基于改進(jìn)版Niederreiter的雙公鑰密碼方案

王眾 韓益亮

摘 要：基于編碼的密碼體制可以有效地抵抗量子計(jì)算攻擊，具有較好的可操作性以及數(shù)據(jù)壓縮能力，是后量子時(shí)代密碼方案的可靠候選者之一。針對量子時(shí)代中計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)的安全保密問題，對編碼密碼中的Niederreiter密碼方案改進(jìn)版進(jìn)行深入研究，提出了一種與雙公鑰加密方式相結(jié)合的密碼方案。所提方案的安全性相比Niederreiter方案改進(jìn)版以及基于準(zhǔn)循環(huán)低密度奇偶校驗(yàn)碼（QC-LDPC）的Niederreiter雙公鑰加密方案得到提升，在密鑰量方面相比傳統(tǒng)Niederreiter密碼方案的公鑰量至少下降了32%，相比基于QC-LDPC碼的Niederreiter雙公鑰加密方案也有效下降，在量子時(shí)代保證計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)安全表現(xiàn)出較強(qiáng)的可靠性。

關(guān)鍵詞：編碼密碼;Niederreiter密碼體制;系統(tǒng)碼;安全性分析;效率分析

Abstract： The code-based cryptosystem can effectively resist quantum computing attacks with good operability and data compression capability， and is one of the reliable candidates for the post-quantum era cryptographic scheme. Aiming at the security and confidentiality of computer data in the quantum era， the in-depth study of an improved Niederreiter cryptographic scheme in code-based cryptography was carried out， and a cryptographic scheme with combination of dual public-key encryption method was proposed. The security of the proposed scheme was improved compared with the improved Niederreiter scheme and the Niederreiter dual public-key encryptographic scheme based on Quasi-Cyclic Low-Density Parity-Check （QC-LDPC） code. The amount of keys in the scheme is at least 32% lower than that of traditional Niederreiter scheme， and is also effectively reduced compared with that of the Niederreiter dual public-key encryptographic scheme based on QC-LDPC code， which shows the strong reliability for ensuring computer data security in the quantum age.

Key words： code-based cryptography; Niederreiter cryptosystem; system code; security analysis; efficiency analysis

0 引言

量子技術(shù)的概念近來越來越多地進(jìn)入人們的視線，量子技術(shù)的計(jì)算能力在給人們帶來計(jì)算性能很強(qiáng)的并行計(jì)算、解決許多棘手問題的同時(shí)，也構(gòu)成了不容忽視的安全威脅。密碼學(xué)中的傳統(tǒng)公鑰密碼在量子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)后不會(huì)再像現(xiàn)在那么安全可靠，比如基于經(jīng)典數(shù)論理論的RSA（Rivest-Shamir-Adleman）公鑰加密算法、橢圓曲線密碼（Elliptic Curve Cryptography， ECC）、屬性基密碼等，將會(huì)在量子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)后不再可靠[1]。目前可以較為有效地抵抗量子計(jì)算攻擊的密碼體制主要有以下四種：基于編碼的密碼體制、基于格的密碼體制LWE（Learning With Errors）、基于Hash函數(shù)的密碼體制以及基于多變量的密碼體制。基于編碼的密碼體制具有較高的計(jì)算效率以及可操作性，是量子時(shí)代一種可靠的安全選擇。

