“指數函數及其性質（第1課時）”教學設計與反思

于雷

一、教學內容及解析

本課內容為人教A版必修1第二章2.1.2節：指數函數及其性質.前面我們已經學習了函數及其表示、函數的基本性質以及實數指數冪及其運算性質等知識，本課我們主要學習指數函數的概念、圖象和性質及初步應用.

本課內容需要3個課時：指數函數的圖象及其性質、指數函數性質的應用（1）、指數函數性質的應用（2），本節課為第1課時.指數函數是高中新引進的第一個基本初等函數，從它的實際背景到指數函數概念的建立、圖象的繪制，再到探究基本性質以及指數函數的初步應用，整個學習過程體現了研究函數的基本方法.指數函數是本章的重點內容之一，它不僅是學習對數函數的基礎，而且在生活及生產實際中也有著廣泛的應用.

學生在初步領悟函數的概念，知道了函數是對客觀數量關系的抽象之后，再學習新的基本初等函數，從“函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型”這一觀點出發，“感受運用函數概念建立指數函數模型的過程與方法”，通過研究指數函數加深對函數概念的理解，將教學聚焦于如下內容：

指數函數是刻畫一類問題（指數增長、指數衰減）變化規律的模型——面對某一變化現象，選擇適當的函數模型研究其變化規律.

指數函數是理解函數概念的一個載體——以一般函數的概念為指導，同時加深對函數概念的理解，因此，教師要讓學生經歷研究一個（類）函數的完整過程.

本節課強調三點：聚焦對應關系，體現概括過程，強調函數模型的思想.重點是指數函數的概念、圖象及性質.

二、教學目標及解析

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出，基本初等函數：冪函數、指數函數、對數函數是最基本的、應用最廣泛的函數，是進一步學習數學的基礎.學習本單元，可以幫助學生學會用函數圖象和代數運算的方法研究這些函數的性質;理解這些函數中蘊含的運算規律;運用這些函數建立模型，解決簡單的實際問題，體會這些函數在解決實際問題中的作用.

《普通高中數學課程標準（2017年版）》規定，針對指數函數的教學要求：

1.通過對有理數指數冪a（a>0，且a≠1;m，n為整數，且n>0）、實數指數冪a（a>0，且a≠1，x∈R）含義的認識，了解指數冪的拓展過程，掌握指數冪的運算性質.

2.通過具體實例，了解指數函數的實際意義，理解指數函數的概念.

3.能用描點法或借助計算工具畫出具體指數函數的圖象，探索并理解指數函數的單調性與特殊點.

分析上述要求，主要是讓學生在理解指數函數概念的基礎上，以具體實例為載體了解指數函數的對應關系，借助圖象探索并了解指數函數的單調性等性質.因此，本課時的教學目標應定位為：

1.從實例引入，利用函數的一般概念，抽象歸納出指數函數的概念，培養學生的數學抽象、數學建模素養;

2.在探究指數函數性質的過程中，讓學生經歷通過畫圖象觀察、歸納、分析、驗證得出函數性質的過程，從特殊到一般，從具體到抽象，獲得并掌握研究函數的一般規律和方法，培養學生的直觀想象、數學抽象素養;

3.在探究指數函數的圖象和性質的過程中，讓學生體驗從特殊到一般，再到特殊的認知過程，感悟數形結合、分類討論的思想方法，培養邏輯推理素養.

三、分析學習者的特征

高一學生的認知基礎：

1.初中函數的知識;

2.高中函數的概念及性質、研究過程與方法;

3.實數指數冪及其運算性質.

學生剛剛進入高中學習，他們在初中學習了函數是“一個量隨著另一個量的變化而變化”，研究了正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數的圖象及性質;在高中學會了用集合對應的語言刻畫變化的過程.理解函數的概念，特別是理解對應關系的特征，對學生來說有一定的困難，用函數研究變化規律的方法還有待進一步學習，學生的認識不一定到位.

因此，本節課的難點是從實例中抽象出指數函數的概念，再借助圖象概括指數函數的性質.

四、教學策略的選擇與設計

基于以上分析，數學概念教學要符合學生的思維活動進程，遵循學生建構數學概念的階段順序：先創設一定的問題情境，引發學生思考背景和概念之間的關系，通過對這一關系的思考、抽象，理解概念的本質，再通過后續學習，建立起概念與其他知識之間的聯系，進而形成綜合的心理圖式.因此，本節課教師首先提出細胞分裂這一問題，引導學生緊扣函數的概念，建立函數模型來刻畫細胞數量的增長，然后再用洗衣污垢殘留量遞減的例子，說明函數是用來刻畫事物運動變化規律的一種模型，從而點出本節課的課題.在此基礎上，教師通過創設問題情境，設計問題串，類比研究一次函數、二次函數的方法，引導學生探究指數函數的概念、圖象和性質.

