善用函數(shù)與方程思想，提升邏輯推理素養(yǎng)

劉翔宇

經(jīng)歷了高三的一輪復(fù)習(xí)，反思高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，深刻地體會(huì)到“思想引領(lǐng)行為，行為提升素養(yǎng)”的重要性.在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中，函數(shù)與方程思想是一條主線，貫穿在高中數(shù)學(xué)的各個(gè)章節(jié)，而邏輯推理是問(wèn)題解決的核心素養(yǎng)，善用函數(shù)與方程思想，可以提升我們的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)，本文擬以《平面向量》為例，和大家交流自己的一些學(xué)習(xí)體會(huì).

雖然“平面向量”與“函數(shù)與方程”貌似沒(méi)有關(guān)聯(lián)，但是“平面向量”的運(yùn)算由一系列公式組成，其內(nèi)部的數(shù)學(xué)問(wèn)題（如：求向量、求最值、求范圍等），自然離不開(kāi)“函數(shù)與方程”思想.另外，平面向量具有二重特性：作為“有向線段”具備著“幾何”的特征，一些平面幾何問(wèn)題，常采用“基向量法”;作為“直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)”義具備著“代數(shù)”的特征，常采用“坐標(biāo)法”.兩種解題方法均離不開(kāi)函數(shù)與方程思想，并且需要邏輯推理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

一、“平面向量運(yùn)算”蘊(yùn)含的函數(shù)與方程思想

二、“基向量法”蘊(yùn)含的函數(shù)與方程思想

在解決平面幾何問(wèn)題時(shí)，選擇兩個(gè)特殊的不共線向量作為“基底”（通常選擇已知模或夾角的向量），其他的向量用“基向量”表示，從而將需要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與基向量有關(guān)問(wèn)題，這種用向量處理平面幾何問(wèn)題的方法稱為“基向量法”.從邏輯推理的視角看，“基向量法”就是將“未知的”“要求的”用“已知的”表示，體現(xiàn)了“簡(jiǎn)”的思想.具體處理時(shí)，基向量法通常依據(jù)“平面向量基本定理”的存在和唯一性，將“向量的相等”轉(zhuǎn)化為方程（組）.

個(gè)人感悟1：從邏輯推理的視角看：這類(lèi)題目的已知條件是“三點(diǎn)共線”，很容易被忽略，（如（l）中的“P，G，Q共線”）用基向量法解決時(shí)，首先要將“點(diǎn)共線”，通過(guò)設(shè)變量λ，轉(zhuǎn)化為“向量共線”，再運(yùn)用“向量的減法”，將目標(biāo)向量用基向量表示.

三、“坐標(biāo)法”蘊(yùn)含的方程函數(shù)思想

大家都知道，所謂“坐標(biāo)法”，就是針對(duì)平面向量中的一些圖形問(wèn)題，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求出（或設(shè)出）點(diǎn)的坐標(biāo)，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)形式的代數(shù)運(yùn)算，

分析 從邏輯推理推理的視角看：本題給出的載體是“平面四邊形”，不是常見(jiàn)的“平行四邊形”，如果采用“基向量法”，無(wú)論選取怎樣的基底，因?yàn)橐阎氖菙?shù)量積，其他向量用基底表示時(shí)均較困難.而建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將幾何問(wèn)題坐標(biāo)化，思路比較簡(jiǎn)單.

個(gè)人感悟：“坐標(biāo)法”的本質(zhì)是用代數(shù)的方法（方程和函數(shù)）解決幾何問(wèn)題，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系（因?yàn)楸绢}中的向量大多是以“A”始點(diǎn)，所以以“A”為坐標(biāo)原點(diǎn)，簡(jiǎn)單些！）設(shè)出其中的動(dòng)點(diǎn)或要求的點(diǎn)，轉(zhuǎn)化第一類(lèi)問(wèn)題——平面向量的運(yùn)算問(wèn)題。