基于編碼的公鑰密碼體制是在有限域上多元多項(xiàng)式環(huán)上定義和運(yùn)算的，此類密碼體制的算法核心是對一種糾錯(cuò)碼C的應(yīng)用，主要的特征即為添加一個(gè)錯(cuò)誤到碼字中或根據(jù)碼C的校驗(yàn)矩陣計(jì)算伴隨式。1978年，美國科學(xué)家McEliece[2]第一個(gè)運(yùn)用這種方法設(shè)計(jì)公鑰密碼算法，提出首個(gè)基于編碼理論的公鑰加密方案，其中私鑰為一個(gè)二元不可約Goppa碼，公鑰為該碼的生成矩陣被隨機(jī)化處理之后的結(jié)果。1986年，Niederreiter[3]提出了著名的基于Goppa碼的Niederreiter密碼體制。該方案的安全性被證明是與McEliece體制是相同的，Niederreiter體制的主要思想是從另一個(gè)角度利用隨機(jī)線性碼的譯碼困難問題，該方案隱藏的是Goppa碼的校驗(yàn)矩陣，Niederreiter體制相比McEliece體制，公鑰存儲(chǔ)量有所下降，而且具有更高的傳信率。2018年，劉相信等[4]提出了一種對Niederreiter公鑰密碼系統(tǒng)的改進(jìn)，可以隱藏明文的漢明重量來有效抵抗信息集譯碼（Information Set Decoding， ISD）攻擊等針對編碼密碼體制的攻擊，但是其安全性仍然可以在保障效率的前提下得到進(jìn)一步提升。到目前的研究階段，基于編碼理論的公鑰密碼學(xué)的研究重點(diǎn)主要放在了對碼的選擇上，以保證安全性的同時(shí)，提高實(shí)用性，降低方案的密鑰尺寸，由最開始的Goppa碼、Reed-Solomon碼[5]，到現(xiàn)在的準(zhǔn)循環(huán)中密度奇偶校驗(yàn)（Quasi-Cyclic Medium-Density Parity-Check， QC-MDPC）碼[6]、低密度奇偶校驗(yàn)（Low Density Parity Check， LDPC）碼[7]以及準(zhǔn)循環(huán)低密度奇偶校驗(yàn)（Quasi-Cyclic Low-Density Parity-Check， QC-LDPC）碼[8]等，通過不斷優(yōu)化碼字的選擇，編碼密碼的公鑰量切實(shí)得到有效減少，但是安全性并沒有得到明顯的提升。

雙公鑰的思想是對明文進(jìn)行二次加密，這種方法可以很好地提高公鑰密碼體制的安全性。2008年，張穎等[9]就曾利用雙公鑰對McEliece體制進(jìn)行改進(jìn)，使安全性有較好的提升，但是畢竟使用了雙公鑰的方式加密，會(huì)使得密鑰量增加，實(shí)用性不強(qiáng)。2016年，李沖等[10]提出了基于QC-LDPC碼的雙公鑰Niederreiter密碼方案，由于QC-LDPC碼的采用，能夠使得雙公鑰方案的密鑰量有所下降，安全性有較高提升，但是，密鑰量和安全性仍有較大的提升空間。本文嘗試將Niederreiter體制的改進(jìn)版與雙公鑰的加密方式相結(jié)合，并采用系統(tǒng)碼，在增加方案安全性的同時(shí)，保證有效的實(shí)用性。

1 相關(guān)工作

1.1 SDP問題

校驗(yàn)子譯碼問題（Syndrome Decoding Problem， SDP） 給定一個(gè)（n，k）的線性碼，它的最小漢明距離為d，該碼的校驗(yàn)矩陣為H∈F（n-k）×n2，它的糾錯(cuò)能力為t且t滿足方程d=2t+1。當(dāng)給定一個(gè)向量v∈F（n-k）×n2時(shí)，尋找一個(gè)錯(cuò)誤向量e∈Fn2，它的漢明重量要小于等于t，且與向量v以及矩陣H滿足方程v=eHT，尋找錯(cuò)誤向量e這個(gè)問題已被證明為NP困難問題[11]。

通過上述對Niederreiter密碼方案改進(jìn)版的闡述，可以發(fā)現(xiàn)許多針對Niederreiter方案的攻擊方法例如像ISD攻擊等的代價(jià)由于對重量t進(jìn)行隱藏后變得較大，正是由于t的選擇變得靈活后，那么在選碼時(shí)便可選擇適當(dāng)?shù)木S度來避免密鑰量過大，具體分析請參考文獻(xiàn)[4]，但文獻(xiàn)[4]若采用雙公鑰的加密方法能進(jìn)一步加強(qiáng)方案的安全性，并通過選取系統(tǒng)碼來進(jìn)行構(gòu)造，避免方案的密鑰量過大，增加方案的實(shí)用性。

