帶著理性的思維去想象

孫福明

同學們，你們將開始學習高中數學義一個新的章節——《立體幾何初步>了！其實本章內容對我們來說并不陌生，它研究的對象就是抽象于我們生活的真實世界——三維空間.本章內容概括說就是三個字：想、算、證.

想——主要表現為識圖、畫圖等空間想象能力.同學們要能觀察研究所給圖形中幾何元素之間的相互關系，正確將文字語言、符號語言和圖形語言融為一體，能根據問題添加輔助圖形或對圖形進行必要的變換.

算——同學們要會計算一些特殊幾何體的表面積和體積，它們是空間圖形大小的量化.

證——主要是培養大家的演繹推理能力，就是會正確利用演繹推理規則（三段論）進行推理，并能結合圖形使用規范、清晰、簡明的符號語言加以表達.

那么如何學好本章內容呢？我提幾點建議，供同學們在學習中參考.

一、突破思維瓶頸，樹立正確的空間觀念

從二維平面進入三維空間，同學們首先要克服平面幾何帶來的負面慣性，盡快養成在三維空間中讀圖、識圖和想象的良好習慣.

第一，要重視平面這個基本元素在空間中的重要地位.原來的平面幾何知識都是在一個平面中進行的，只不過這個平面是默認的，沒有把它畫出來而已.現在進入三維空間了，為了凸顯三維的特征，通常需要一個平面作為基準，比如常畫一個水平面.因此平面幾何中的正方形ABCD，其實是畫在豎直平面內的（圖1），而如果畫在水平面上就不再是方方正正的了，而是看起來像平行四邊形（圖2）

在觀察空間圖形或研究元素之間位置關系時，要養成正確的看圖習慣，例如要把點、線放在某個平面內，結合平面的位置來全面而正確地理解基本元素之間的關系.觀察圖形或作圖時，首先從面與面的關系著手，再過渡到直線及點.例如在圖3的長方體中，當延長兩中點M，N連成的線段時，應該把直線MN置于平面BCClB1內，這樣判斷直線MN的位置時，就能正確判斷出它與B1C1，B1B的延長線相交.這樣的問題在立體幾何學習中幾乎處處能遇到，因此更一般的做法是“還原平面法”，即把空間圖形的平面還原成平面幾何中的形態，回到我們習慣的平面幾何的視圖位置中去，如圖4.這樣就避免空間其他不相干元素的干擾，更能準確地利用平面幾何知識解決問題.

為了增強空間觀念，同學們學習之初，還應特別注意作圖中的實線與虛線的區別.根據作圖規則，平面幾何中輔助線是虛線，立體幾何中凡是看不見的都畫成虛線，看得見的都是實線，與是否輔助線無關.同一空間圖形，由于觀察位置的不同，實線和虛線會變化，大家可以多加練習，這是提高空間想象能力的有效手段.

第二，勤直觀感知，多畫圖比較，體會數學中的研究對象與實際生活中具體圖形的聯系和差異，借助空間認識事物的位置關系、形態變化與運動規律.例如圖5的空間圖形，有幾種位置差異？如何判斷點P是“凸在外”還是“凹在內”？你的現實生活中有這樣的具體模型嗎？再比如問題“A，B，C，D四點不共面，且A，B，C，D到平面a的距離相等，則這樣的平面a共有多少個？”可以培養同學們全面而深刻的空間觀念.四個點可以構造三棱錐——構造熟悉的圖形幫助解題是重要的策略——其次根據平面特征，四個點只能分布在平面a的兩側，從而進行分類討論：一類是兩側分別是1個點和3個點;一類是兩側分別是2個點和2個點.

第三，注意平面幾何與立體幾何的區別與聯系.首先當然是兩者的區別.從二維平面進入到三維空間，從運動的角度來說，點、線運動的空間增加了，帶來了更多的位置變化，因此“四邊相等的四邊形是菱形”等一些命題就不再正確了，因為首先這四點就可能不在一個平面內了.命題“從直線外一點作直線的垂線有且只有一條”也不成立了，同學們能從現實生活中舉出反例嗎？其次，也要注意平面幾何是立體幾何的一部分，如果空間的一些元素都在一個平面內，那么在這個平面內依然可以運用平面幾何的知識和方法來解決問題.同時在解決一些立體幾何問題時，常常還要類比平面幾何中的一些知識，需要把空間問題轉化為平面幾何問題，例如展開問題.因此可以說兩者之間是辯證統一的關系，

例如，如圖6，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=√2，BBi=2，∠ABC=90°，E，F分別為AA1，C1B1的中點，求沿棱柱的表面從E到F兩點的最短路徑的長度，

解決這個問題就需要把棱柱的有關側面和底面展開，轉化為平面上兩點之間距離最短的問題，體現立體幾何與平面幾何相互轉化的思想.