五、教學重點及難點

教學重點：指數函數的概念和性質.

教學難點：用數形結合的方法從具體到一般探索、概括指數函數的性質.

六、教學的基本流程

七、教學過程

（一）創設情境，提出問題

師：同學們，前面我們學習了函數的概念、表示及性質，之后又復習了指數運算，引入了分數指數冪的概念，并且把指數的取值范圍推廣到了實數，這些都為我們今天學習新的內容做好了準備.首先，我們來看一個問題（教師投影問題1）

問題1？搖 某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個……一直分裂下去，你覺得這種細胞分裂有什么規律嗎？

設計意圖： 教師從實際的問題情境出發，幫助學生認識到事物運動變化的規律可以用函數模型來刻畫，引導學生體驗面對某一變化現象，選擇適當的函數模型研究其變化規律.

教師組織學生思考，如何用數學式子來表示細胞分裂的規律，并采用個別提問的方式.

（二）建立模型，獲得概念

問題2？搖 你能解釋上述問題中變量間的關系為什么構成函數嗎？

設計意圖：以一般函數的概念為指導，加深對函數概念的理解，從而自然引出指數函數的概念.

教師引導學生回顧函數的定義，并就這一問題加以解釋，進一步加深學生對函數概念的理解，同時，追問函數的定義域.

問題3？搖 用清水漂洗含1個質量單位污垢的衣服，若每次能洗去殘留污垢的3/4，則漂洗x次后，衣服上的殘留污垢y與x的函數關系是什么？

設計意圖：有了問題1的討論，再用函數的觀點分析變量之間的對應關系，問題3可以幫助學生感知底數小于1大于0的情形，進一步加深他們對函數概念的理解，使他們明白函數模型是刻畫事物運動變化規律的數學模型，為引出指數函數的概念做準備.

問題4? y=2（x∈R），y=（1/4）（x∈R）是函數嗎？若是，其結構有何共同特征？

設計意圖：將x的取值范圍擴充到實數集，以一般函數的概念為指導，提煉出指數函數的模型y=a，實現概念同化.

【思考1】

（1）對任意實數x，2存在嗎？1存在嗎？0存在嗎？（-2）存在嗎？

（2）對任意實數x，a存在時，常數a的取值范圍如何？

設計意圖：將x的取值范圍擴充到實數集，讓學生思考a的取值范圍，歸納概括其共同特征.

教師提出思考題，引導學生把y=a中x的取值范圍和a的取值范圍弄清楚.

指數函數的定義：一般地，函數y=a（a>0，且a≠1）叫做指數函數，其中，x是自變量，函數的定義域是R.

（三）概念辨析，概念應用

（教師投影思考1）

【思考2】下列函數哪些是指數函數？

①y=8? ②y=2;? ③y=2+1;? ④y=2.

設計意圖：通過辨析，進一步加深學生對指數函數定義的理解，使他們認識到它是基本初等函數.

（四）小組合作，活動探究

師：我們知道了指數函數的定義及其解析式，那么函數的表示方法有三種：解析法，圖象法和列表法.其中，哪種方法最能直觀地反映函數的整體特征？

生：圖象法.

師：我們研究函數，除了清楚它的表示方法以外，還需要研究它的性質，而研究的目的就是利用它解決其他問題.（引出問題5）

問題5？搖 探究指數函數的圖象和性質.

設計意圖：類比第一章學習和研究函數的方法，理清研究的思路和方法.

在前面的學習中，我們建立了函數的概念，探討了函數的三種表示方法，接下來，我們研究了函數的基本性質，比如，單調性、最值、奇偶性，并且應用性質解決了簡單的問題，所以，指數函數的研究方法也應如此.在函數的三種表示方法中，圖象更能體現函數的整體特征，教師要引導學生掌握從特殊到一般的研究方法，從圖象入手去研究性質，進而得出研究y=a的方法和思路.

活動1？搖 以同桌的兩個人為一個小組進行合作，先討論一下，選取你們認為合適的a值，在同一坐標系下畫出這兩個指數函數的圖象.

（1）y=（? ?）; （2）y=（? ?）.

設計意圖：讓學生自主選擇底數，經歷畫圖象的過程.為了研究函數的性質，底數的選取需要具有代表性，如果由教師規定底數，會造成部分學生被動地認識圖象，雖然自主選擇底數會有些片面，但經過小組交流，學生能相互補充，相互驗證.教師要教導學生在畫圖時如何取點，引導他們注意函數的定義域所起的作用.學生經過相互交流，能夠較系統、全面地認識指數函數.

將同桌的兩個同學作為一個小組，先讓學生討論底數的選擇，然后，兩人合作用描點法畫出函數的圖象.教師巡視，觀察學生出現的錯誤、偏差.