2 基于改進(jìn)版Niederreiter的雙公鑰密碼方案

2.1 參數(shù)生成

選取兩個(gè)二元即約系統(tǒng)碼G1、G2維度分別為（n，k）和（n-k，k），糾錯(cuò)能力分別為t1、t2，兩個(gè)碼對應(yīng)的校驗(yàn)矩陣為（n-k）×n維的H1和（n-2k）×（n-k）維的H2，且H2可以拆分為H2=H3+H4，其中矩陣H3、H4為隨機(jī)拆分得到的。兩個(gè)碼的譯碼算法為β1Ht（）和β2Ht（）。隨機(jī)選取一個(gè)（n-k）×（n-k）維可逆矩陣S，與一個(gè)n×n的置換矩陣T，并計(jì)算H=SH1T。再隨機(jī)選擇三個(gè)（n-2k）×（n-2k）的可逆矩陣A、B、C，以及（n-k）×（n-k）維的置換矩陣Q，并計(jì)算H′=AH3Q，H″=BH4Q，H=CH2Q。公開密鑰即為（H，H′，H″，H，t1，t2），私鑰即為（S，T，A，B，C，Q， β1Ht（）， β2Ht（））。

2.2 加密過程

首先利用系統(tǒng)碼G1所產(chǎn)生的公鑰H對n維明文m進(jìn)行第一步加密，產(chǎn)生密文c1，c1=mHT。此處注意，在對G2進(jìn)行選擇時(shí)，它的糾錯(cuò)能力t2需要滿足t2>wt（c1），以方便后面的譯碼解密，且這一點(diǎn)在選碼時(shí)易于實(shí)現(xiàn)。

完成第一步后，進(jìn)行第二步加密。將c1看作新的明文，用G2所產(chǎn)生的一系列公鑰對其進(jìn)行加密。首先將進(jìn)行拆分，c1=c2+c3，計(jì)算x1=c2H′T，x2=c2H″T，x3=c3HT，將（x1，x2，x3）作為密文，發(fā)送給接收者。

2）完成第一步解密得到c1后，第二步解密就是普通的Niederreiter密碼體制的譯碼解密。運(yùn)用私鑰S，T和碼G1的譯碼算法β1Ht（）進(jìn)行解密，具體如下：

利用譯碼算法β1Ht（）對mTTH1T譯碼即可得到mTT，利用私鑰T進(jìn)行運(yùn)算得到m=mTTTT-1。

從上述的加解密過程可以看出，加密時(shí)，先對明文進(jìn)行傳統(tǒng)的Niederreiter加密，得到密文后，采用改進(jìn)版Niederreiter再進(jìn)行加密。解密時(shí)，先對改進(jìn)版Niederreiter解密得到第一次加密的密文，再利用傳統(tǒng)的Niederreiter解密方式進(jìn)行解密得到最后的明文即可。

3 安全性分析

3.1 直接攻擊

所謂直接攻擊，是指在擁有密文c和公鑰H′后，通過直接求解方程c=mH′T來求得明文的攻擊方法，但是Niederreiter密碼體制所依賴的是SDP校驗(yàn)子譯碼問題，該問題為NP困難問題，因此直接通過方程來求解明文m是十分困難的。本文方案采用了雙公鑰的加密方法，使得破解的工作量至少翻倍，又由于第二次加密采用了改進(jìn)的Niederreiter密碼體制，使得安全性又有了新的提升。

3.2 直接譯碼攻擊

直接譯碼攻擊是指通過公鑰H，H′，H″，H得到S，H1，T和A，H3與B，H4以及C，H2和Q，然后通過碼的快速譯碼算法得到明文m來攻破該體制。由矩陣的相關(guān)理論可以得知，矩陣的分解不是唯一的，比如像從矩陣H中分解出S，H1，T，它們各自可能的個(gè)數(shù)分別為2（n-2k）2∏n-2ki=1（1-2-i）、1t2nt2和（n-k）！，由此可見，當(dāng)n和t的取值比較大時(shí)，矩陣可能的數(shù)目十分巨大，這導(dǎo)致敵手在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)是難以通過公鑰分解出私鑰的，而本文方案有4個(gè)公鑰矩陣，工作量會(huì)變?yōu)?倍，相比Niederreiter方案改進(jìn)版[4]的三個(gè)公鑰矩陣和基于QC-LDPC碼的Niederreiter雙公鑰加密方案[11]的兩個(gè)矩陣，工作量加倍，安全性增強(qiáng)。