二、注重三種語言形式，即文字語言、符號語言、圖形語言 的轉化訓練

語言是思維的載體.立體幾何這部分涉及三種數學常用的語言，那就是文字語言、符號語言、圖形語言.同學們在學習中要把三者緊密結合起來，做到互通有無，通過符號語言、文字語言能正確想象出空間圖形，根據空間圖形的位置能用符號語言正確表述.例如“直線l￠a”的含義就包括兩種位置關系，一是直線l∥a，直線與平面平行，另一種是l∩a=P，直線與平面相交，

在書寫證明的過程中，要盡可能使用符號語言，這樣表達形式更簡潔，解題過程中的邏輯關系也更清晰.

本章盡管涉及的空間圖形千變萬化，但是總離不開一些基本圖形，關于這些基本圖形的結論是值得我們記住的，是解題的基礎.例如，如圖7，正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2，高為2，E是邊BC的中點，動點P在正四棱錐的表面上運動，并且總保持PE上AC，則動點P的軌跡的周長為 ___

.

本題一看到正四棱錐圖形，應立即聯想到它的性質，特別是與垂直有關的重要結論，如AC上平面SBD，這樣直線PE應該在與平面SBD平行的平面內，進而得到軌跡是△GEF.問題就迎刃而解了.

三、合情推理與演繹推理并重，提升邏輯推理的數學素養

立體幾何學習最重要的目標之一就是培養同學們邏輯推理的核心素養，也就是通過對空間圖形的位置關系的觀察、想象、分析，依據大前提（定義、定理和性質），組織小前提的思維過程，如演繹推理，具體來說就是在幾何證明過程中要做到：有理有據，規范書寫.

立體幾何的證明需要言之有理，下筆有據，那么“理”“據”是什么？除了教材中的概念、公理、定理和特別標明的命題（一般用粗體字顯示）之外，一般命題都不能作為證明的依據.尤其是涉及概念時，要特別注意概念的性質，哪些能直接使用，哪些需要證明？例如“直棱柱的側面與底面垂直”能否直接用？建議同學們用概念的最直接的定義，盡量少用衍生的性質.

本章證明主要圍繞平行和垂直關系進行，需要特別提醒的是，一是要養成在元素之間相互轉化的意識，例如“線線平行（垂直）一線面平行（垂直）一面面垂直”，通過轉化，常常會達到“柳暗花明義一村”的效果.二是要認識判定定理與性質定理之間的內在聯系，性質定理通常為判定定理提供思路，例如在利用線線平行證明線面平行時，須在平面內找一條直線與已知直線平行，通常的具體操作是：假設線面平行，然后過已知直線構造平面與已知平面相交，則根據線面平行的性質定理知該交線即為所要找的直線，然后再來證明該交線與已知直線平行即可.證明面面平行也是如此，請看下例：

如圖8，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的正方形，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G和H分別是CE和CF的中點.求證：平面BDGH∥平面AEF.

用面面平行的性質定理分析.假設題中平面BDGH∥平面AEF，它們同時被第三個平面CEF所截，交線是GH，EF，那么可以肯定一定有GH∥EF.接下來只要在構造的輔助平面CEF內證明這兩條直線平行就行，證明方法：三角形中位線定理.

設BD∩ AC=0.

同樣的思路，輔助平面ACF，與欲證的兩個平行平面的交線是AF，OH，用三角形中位線定理，可以證明在△ACF中，AF∥OH;

輔助平面ACE，與欲證的兩個平行平面的交線是AE，OG，用三角形中位線定理，可以證明在△ACE中，AE∥OG.

所以根據給出的圖形，兩個欲證的平行平面中至少可以找到三組線線平行.

總之，立體幾何作為高中數學重要的一部分知識，它獨特的教育功能對同學們的空間想象素養和邏輯推理素養發揮著重要的作用，同學們只要注意這部分獨特的學習方法，一定會取得優秀成績！