學習立體幾何的法寶之二

秉正

立體幾何上有很多概念、性質和方法都與平面幾何有著千絲萬縷的聯系.比如，多面體與旋轉體的定義就溝通了平面與立體的聯系.由一個平面多邊形沿某一方向平移形成的空間幾何體叫做棱柱;當棱柱的一個底面收縮為一個點時，得到的幾何體叫做棱錐;用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分就是棱臺.而圓柱、圓錐和圓臺則可以分別看成以矩形的一邊、直角三角形的一直角邊、直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉軸，將矩形、直角三角形、直角梯形分別旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體.

本文試通過分析下面給出的問題，幫助大家初步體會一下兩者的密切關系，

例1 紙制的正方體的六個面根據其方位分別標記為上、下、東、南、西、北.現在沿該正方體的一些棱將正方體剪開，外面朝上展平，得到如圖1所示的平面圖形，則標“△”的面的方位是 ___.

解析 將平面展開圖按要求折疊成正方體，根據方位判斷即可.

將平面展開圖折疊成正方體，如圖2所示，標“△”的面的方位應為北.故填北.

將空間幾何體展開成平面圖形，或將展開圖折疊成空間幾何體，在后面的計算或證明中經常用到，同學們應引起重視.特別是在處理比較復雜的立體幾何的問題中，這一處理問題的方法非常重要.

例2 如圖3，在底面半徑為1，高為2的圓柱上A點處有一只螞蟻，它要繞圓柱一周由A點爬到B點，問螞蟻爬行的最短距離是多少？

解 把圓柱的側面沿AB剪開，然后展開成為平面圖形——矩形，如圖4所示，連結AB'，則AB'即為螞蟻爬行的最短距離.

已知AB=A'B'=2，AA'為底面圓的周長，且AA'=2π×1=2π，則AB'=

這樣的例子很多，如側面積的計算方法、直線與平面的所成的角、二面角的定義等概念的形成，揭示了空間與平面的緊密聯系，本文即著重談談類比這個學習立體幾何的法寶之一，它在平面幾何與立體幾何之間建立了一座橋梁.

一、類比方法在學習中的幾個常見作用

1.利用類比的方法來梳理定理知識結構

幾何的知識結構一定是一個“公理化”的結構，立體幾何也當如此，由幾個不證白明的公理得到一些重要的結論作為定理，從而衍生出一套完整的知識體系.

立體幾何中的基本元素是直線、平面，基本位置關系是平行與垂直，因此將它們進行組合，就有了幾個必要的結論存在：直線與直線平行（垂直）、直線與平面平行（垂直）、平面與平面平行（垂直）.因為既要判斷又要應用，故定理必然要有判定定理和性質定理之分.這樣便可以類比平面幾何形成一個公理化的體系.

如此，我們可以提綱挈領地掌握立體幾何中的幾個重要定理，實際上在學習中也可以相互比較進行記憶、理解和應用.

2.利用類比的方法來理解定理的內在邏輯

我們在立體幾何里學習了不少結論，有公理，有推論.有等角定理，有判定定理，有性質定理等等，很多同學一下子就糊涂了，這時候類比就能產生重要的作用.比如直線與平面的判定定理應該是由直線與直線的關系得到直線與平面的關系，而性質定理則應該由線與面的位置關系得到線與線的位置關系，其他的判定定理與性質定理也理應如此.例如平行.

直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.可以簡單說成：線線平行=>線面平行.

3.利用類比的方法來理清易錯易混結論

在立體幾何的學習中，有一些類比平面幾何得出的結論有真有假，這需要我們經常去比對、琢磨，這就是類比.

比如，兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線平行，這是平行公理.類似地，兩條直線都與一個平面平行，那么這兩條直線平行，對嗎？顯然不對，可能平行，也可能相交或異面，兩個平面都與一個平面平行，那么這兩個平面平行，對嗎？這是正確的.再改為兩個平面都與一條直線平行，那么這兩個平面平行，對嗎？還是不對.再將上述所有的說法全部換為垂直再一一進行判斷，又是什么樣的結果呢？

相類似的例子有很多，在學習立體幾何的過程中，這樣的訓練是必要的.

二、運用類比這一重要思想的兩個關鍵認識

l.要重視類比對象間的聯系

所謂類比，就是要多聯系，用已有的知識和學習經驗幫助我們學習新的知識和方法，具體地，即借助兩個（組）對象的某些相同或相似性質，去推斷在其他性質上也可能具有共性或相似性.

在立體幾何的學習中，我們應該有意識地做這方面的聯系或聯想，比如遇到了一個與直線相關的問題，我們就要問問換成平面會是什么情況;一個與平行相關的問題，我們就要問問換成垂直會是什么情況;一個與立體幾何相關的問題，我們就要問問能否轉化到平面進行解決等等.

2.要重視類比對象間的區別

大家還要注意的是，類比不僅要重視聯系，關注共性，而且要重視和理解類比對象間的區別，否則就會掉入陷阱里，比如，在平面幾何里，垂直于同一條直線的兩直線平行是一個真命題，到了立體幾何里就是假命題，所以在使用它們的時候要加上前提條件，三條直線都在同一平面內.再如，四邊相等的四邊形是菱形，在立體幾何里也是一個錯誤的結論.

同學們，類比是聯想的翅膀，是我們學習的重要幫手，讓我們一起在立體幾何的天空里展翅翱翔。