活動2？搖 你畫的指數函數的圖象有哪些特征？

設計意圖：引導學生根據圖象歸納概括指數函數的性質.由于學生在畫圖過程中選點的片面性或者選擇的底數取值比較片面，會使圖象不完整或者不具代表性，導致概括的圖象特征不全面，這個活動暴露了學生的思維過程，通過交流，學生會發現自己考慮問題不夠全面，最后，教師再來糾錯糾偏.

學生合作、討論、交流，教師展示學生的答案，再利用幾何畫板演示指數函數的圖象，然后將圖象歸納為兩種類型，再分別根據兩類圖象歸納指數函數的性質.

問題6 隨著底數a的變化，指數函數的圖象會呈現怎樣的變化規律？

設計意圖：教師利用信息技術，追蹤函數圖象的軌跡，引導學生觀察圖象，發現隨著底數a的變化，指數函數的圖象呈現怎樣的變化規律.

（五）應用新知，鞏固深化

如圖，有四個指數函數的圖象，請比較a，b，c，d的大小（按從小到大的順序）.

設計意圖：通過本例題，加深學生對指數函數圖象的認識，并引導他們弄清底數對圖象的影響.

（六）概括知識，總結方法

師：本節課我們學習了哪些知識？你還學會了哪些方法？我們是怎么研究指數函數的？（教師提出問題7）

問題7 ？搖通過本節課對指數函數的研究，我們獲得了哪些知識和方法？

設計意圖：對本節課的知識和方法進行歸納和概括.

教師讓學生口頭回答，并根據學生回答的情況進行評價和補充.

（七）運用拓展，提升能力

【思考3】

（1）函數y=2（x≤1）的值域為__________.

（2）函數y=2的值域為__________.

設計意圖：對本節課的知識和方法進行歸納概括，通過這個思考題，學生感受到許多復雜的問題可以化歸為簡單的基本初等函數去解決，為下一節課做了鋪墊.

（八）分層作業，鞏固提升

1.完成教材P58練習2;P59習題2.1第5題.

2.拓展練習.

（1）指出下列函數哪些是指數函數，哪些不是，并說明理由.

（2）若函數y=a+m-1（a>0）的圖象在第一、三、四象限內，則（ ）.

A.a>1且m>0? ? ? B.a>1且m<0

C.0<a<1且m>0? D.0<a<1且m<0

（3）在同一坐標系中作出下列函數的圖象，討論它們之間的聯系.

①y=3;? ②y=3;? ?③y=3;

④y=（1/2）; ⑤y=（1/2）;⑥y=（1/2）.

從圖象中，你能得出什么規律？你能推廣到一般情形嗎？

（4）函數y=a（a>0，且a≠1）恒過定點_____________;

函數y=a （a>0，且a≠1）恒過定點_____________;

函數y=a+3 （a>0，且a≠1）恒過定點_____________.

（九）自我評價與反思

為落實黨的十八大提出的教育“立德樹人”的根本任務，教育部修訂并頒布了《普通高中數學課程標準（2017年版）》，明確了高中階段數學學科核心素養的內涵，基于學科核心素養提出了教學建議、評價建議，制定了學業質量標準.學生數學核心素養的形成和發展，是在教師的啟發和引導下，學生通過獨立思考或者與他人交流，最終“悟”出來的，是一種逐漸養成的思維習慣.因此，在教學活動中，把握數學內容的本質、精心設計合適的教學方案非常重要，探索基于核心素養的課堂教學就成為一線教師值得思考與實踐的課題.回顧這節課的教學設計，有如下幾點值得思考：

1.創設情境，讓學生經歷概括指數函數概念的過程

從教的角度看，概念教學的核心是引導學生開展概括活動：以典型的具體事例為載體，通過引導學生分析各事例的屬性、抽象概括出它們共同的本質屬性、歸納得出數學概念等，幫助他們獲得概念.

在設計指數函數概念的形成過程時，教師要讓學生經歷概念的概括過程：教師從探索細胞分裂的規律引入教學，讓學生用式子表示細胞分裂的規律，這就是建模.這樣，學生遇到實際問題時，就會使用數學語言進行表達，從而有效地培養了學生的數學建模素養.

得出模型后，判斷這個式子是函數嗎？指數函數是基本初等函數，“指數函數”是“函數”的下位概念，教師要引導學生使用“概念同化”的方式學習，深刻理解“三要素”的具體內涵，其中，核心是“對應關系”，學生要學會用函數的定義去思考、去判斷.數學思維的特點是用概念思維，且邏輯性強，在這一環節中，學生積累了用集合與對應的語言刻畫函數的活動經驗，對如何用“對應關系”描述變量之間的依賴關系也體會得越來越深刻，對函數本質的理解也逐步透徹，體驗函數是描述客觀世界變化規律的基本數學模型.