3.3 信息集譯碼（ISD）攻擊

李元興等[12]指出，可以通過解線性方程組的方法來攻破Niederreiter密碼體制。所謂信息集譯碼攻擊即ISD攻擊是指：給定明文m=（m1，m2，…，mn），以及加密方程c=mHT，任意選擇明文m=（m1，m2，…，mn）中的k個(gè)分量，并將其刪除，并相應(yīng)刪除公鑰矩陣H中的k列，那么可得到新的方程即為c=m1×（n-k）HT（n-k）×（n-k），此時(shí)，若矩陣HT（n-k）×（n-k）可逆，那么可求得m1×（n-k）=c×HT-1（n-k）×（n-k），然后查看wt（m1×（n-k））是否為公開的漢明重量t，若為t，則在相應(yīng)的k個(gè)位置上補(bǔ)零即可得到最后的明文m。當(dāng)矩陣HT（n-k）×（n-k）不可逆或者最后求得的m1×（n-k）的漢明重量不符合要求時(shí)，需要重新選擇矩陣HT（n-k）×（n-k）進(jìn)行以上運(yùn)算。ISD攻擊對于編碼密碼來說是一種較為強(qiáng)力的攻擊方法，并且還被不斷深化與研究[13-17]。在文獻(xiàn)[18]中，已經(jīng)證明采用雙公鑰方式進(jìn)行兩次普通Niederreiter加密的方法可以有效抵抗此類攻擊，攻擊成功的工作因子為W=[（n-k）3Ckn-k-t2/Ckn]·[（n-2k）3Ckn/Ckn-t1]，因此當(dāng)n，t選取較大時(shí)攻擊者在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)難以攻破雙公鑰的Niederreiter密碼體制。

本文采用雙公鑰的Niederreiter加密方式，在第一次加密時(shí)是采用的普通的Niederreiter密碼方案，第二次加密時(shí)則是采用的改進(jìn)的Niederreiter密碼方案。改進(jìn)的Niederreiter密碼體制的最大特點(diǎn)就是對加密的消息c1的漢明重量進(jìn)行了隱藏，將其進(jìn)行了拆分，成為了兩部分c1=c2+c3，并相應(yīng)地將校驗(yàn)矩陣H2進(jìn)行了拆分H2=H3+H4，與拆分后的明文進(jìn)行加密運(yùn)算。采用ISD攻擊的一個(gè)關(guān)鍵所在就是要掌握明文的漢明重量，這樣才能確認(rèn)是否攻擊成功。改進(jìn)的Niederreiter密碼體制加密后的密文為xi=ciHT的形式，并非c1，那么ci的漢明重量也就更加靈活，取值范圍從0到n-k，那么攻擊者也就不能判斷wt（xiHT-1（n-2k）×（n-2k））是否符合要求，因此，對于一個(gè)漢明重量為ti的加密信息ci=（c1，c2，…，cn-k），右乘一個(gè)（n-k）×（n-2k）的矩陣HT，相當(dāng)于在HT中選取相應(yīng)的ti行，而0≤ti≤n-k，因此，采用解線性方程組攻擊第二次加密的代價(jià)為C0n-k+C1n-k+C2n-k+…+Cn-k-1n-k+Cn-kn-k=2n-k。綜上可知，ISD攻擊針對基于改進(jìn)版Niederreiter的雙公鑰密碼方案的工作因子為W=2n-k·[（n-k）3Ckn-k-t2/Ckn]，相比基于QC-LDPC碼的雙公鑰Niederreiter密碼方案[11]有較大提升。Niederreiter改進(jìn)版[4]只有一次加密的過程，它的工作因子為C0n-k+C1n-k+C2n-k+…+Cn-k-1n-k+Cn-kn-k=2n-k，從上面對本文方案工作因子的分析可以看出，二次加密的信息為第一次加密的密文，因此安全性較其有較大的提升。

