由“表象認知”走向“實質理解”的圖形概念課設計

張友峰

摘要：圖形概念課是圖形教學的起始課，重要性不言而喻，本文通過有機整合各類教學手段，突破表象認知，理念概念本質。分三部分來嘗試突破教學瓶頸：一是學生借助生活情境入手，抽象感知圓的基本特點，形成表象認知;二是學生通過幾何畫板的強大功能，突破圓本質認識的瓶頸;三是學生通過動手實踐、微課學習和畫圖操作等活動，掌握畫圓方法，深刻認識畫圓本質。

關鍵詞：表象認知 實質理解 圖形概念課 圓的認識

“圓的認識”是一節非常經典的數學課作為圓相關知識的種子課，為圓形的面積和周長學習奠定基礎在教材中的地位和價值不言而喻。在實際教學中，很多學生對于圓的概念認識停留于表象階段，不能實質理解概念本質。本課主要通過科學整合信息技術，提供多樣化的探究活動，幫助學生突破圖形概念課的認知困境，理解圓的本質意義，最終提升學生的幾何直觀和數學想象能力，使圖形概念教學由“表象認知”走向“實質理解”。

1始于體驗，抽象感悟圓

依據范希爾的幾何思維水平理論，本課的設計必定要尊重孩子的認知規律，同時又要抓住圓的本質特征。“圓”是怎樣一種圖形？如何幫助學生抽象出圓的本質特征是本課的核心問題。圖形認識課肯定是從生活情境人手、去除非本質特征、抽象本質特征的一個過程。為使抽象之路變得更順暢，主要做了如下嘗試：

1.1 生活情境中導入，初步感知圓

生活中處處都有圓，學生對圓已經有了一定的概念認知，借助學生的生活經驗，抽象出圓的表象是一種比較好的導入方式。主要設計了兩個層次：第一個層次是在學生充分表達的基礎上，通過生活中的圓進一步抽象出數學中的圓，這是一個水到渠成的步驟;第二個層次是使學生在數學文化滲透和圖形比較中，思考圓的特殊性。所有平面圖形中，圓是最美的，最美在哪兒？橢圓也是曲線圖形，橢圓為什么不是最美的呢？圓的本質特點肯定不僅僅局限于曲線圖形，圓區別于其它平面圖形的最特別的地方是研究重點（圖1），學生帶著疑問進入下面的實踐探究活動。

以上兩個環節，學生初步感知圓在生活中無處不在，圓既與生活經驗有關，又與數學文化有關，兩者勾連自然導人新課。

1.2畫圖操作中體會，深入感知圓

畫圓的實踐操作分為兩個層次，首先是借助生活中的圓形物體畫圓，例如圓柱形的罐子、硬幣等等，學生在一年級下冊初步認識圓形的時候已經體驗過了，本環節讓學生再次操作畫圓，通過動手體驗初步體會圓的特點：一種曲線圖形。

第二個層次是徒手畫圓，徒手畫圓看似簡單，其實背后隱藏著一定的數學道理。圓的本質是“一中同長”，徒手畫圓時，學生的潛意識中就受這一條規則引導，這是一種體驗式的、很難用語言描述的數學表達。借助徒手畫圓，學生分析并思考變得更圓一些的方法，發現要使圓變得更圓些，上面和下面的距離要和左右兩邊的距離相等，為下面揭示圓的本質特點做好鋪墊。

上圖中，學生用水彩筆在紙上徒手畫一個圓，徒手畫出來的圓各不相同，學生潛意識里都有一個相同的畫圓的思路，很難用語言描述。通過展示學生典型作品“兩邊對稱，上面有點扁”這種情況。追問：“你可以幫老師修改一下嗎？”學生提出：“上面和下面的距離要和左右兩邊的距離相等。”進而發現：要使徒手畫的圓更圓，中間到上面和下面，中間到左邊和右邊的距離都要相等，這其實也是學生關于圓的認知起點。通過畫圖操作激了發學生的探究興趣，為本質揭示提供了研究素材。

2落于畫板，理解國的本質

數學幾何畫板是一種非常好用的教學軟件，在中學數學教學中經常使用，“圓的認識”這一課中有許多內容可以運用幾乎畫板來進行整合教學。本環節教學中，學生的認知困惑是“圓，一中同長”這一概念本質如果通過實踐操作深入理解。如果僅僅只是被動接受，學生是很難真正理解“一中”“同長”的數學含義的，借助幾何畫板的演示交互功能，可以有效提升教學層次性。本環節主要安排了以下幾個操作流程：

