Matlab 在矩陣計算中的應用

唐小蕾 王培 尚曉 玉林師范學院 數學與統計學院

1 引言

在當今信息技術飛速的時代，計算機在各個領域都有廣泛的應用.矩陣在高等代數和線性帶數中占有十分重要的地位，矩陣的一般計算是研究矩陣的重要途徑之一.矩陣的一般計算人們計算起來有時會比較麻煩，步驟繁多，且容易出錯.那么計算機能否幫助我們呢？

Matlab 是處理數學問題的重要工具，用于研究矩陣問題是否可行呢？Matlab 在矩陣研究中可運用在那些方面呢？是否可實現矩陣的一般運算？本文將對以上問題進行探討。

2 矩陣的計算

2.1 矩陣的一般計算

矩陣的加法與減法是指兩個同型矩陣對應位置上元的和與差。

2.2 矩陣的乘積

即矩陣A 與矩陣B 的乘積矩陣C 的第i 行第j 列的元素等于第一個矩陣A 的第i 行與第二個矩陣B 的第j 列的對應元素乘積的和.

注：在矩陣的乘積定義中，我們要求第一個矩陣的列數要等于第二個矩陣的行數.

2.3 矩陣的逆與正交

2.3.1 矩陣的逆

設A 是n 級可逆方陣，若n 級方陣B 滿足AB=BA=E，則B 稱為A 的逆矩陣，記為A-1.其中E 是n 級單位矩陣.

2.3.2 正交矩陣

對于n 階實矩陣A，如果實矩陣A 滿足AAT=E 或ATA=E，那么矩陣A 稱為正交矩陣.其中E 為單位矩陣，AT為矩陣A 的轉置.

2.3.3 矩陣正交化

①判定某個矩陣A是不是屬于正交矩陣：若 A =±1，則矩陣 A 為正交矩陣。

2.4 對角矩陣

對于任意一個n 級對稱矩陣A，都存在一個n 級正交矩陣T 使成對角形.

矩陣可對角化判定：

①實對稱矩陣可對角化，且可正交對角化；

②求特征值，所有特征值都不相等，絕對可以對角化；

③有等根，只需要等根（也就是重特征值）對應的那幾個特征向量是線性無關的，那么也可以對角化，如果不是，那么就不能.

3 Matlab 在矩陣中的一般應用

圖3.1 Matlab 程序截圖Fig 3.1 screenshot of MATLAB program

(2)將矩陣進行正交化、對角化.

②再求實數矩陣C 的特征值、特征向量及將矩陣進行對角化，輸入命令：，按回車鍵.

圖3.2 Matlab 程序截圖Fig 3.2 screenshot of MATLAB program

其中V 為矩陣C 的特征向量，D 為矩陣C 特征值的對角陣，對角陣的主對角線的值為矩陣C 的特征值.

圖3.3 Matlab 程序截圖Fig 3.3 screenshot of MATLAB program

(2）將矩陣進行正交化、對角化.

②再求實數矩陣B 的特征值、特征向量及將矩陣進行對角化，輸入命令：，按回車鍵.

例4 某廠生產甲乙兩種產品，已知制成一噸產品甲需資源A3 噸，資源B4m3；制成一噸產品乙需資源 A2 噸，資源B6m3；資源C7 個單位.若一噸產品甲和乙的經濟價值分別為7 萬元和5 萬元，三種資源的限制量分別為90 噸、200m3和210 個單位，試決定應生產這兩種產品各多少噸才能使創造的總經濟價值最高？

解：令生產產品甲的數量為x1，生產產品甲的數量為x2.由題意可以建立下面的數學模型：

該模型中要求目標函數最大化，需要按照Matlab 的要求進行轉換，即目標函數為

輸入命令：

圖3 .4 Matlab 程序截圖Fig 3.2 screenshot of MATLAB program