三妙法求體積

翟愛國

在計算幾何體的體積時，有些問題若按常規思路去解，往往解題過程繁冗或者計算量偏大，甚至無從下手.此時若能靈活巧變思維角度，捕捉問題特征，往往能找到簡明快捷的解題思路.本文將通過幾例來說明解決體積問題的三種方法.

一、等積轉換法

當所給三棱錐的體積不便計算時，如能依據題設條件，細察幾何體的特征，合理地轉換頂點和底面，往往有利于解決問題.變換圖形是處理體積問題最常用的策略.

例1 如圖1，在正方體ABCD-A1BlClDl中，AA1=2，E，F分別是BB1，CD的中點，求三棱錐F-A1ED1的體積.

分析 本題求三棱錐F-A1ED1的體積.顯然，無論把該三棱錐的哪一個面當做底面，其底面積與高都不易求，于是我們可以考慮轉化底面或頂點，使問題獲解.

二、分割法

如果給出的幾何體比較復雜，有關的計算公式無法直接運用時，適當分割幾何體，化整為零，將一個不規則的幾何體轉化為幾個標準的幾何體求體積，這是一種常用技巧.

例2 如圖2，已知正方體ABCD-A1BlCl D1的棱長為“，E，F分別是棱AA1和CC，的中點，求四棱錐Al -EBFD1的體積.

分析 四棱錐的底面是菱形，所以連結對角線把四棱錐分割成體積相等的兩個三棱錐，故只要求出其中一個三棱錐的體積即可.

二、補形法

某些空間幾何體是某一個幾何體的一部分，在解題時，把這個幾何體通過“補形”補成完整的幾何體或置于一個我們更熟悉的幾何體中，巧妙地破解空間幾何體的體積問題，這是一種重要的解題策略——補形法.

例3 已知三棱錐P-ABC，其中PA=4，PB=PC=2，∠APB=∠APC=∠BPC=60°，求三棱錐P-ABC的體積.

分析 如圖4，取BC的中點D，連結PD，AD，過P作PH⊥AD，垂足H，易證PH即為三棱錐PABC的高，由棱錐體積公式VP-ABC=1/3S△ABC·PH.

高PH的求解非常麻煩，有沒有更好的解法？我們可以考慮把三棱錐P-ABC補形成正四面體.