較好的操縱性和穩定性。

圖4 確定參數下的控制性能對比

如前所述，本文中提出的轉矩分配控制方法（定義為PTAC方法）利用驅動力和制動力同時產生橫擺力矩，相對于差動制動方式能降低輪胎附著要求。當路面附著系數μ＝0.5時，兩種轉矩分配控制方法的性能對比如圖5所示。雖然兩種轉矩分配方法都能確保車輛的操縱穩定性，但差動制動分配方法的穩定性略低于PTAC方法。當路面附著系數μ＝0.3時，路面無法提供足夠大的制動附著力，差動制動分配方法無法通過輪胎縱向力可靠實現期望橫擺力矩。如圖6所示，PTAC方法的動力學響應仍能較好地跟蹤期望值，但差動制動分配方法下的動力學響應已嚴重偏離期望值，車輛發生橫失穩。圖7（a）和圖8（a）為PTAC方法的車輪輸出轉矩和車輪滑移率，圖7（b）和圖8（b）為差動制動分配方法的車輪輸出轉矩和車輪滑移率。由圖可知，PTAC方法能降低車輪的輸出轉矩，從而能在低附著路面保持較低的滑移率，避免輪胎滑轉。差動制動分配方法需要的最大車輪轉矩明顯比PTAC方法大，且在3 s左右出現輪胎抱死現象。

圖5 兩種轉矩分配方法的控制性能對比（μ＝0.5）

（2）具有參數不確定性的控制性能分析

假設輪胎側偏剛度相對于名義值上、下浮動50%，分別定義為參數上界和下界。式（28）中的參數攝動矩陣分解為

圖6 兩種轉矩分配方法的控制性能對比（μ＝0.3）

圖7 兩種轉矩分配方法的車輪轉矩對比（μ＝0.3）

圖8 兩種轉矩分配方法的車輪滑移率對比（μ＝0.3）

式中：Δf和Δr分別為前、后輪胎側偏剛度的不確定性幅值；Δ1和 Δ2分別為 1／τγ和 kγ／τγ的不確定性幅值，由輪胎側偏剛度不確定性導致。

圖9為具有參數不確定性時的控制性能對比。在參數具有不確定性時，控制系統仍能準確跟蹤期望值，確保車輛的操縱穩定性。對比圖4中的無控制時的質心側偏角和橫擺角速度，本文中提出的橫向穩定性控制策略對參數不確定性具有較強的魯棒性。

圖9 具有參數不確定性的控制性能對比

（3）保性能權重矩陣對控制性能的影響分析

保性能函數涉及的兩個權重矩陣，分別影響狀態偏差和控制輸出在代價函數中的比例。當增加控制輸出的權重矩陣時，有益于減小控制輸出。由于強調對控制輸出的限制，必將放低對狀態偏差的要求，可能導致控制性能變差。由于控制輸出權重矩陣R和狀態變量權重矩陣Q的影響是相對的，因此可以固定其中一個權重矩陣，而調整另一個權重矩陣［15］。圖10為狀態變量權重矩陣Q固定情況下，不同R值對控制性能的影響。由圖可知，R取值越大，質心側偏角和橫擺角速度的超調越嚴重，但控制策略計算的期望橫擺力矩越小。兩個性能指標與期望值的誤差均方根值如表2所示。表2同樣說明，調整R值能減小控制輸出，但會導致控制性能變差。

圖10 保性能權重矩陣對控制輸出的影響

表2 性能指標的誤差均方根值

4.2 硬件在環仿真試驗

為進一步驗證本文中提出的橫向穩定性控制策略的有效性，開展了硬件在環仿真試驗。在軟件方面，7自由度車輛動力學模型、橫向穩定性控制器（包括上層控制策略和下層控制策略）通過實時控制器NI PXIe 8133實時仿真。其中，7自由度車輛動力學模型、橫向穩定性控制器分別利用Matlab／Simulink編譯為動態鏈接文件后由Veristand／Simulation Models加載；車速、車輪滑移率、質心側偏角、橫擺角速度、前輪轉角等控制器輸入信號由模型定義的輸入輸出直接連接；TCP／IP協議程序利用Lab-View編譯后由 Veristand／Custom Devices加載。在硬件方面，車輪轉矩由4個輪轂電機測功試驗臺架組成的動力模擬模塊實現。動力模擬模塊通過4個模擬輸入模塊NDAM-3800采集4個轉矩傳感器轉矩信號；NI實時控制器PXIe 8133分配的4個電機期望轉矩通過模擬輸出模塊NDAM-4400傳輸至電機控制器和制動控制器；實時控制器與動力模擬模塊之間的數據通信由實時控制器的以太網網卡與動力模塊的通信模塊NDAM-9000基于TCP／IP協議實現；控制器輸出的4個車輪期望轉矩和實測轉矩通過TCP／IP協議程序在動力模擬模塊和實時控制器之間實現連接。硬件在環仿真的主要設備如圖11所示。

圖11 硬件在環仿真設備

圖12 為硬件在環仿真的質心側偏角和橫擺角速度與期望值的對比。由于受到電機轉矩噪聲、電機驅動系統和制動系統響應時間的影響，車輛橫向穩定性控制的性能相對于數值仿真有所降低，但控制系統仍然有效調整車輛行駛姿態，確保車輛不發生橫向失穩。

圖12 硬件在環仿真下的控制性能對比

5 結論

基于區域極點配置的輪轂電機驅動汽車橫向穩定性控制系統設計、數值仿真和硬件在環仿真的控制性能驗證，得到如下結論。

（1）基于區域極點配置的車輛橫向穩定性控制系統能提高車輛的操縱穩定性，且控制系統對參數不確定性具有較強的魯棒性。

（2）提出的規則化轉矩分配控制策略能可靠實現期望橫擺力矩，提高車輛在低附著路面的安全性。

（3）保性能權重矩陣參數中，增加控制輸出的權重矩陣，能減小控制輸出，但會降低控制性能。