想得清，道得明

黃曉勇

平面的基本性質(zhì)是立體幾何中推理論證的理論基礎(chǔ)，“共點(diǎn)、共線、共面”問題是立體幾何中的一類不可忽視的問題，掌握運(yùn)用三大公理證明此類問題的思路方法，從中體會(huì)將空間問題向平面幾何問題轉(zhuǎn)化的“降維”思想，有利于培養(yǎng)解題思維，提高解題能力.

一、共點(diǎn)問題的證明

例1 正方體ABCD-A1BlC1Dl中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)，求證：CE，D1F，DA相交于同一點(diǎn).

分析 共點(diǎn)問題是指三條或三條以上的直線交于同一點(diǎn)的問題.解決此類問題常用方法是：先證其中的兩條直線相交于一點(diǎn)，再證明這點(diǎn)也在其他直線上.本題先由EF與CD，的平行關(guān)系得E，F(xiàn)，D1，C四點(diǎn)共面.因CE，D1F構(gòu)成梯形的兩腰，延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)P，再證P在直線DA上.

證明 因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)，

所以EF∥A1B.

又因?yàn)锳1B∥D1C，

所以EF∥D1C，

所以E，F(xiàn)，D1，C四點(diǎn)共面.

因?yàn)镋F

所以DiF與CE的延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)，設(shè)該點(diǎn)為P.

又因?yàn)镻∈D1F，DlF （ 面A1 ADD1，

所以P∈面AiADDl，

同理，P∈面ABCD，

所以P為面A1ADD1與面ABCD的公共點(diǎn).

因?yàn)檫@兩個(gè)平面的交線為AD，

所以P∈DA，

所以CE，D1F，DA相交于同一點(diǎn).

評(píng)注 證明線共點(diǎn)問題的實(shí)質(zhì)是證明點(diǎn)在直線上的問題，只需將這個(gè)點(diǎn)看成是兩平面的公共點(diǎn)，而直線看成是這兩個(gè)平面的交線.往往依據(jù)公理，“兩平面的交線有且僅有一條”，進(jìn)而得證.

二、共線問題的證明

例2 如圖2，已知P是三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，D，E，F(xiàn)分別是PA，PB，PC上的點(diǎn)，F(xiàn)D交CA于M，EF交BC于N，ED交BA于L，求證：M，N，L三點(diǎn)共線.

分析 多點(diǎn)共線問題指若干個(gè)點(diǎn)都在同一條直線上的問題.一般證明這些點(diǎn)都是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，本題可證M，N，L三點(diǎn)都是平面ABC與面DEF的公共點(diǎn).

評(píng)注 證明多點(diǎn)共線問題常用的兩種證法是：①先證明這些點(diǎn)都是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，然后根據(jù)公理可得它們都在這兩個(gè)平面的交線上.②先取其中兩點(diǎn)確定一條直線，再證明其他點(diǎn)在這條直線上.一般是先確定直線為某兩個(gè)平面的交線，再證明其他點(diǎn)同時(shí)在這兩個(gè)平面內(nèi)，由公理知其他點(diǎn)在這兩個(gè)平面的交線即先確定的直線上.

二、共面問題的證明

例4 求證：兩兩相交而不通過同一點(diǎn)的四條直線必在同一個(gè)平面內(nèi)，

已知：a，b，d，h四條直線不共點(diǎn)但兩兩相交，求證：a，b，c，d共面.

分析 共面問題指幾個(gè)點(diǎn)或多條直線在同一平面內(nèi)的問題.本題中三線交于一點(diǎn)有兩種情形，可分類討論，先由已知條件中取一組相交直線確定一個(gè)平面，再將其他直線一一納入.

證明 a，b，c，d四條直線或有三條共點(diǎn)，或無三條共點(diǎn)，分兩種情形證明：

評(píng)注 證明多線共面問題，通常采用“落入法”，即根據(jù)已知條件先確定一個(gè)平面，然后再由公理證明其他點(diǎn)或直線也在該平面內(nèi).

評(píng)注 這種證明多線共面的方法稱為“同一法”也叫“重合法”，由一部分點(diǎn)線確定一個(gè)平面，由另一部分點(diǎn)線確定另一個(gè)平面，再應(yīng)用公理或其推論證明這兩個(gè)平面重合。