4 效率分析

4.1 系統(tǒng)碼優(yōu)勢

采用雙公鑰的加密方式，可以有效地提高系統(tǒng)的安全性;但是也會(huì)存在一個(gè)較為明顯的弊端，就是密鑰量的增加，而密鑰量對于基于編碼的密碼體制而言，本身就是一個(gè)缺陷。Niederreiter密碼體制在相同的安全性下相比McEliece體制的密鑰量有所減少;但是相對傳統(tǒng)的公鑰密碼像背包密碼等，它的密鑰量還是很大。如何有效提高編碼密碼體制的效率，減小公鑰量是個(gè)至關(guān)重要的問題。目前基于編碼理論的公鑰密碼學(xué)研究的重點(diǎn)主要放在了對碼的選擇上，由最開始的Goppa碼、Reed-Solomon碼，到現(xiàn)在的QC-MDPC碼、LDPC（Low Density Parity Check）碼以及QC-LDPC碼等，來減少編碼密碼的公鑰量。本文方案就采用系統(tǒng)碼來有效減少密鑰量。

系統(tǒng)碼的生成矩陣或者校驗(yàn)矩陣，可以通過一系列行列變換變換為G=（Ik|Q）或H=（-QT|In-k），其中Q為一個(gè)k×（n-k）階的矩陣，那么它的轉(zhuǎn)置即為（n-k）×k階矩陣，而矩陣Ik，與In-k均為單位矩陣，由此，可以看出，系統(tǒng)碼在存儲(chǔ)時(shí)，只需對k×（n-k）階的矩陣Q或（n-k）×k階矩陣-QT（負(fù)號(hào)代表矩陣中的元素為其逆元）進(jìn)行存儲(chǔ)即可，若不采用系統(tǒng)碼構(gòu)造，則需對k×n階矩陣或（n-k）×n階矩陣進(jìn)行存儲(chǔ)。在本文方案中，有四個(gè)公開的密鑰矩陣H、H′、H″、H，除了矩陣H的維度為（n-k）×n階，其余三個(gè)矩陣均為（n-2k）×（n-k）階，在采用系統(tǒng)碼后，對H進(jìn)行存儲(chǔ)的維度為（n-k）×k階，對H進(jìn)行存儲(chǔ)的維度為（n-2k）×k階，而對H′、H″進(jìn)行存儲(chǔ)的維度與H的維度不同，是因?yàn)镠由系統(tǒng)碼G2的校驗(yàn)矩陣H2通過行列變換得到的，可以節(jié)約存儲(chǔ)，而H′、H″是由系統(tǒng)碼G2的校驗(yàn)矩陣H2進(jìn)行拆分得到的H3、H4通過行列變換得到，H3、H4未必滿足系統(tǒng)碼的性質(zhì)，因此H′、H″的維度仍為（n-2k）×（n-k）階。以n=1024，k=1024-10t，t=55為例，普通Niederreiter密碼體制所存儲(chǔ)公鑰矩陣的尺寸為p1=（n-k）×n=56.32×104，而本文的雙公鑰Niederreiter密碼方案的公鑰尺寸為p2=（n-k）×k+（n-2k）×k+2×（n-2k）×（n-k）=38.03×104。由該例子可以看出，本文的雙公鑰Niederreiter密碼方案由于系統(tǒng)碼的采用不僅保證了安全性的提升，并有效降低了32%的公鑰量。表1為本文方案密鑰尺寸與改進(jìn)版Niederreiter密碼方案進(jìn)行比較。

改進(jìn)版Niederreiter由于可對重量t進(jìn)行隱藏，因此只需選取一個(gè)維度較小的碼字，而本文方案第二步采用的是改進(jìn)版Niederreiter，因此可以選擇維度較小的系統(tǒng)碼，第一步選擇一個(gè)符合第2章描述的系統(tǒng)碼即可，因此相比改進(jìn)版Niederreiter，密鑰量只多在一個(gè)系統(tǒng)碼上。由表1可以看出，本文方案由于采用的是系統(tǒng)碼，因此選擇兩個(gè)碼后，密鑰尺寸會(huì)有一定增加，但是在合理范圍內(nèi)，并獲得更高的安全性。具體的安全性優(yōu)勢已在第3章中進(jìn)行了分析。

