數列極限求法綜述

熊青雪月　侯國亮　王君婷　劉韋婷

摘要：數列極限是理解極限思想的根本，又是學習函數極限的基礎，還是常考題型之一，本文在深入研究數列極限的基礎之上，給出了三類數列極限的求法，

關鍵詞：數列極限函數極限夾擠準則 定積分定義單調有界原理

1問題背景

眾所周知，極限思想是在尋找某些實際問題的精確解答的過程中產生的。比如，我國古代數學家劉徽借助國內接正多邊形來推算圓面積的方法，就是對極限思想的一次完美詮釋。

設有一圓，首先作它的一個內接正六邊形，記面積為S1;然后在此正六邊形的基礎上作其內接正十二邊形，面積記為S2;接著再作該圓的內接正二十四邊形，記面積為S3;照此循環做下去，每作一次正多邊形的邊數就增加一倍記內接正6×2n-1邊形的面積為Sn（n∈Ⅳ+）這樣，就得到一系列內接正多邊形的面積：S1，S2，S3，…，Sn，…，它們構成無窮數列{Sn}。顯然，因為隨著，n的增大，也即正多邊形的邊數增多，這就使得對應的內接正多邊形與圓的差別就越小，進而使得Sn越接近圓面積的精確值。但是無論n取得如何大，只要n固定下來，Sn終究還只是一多邊形的面積，而不是該多邊形外接圓的面積。不過，由上述過程可以獲知隨著n的無限增大即內接正多邊形的邊數無限增加，就可使得內接正多邊形無限接近于圓，同時無窮數列的通項也就無限接近于某一確定的數值，這個確定的數值（即是數列{sn}當n趨于無窮大時的極限就能理解為圓的面積在這個問題中我們一方面看到，正是這個數列的極限才精確地表達了圓的面積;另一方面還看到，數列極限能夠形象直觀地闡釋極限思想的本質，這有助于人類深刻理解極限思想并靈活運用其解決實際問題。另外，數列極限還是學習函數極限的基礎，而有關數列極限的數學題還是高考、考研等人生最重要的考試的常考題型之一。因此整理總結數理極限的求法意義重大。

因為數列通常是用通項公式或遞推公式表示的，所以下面就從這個角度分別給出數列極限的各種求法。

2通項公式已知的數列極限求法

根據通項公式的特點及復雜程度，可分別利用函數極限求法、夾擠準則和定積分定義求之。下面就結合幾個具體例子逐一進行示范。

如果數列通項能寫成一個相對簡單的函數表達式，即形如xn=f（n），那么根據函數極限和數列極限的關系，就有，此時就可以運用函數極限求法進行求解，

例1求極限。解：

設

則有

若數列的通項公式由n項和構成，且各項是按遞增或遞減排列的，則可以考慮用夾擠準則求之。 例2求極限 解：記， 則有

，所以由夾擠準則得

如果數列的通項公式由項和或項積構成，且不能用夾擠準則求之，則可考慮利用定積分定義求之，一 例3求極限 解：因為有 所以

3遞推公式已知的數列極限求法

如果數列是用遞推公式的有關形式給出，則一定考慮用單調有界原理求其極限。

例4設數列{an}瞞足o1/4（n=1，2，…）。證明極限 存在，并求之。

解證：因為

，所以an+1>an，即數列{an}嚴格單調遞增;又O

存在。設

，在

兩邊取極限，所以

.又（

，所以

，所以a=1/2，

參考文獻

[1]同濟大學數學系，高等數學（第七版）上冊[M]，北京：高等教育出版社.2014.

[2]劉淑芳，侯國亮，宋亮.高等數學.西安：西安交通大學出版社，2014.