為了幫助學生獲得指數函數的概念，筆者再以漂洗衣服這個問題為例子，引導學生觀察這兩個例子得出函數模型，分析解析式的共同特征，形成概念，概括得出指數函數的定義.

接下去是概念的辨析和用概念進行判斷，筆者設計了思考題，要求學生辨析給出的函數是否為指數函數.

從指數函數概念的形成過程來看，該教學設計主要體現了讓學生經歷概念的概括過程，基本環節為：

（1）背景引入;（2）具體例證的屬性分析、比較、綜合;

（3）概括共同的本質特征得出概念的本質屬性;

（4）下定義（用數學語言準確地描述）;

（5）概念的辨析——以實例（正例、反例）為載體分析關鍵詞的含義;

（6）用概念做判斷;（7）概念的精致——建立與相關概念的聯系.

從學的角度看，概念的形成和概念的同化是兩種基本的獲得概念的方式.概念形成的實質是抽象出一類對象共同的本質屬性的過程，其思維活動的核心是概括;概念同化就是學生利用已有認知結構中的相關知識理解新概念，理解的過程是新舊知識相互作用的過程，是將新知識納入原有認知結構的過程，思維活動的核心仍是概括.指數函數概念的獲得，既有概念的形成，又有概念的同化.

2.設計問題，讓學生在探究中學會研究函數的一般方法和步驟

概念教學的兩個關鍵是情境創設和問題引領.本節課的教學設計，以“問題串”的呈現為主，教師應認真思考每一個問題的設計意圖，合理預設師生活動，以及需要概括的概念要點、思想方法，需要進行的技能訓練，需要培養的能力及素養等.整個教學過程一共設計了7個問題，3個思考，2個活動，1個例題，包含了八個環節：

（1）創設情境，提出問題;（2）建立模型，獲得概念;（3）概念辨析，概念應用;（4）小組合作，活動探究;（5）應用新知，鞏固深化;（6）概括知識，總結方法;（7）運用拓展，提升能力;（8）分層作業，鞏固提升.

在探究指數函數的性質時，教師應引導學生利用原有的知識，明確需要研究函數的哪些性質，怎么研究.在這個過程中，教師要教會學生先從圖象入手，看圖說性質，即從幾個特殊的指數函數出發，畫出圖象，認真觀察并歸納圖象的性質;然后利用信息技術，演示底數變化時圖象怎么變化，最后得出一般性質.

這一過程，一定要放手讓學生去探究、去思考，畫哪幾個具體的指數函數，學生說了算.原來筆者的設計是讓學生畫出底數分別是2，3，1/2，1/3的指數函數，但是這樣就限制了學生的思維，阻礙了學生在選擇數據時需要進行的思考.之后筆者將其改為兩人小組合作，討論如何選取底數，并把兩個圖象畫在同一坐標系下，為了探究指數函數的性質，選取的具體函數應具有代表性，學生通過討論交流可以達成共識，即便他們畫出的圖象片面或者出錯了，通過這一過程，學生學習了抓典型、找代表，從特殊到一般的研究方法，在探究中學會了研究函數的一般方法和步驟.因此，留給學生時間去畫圖，這是非常必要的.

3.課堂教學應注重培養和發展學生的數學學科核心素養

學生的數學核心素養不是與生俱來的，是在數學學習的過程中逐步形成和發展起來的.雖然光靠一節課難以實現核心素養的培養，但是教師是否關注學生學科核心素養的培養，是否關注學生思維的參與，讓學生真正“動”起來，從這個角度說，一節課可以“以小見大”，筆者認為，指數函數的教學這樣設計，那么對數函數、冪函數、三角函數這些基本初等函數也一樣.整體看來，一節課一節課積累起來，學生的學科核心素養就可以逐步培養起來.

課堂教學應體現培養和發展學生的數學學科核心素養，本節課主要體現了數學抽象、直觀想象、數學建模等數學核心素養的培養.函數是刻畫事物運動變化規律的模型，整個指數函數概念的教學過程圍繞建立函數模型，誰是自變量，對應關系是什么，誰是函數值等問題展開，充分體現了建模思想，體現了數學建模這一核心素養.筆者從實際情境出發，讓學生經歷建立函數模型、研究事物變化規律，進而解決問題的過程，通過概括一類函數模型的共同特征，得出指數函數的概念，充分體現了培養數學抽象這一核心素養.通過畫出函數的圖象概括函數性質這一方法又充分體現了直觀想象素養的培養.

備注：本文系全國教育科學“十三五”規劃2016年度單位資助教育部規劃課題“基于高中學科核心素養培養的課堂教學設計研究”課題論文，課題批準號FHB160564.