4.2 重量t優(yōu)勢

本文的雙公鑰Niederreiter密碼方案另一個(gè)優(yōu)勢特點(diǎn)就是在第二步加密時(shí)采用的改進(jìn)版Niederreiter密碼方案，如3.3節(jié)所述，它可以很好地將加密信息的漢明重量進(jìn)行隱藏，所達(dá)到的效果就是使得ISD攻擊的代價(jià)對于（n，k，t）維的碼為C0n+C1n+C2n+…+Cn-1n+Cnn=2n，這相比傳統(tǒng)Niederreiter密碼方案在安全性方面有很大的提升。為了提高方案的使用效率，就可以考慮在選碼時(shí)降低漢明重量t的選擇，沒有必要再去選擇t過大的碼，而可以達(dá)到同樣的安全性要求，這就相比基于QC-LDPC碼的雙公鑰Niederreiter密碼方案[10]在選擇碼時(shí)可以減小碼的維度，以達(dá)到降低公鑰尺寸的目的。將第二步加密時(shí)的選碼與基于QC-LDPC碼的雙公鑰Niederreiter密碼方案[10]的第二步選碼進(jìn)行比較，結(jié)果如表2所示。

由表2可以看出，本文方案相比QC-LDPC碼方案可以選擇較小維度的碼字以達(dá)到同QC-LDPC碼方案同樣的安全級別，使得公鑰的尺寸有很大幅度的下降，如表1中在80b安全級下，本文方案密鑰尺寸為5040b而QC-LDPC碼方案為28408b。

由于最后的密文是由G2碼的公鑰產(chǎn)生，因此G1碼在選擇時(shí)也可以選擇較小的漢明重量t，而不會(huì)影響到整個(gè)雙公鑰體系的安全，但是G1、G2碼的選擇由于解密時(shí)還要考慮譯碼問題，如2.2節(jié)所述，需要結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行選擇。結(jié)合4.1節(jié)的分析，可以看出本文的雙公鑰Niederreiter密碼方案不僅安全性得到較大的提升，而且在公鑰尺寸這兩處的表述有疑問，“公鑰尺寸”此處是否應(yīng)該為“效率”，因?yàn)楹竺嬉呀?jīng)提及了“公鑰尺寸”是下降的。回復(fù)：直接刪除“公鑰尺寸方面也有一定的提升”直接連接“公鑰尺寸相比……”一句方面也有一定的提升，公鑰尺寸相比基于QC-LDPC碼的雙公鑰Niederreiter密碼方案有效降低下降這處的表述不嚴(yán)謹(jǐn)，降低是否應(yīng)為下降？請明確，相比傳統(tǒng)的Niederreiter密碼方案至少下降了32%，能夠在更多的場景中有效運(yùn)用。

5 結(jié)語

基于編碼的密碼體制是抗量子計(jì)算時(shí)代的優(yōu)良候選者之一，雙公鑰的加密方式旨在增加密碼方案的安全性。本文對改進(jìn)版Niederreiter密碼方案以及雙公鑰加密方式進(jìn)行深入研究，將二者進(jìn)行結(jié)合，并采用系統(tǒng)碼，提出了一個(gè)雙公鑰Niederreiter密碼方案。本文方案在安全性方面相比改進(jìn)版Niederreiter得到顯著提升，可以良好地抵抗ISD等針對編碼密碼體制的攻擊。本文方案在公鑰量方面，相比Niederreiter密碼方案至少下降了32%，而相比基于QC-LDPC碼的雙公鑰Niederreiter密碼方案也有效降低。優(yōu)良的性質(zhì)使得本文方案在今后的抗量子密碼時(shí)代能夠?yàn)橛?jì)算機(jī)安全提供可靠的安全保障，但是需要注意的一點(diǎn)便是在選擇系統(tǒng)碼時(shí)要結(jié)合實(shí)際情況以及應(yīng)用場景選擇合適的參數(shù)，以保證方案的正確性。

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