2 1畫板操作中發現，感知點的特點

教材中關于圓的認知，只涉及到圓心、半徑和直徑，筆者個性化設計了“中心點”和“參考點”，給學生一個認知的“臺階”。通過若干個特殊點來初步感知圓上點的特點，主要分三步操作開展：首先通過兩根完全相同的線段，必須中心點到參考點距離相等，得到4個參考點，學生發現借助參考點畫出的圓仍然不圓，進而引發思考。然后，通過軌跡點的操作，在中心點周圍不斷尋找合適的參考點。最后呈現密布狀態的參考點，學生再次畫圓，發現圓越來越圓了，深刻感受到圓上點的特點 到中心點距離相等（圖3）。

筆者認為這個環節是本課的設計精髓，三個步驟既然有師生互動交流，又有畫圖體驗操作，最終感悟發現，自然揭示圓的概念本質，充分發揮了幾何畫板的互動演示優勢。

2.2數學想象中生華，內化圓的特征

圖形概念課操作很重要，體驗很重要，但是數學想象更重要。圓上的點是畫不完的，圓的形成是一個循序漸進的過程先找一個中心點，再找4個參考點，參考點和中心點的距離是同樣長的（固定的長度），參考點越多，這個圖形也就越接近于圓。學生頭腦中想象：如果參考點越來越多，當參考點變成無數個并布滿周圍整整一圈的時候，就變成了一個圓。

如果讓學生再來說一說心中的圓是怎樣的，相信會有新的感悟和認識：圓就由一個中心點和無數個到中心點固定長度的參考點組成的。同時，滲透中國古代墨子的“圓，一中同長也”，從操作層面升華到概念本質層面，圖形概念教學的認知難點也得到突破。

2.3動態體驗中揭示，明晰各部分名稱

幾何畫板在圓的概念本質揭示中有著強大作用，在圓各部分認識中也有著較大的價值。

例如，可以固定一個點，動態拖動另一個點改變線段長度，目前絕大部分軟件是缺乏這方面功能的。在半徑和直徑認識中，可以借助幾何畫板拖動一個端點，改變線段的長度和位置，這對于學生深入理解半徑和直徑很有幫助。信息技術與課程整合需要“潤物細無聲”，潛移默化滲透在數學教學中，幾何畫板可以無縫嵌入PPT課件，可以賦予課件強大的互動功能，突破教學難點，理清概念特征。

3終于操作，畫圓中引領提升

3.1多重感悟中明悟，深入理解圓的本質

借助幾何畫板，學生深入理解了圓的本質，還可以借助折一折、搖一描、小組討論等活動進一步內化圓的本質理解。例如一張圓形紙片通過折一折尋找圓心，原理就來源于直徑的概念，通過圓心并且兩端都在圓上的線段是直徑，那么兩條不同的直徑肯定相交于圓心。如果只是抽象的推理解釋，學生很難接受，但是通過折一折的活動，學生在操作中自然感悟到了直徑的特點。描一描半徑和直徑操作中，可以讓學生更好的體會到“圓上”和“經過圓心”的圖形特點。圖形概念課需要操作，借助操作活動，從直觀到半抽象的，再由半抽象到抽象，逐步提升。

3.2微課指導中規范，科學掌握畫圓方法

微課是教學的重要補充，畫圓環節就可以借助微課來指導教學，給予學生規范的操作方法。觀看微視頻尋找圓心和半徑在哪里，明確畫圓的基本要求，再通過呈現錯誤畫法，分析可能哪里出了問題？（兩腳間距離變動，針尖動了）進而認識到半徑確定了圓的大小，圓心確定圓的位置。畫圓又分了兩個層次：一是任意畫一個圓，讓學生體會圓的畫法和注意事項;二是畫一個規定大小的圓，標出各部分名稱，讓學生認識到要定長。兩個層次的畫圖操作，可以提升學生的畫圖實際操作能力。

3.3比較想象中拓展，深刻認識畫圓本質

通過圓規畫圓、操場畫圓、身體畫圓三種不同的畫圓方式，開展討論交流，發現不同畫圓方法的相同之處：一個中心點（定點）、一個固定的長度（定長璇轉一周勾連畫圓方法和圓的本質的聯系——“圓，一中同長也”。最后利用幾何畫板的迭代功能，呈現正三邊形到正無數邊形的演變過程，從另一個角度認識圓的意義，拓展學生思路。

通過本課的設計與實踐，有以下幾方面思考：一是幾何畫板在小學數學高年級圖形教學中具備很強的研究價值，充分發揮好技術的功能，可以為圖形教學服務;二是概念教學需要多樣態的活動方式，單一的活動操作會僵化學生的認知，開放性的手段可以激發學生的學習興趣;三是圖形概念教學需要經歷“表象——思考——想象理解”的思維過程，在認知沖突與思維碰撞中，走向學的彼岸。