踐行“四個理解” 落實核心素養

史承灼 魏大付

摘要：理解數學，有助于整體把握數學結構，準確確定教學目標;理解學生，才能關注學生思維的最近發展區，選擇合適的教學方法;理解技術，掌握并運用信息技術輔助教學，為數學課堂教學插翅添翼;理解教學，才能科學合理地處理怎樣教和為什么這樣教，有助于處理好教師的教與學生的學的統一，從而使學生獲得最大的學習效益。“理解數學、理解學生、理解技術、理解教學”共同構成了理解數學課堂教學，使學生真正可以獲得良好的數學教育。

關鍵詞：理解數學?理解學生?理解技術?理解教學

章建躍先生早在2010年“第五屆全國高中數學教師優秀課觀摩與評比活動”的大會報告中，就提出了中學數學教學的“三個理解”——理解數學，理解學生，理解教學。2017年4月的“以‘核心素養為綱的數學教學改革’全國初中數學教學研討會”上，章建躍先生在報告《核心素養統領下的數學教學變革》中，將其發展為“四個理解”——理解數學、理解學生、理解技術、理解教學。“四個理解”是基于“互聯網+”新時代下對“三個理解”的豐富和發展，是數學教師專業發展的基礎，是在課堂教學中落實數學核心素養的關鍵。本文以工作室成員魏大付老師執教的滬科版義務教育實驗教科書數學九年級上冊，第21章第5節“反比例函數的圖像和性質”為例，談談如何踐行“四個理解”，培養學生的數學核心素養。

一、理解數學，整體把握數學結構

理解數學是備好課的前提，備好課是上好課的前提，而備好課的條件之一是理解教材。理解數學，就是要準確把握知識點產生的背景，在教材中的地位和前后聯系，對后續學習的重要作用，從整體上把握數學結構，以及其中蘊含的數學思想方法及這些數學思想方法在學習其他知識時能否類比、推廣等。理解數學，不僅要“知其然”，還要“知其所以然”，作為教師更要“知何由以知其所以然”。否則，以師昏昏，又怎能使學生昭昭呢？

函數是揭示運動變化過程中數量關系和變化規律的重要數學概念，是刻畫現實世界變化規律的重要數學模型。“反比例函數的圖像和性質”是在平面直角坐標系、一次函數、二次函數的基礎上進一步研究的內容，教科書首先給出三個問題：

問題1：某村有耕地200 km2，人口數量x逐年發生變化，該村人均耕地面積y與人口數量x之間有怎樣的函數關系？

問題2：某市距省城248 km，汽車行駛全程所需時間t與平均速度v之間的函數關系？

問題3：在一個電路中，當電壓U一定時，通過電路的電流I的大小與該電路的電阻R之間有怎樣的函數關系？

顯然，這三個問題中的函數關系分別是：y=200x，t=248v，I=UR，引導學生發現它們的共同點，從而得到反比例函數的概念：形如y=kx（k為常數，k≠0）的函數叫作反比例函數，要特別注意自變量的取值范圍;接著研究反比例函數的圖像和性質;然后是利用反比例函數的概念、圖像和性質解決實際問題。這一過程充分體現了數學建模的價值和意義。在研究反比例函數的圖像和性質時，要體現用描點法畫函數圖像的一般規律：在自變量x的取值范圍內給出x一些具體的數值，根據x、y的對應關系，得到相應的函數值y，在坐標系中描出這些以（x，y）為坐標的點，再將這一系列的點依次連接起來，得到函數的圖像。其間蘊含著數形結合、分類討論、對應、轉化、模型等重要的數學思想，同時還滲透抽象、類比、歸納等數學方法，充分揭示和利用這些思想方法是領會本節課教學內容的關鍵。

通過對反比例函數及其圖像的分析和研究，明確其性質，其中的核心是反比例函數圖像的特征，反比例函數的特性，以及它們之間的相互轉化關系。首先用列表、描點的方式，畫出圖像;其次根據圖像進行觀察、分析、歸納，從不同的角度（列表法、解析法和圖像法）進行探究和概括，得出反比例函數的性質;然后辨認和識別反比例函數特性與其圖像特征之間的內在聯系，同時將反比例函數的圖像和性質融入原有的認知結構之中。

反比例函數作為一種基本的初等函數，研究一次函數、二次函數所運用的思想方法（從特殊到一般、數形結合等）在這里也都是適用的。研究反比例函數，能進一步加強對函數一般規律和方法的學習。學生理解和掌握這種研究模式和學習方法，對于明確學習目的，學習后續相關知識，以及建立完善的認知結構大有裨益。

二、理解學生，關注思維最近發展區

備好課、上好課的另外一個重要前提是理解學生，也就是說，好的教學必須建立在學生已有的知識基礎、能力基礎、活動經驗基礎上。要想使學生掌握新的數學知識和方法，提高數學學習和應用的能力，我們應借助學生已有的知識儲備，幫助學生建立新知識與原有認知結構中相應知識之間的聯系。

在學習函數的初始階段，學生已經學過用描點法畫函數圖像的步驟——列表、描點、連線，但學生對每一步要求的理解可能并不深刻。因此，我們在教學中可以從分析反比例函數表達式入手，引導學生先分析“數對（x，y）”和“解析式y=kx（k≠0）”中x、y的關系，再過渡到對“形”（圖像）的認識。我們可利用幾何畫板畫出某一具體反比例函數如y=6x的圖像，并利用其動態演示功能，形象地展示當自變量取值變化時，對應函數值的變化規律。學生在直觀感知的同時，經歷由特殊到一般、由具體到抽象的過程，加深了從圖像特征歸納得出函數特性的認識。整個過程學生始終處于一種自然生成的狀態，遵從于一般的認知規律，符合學生思考問題的習慣。教師從學生的角度思考問題，有助于教師對課堂教學預設與生成的把握。

三、理解技術，幾何畫板輔助教學

幾何畫板為數形結合思想在教學中體現，創造了一條便捷的通道，是目前階段實現數形結合思想的有效的輔助教學工具，它可以畫出學生難以畫出的圖形，便于從變化的圖形中尋求問題解決的方法和依據，認清問題的本質。

對于函數及其圖像，學生理解起來是困難的，特別是反比例函數的圖像的特點，即雙曲線與兩條坐標軸無限接近，但永不相交。利用幾何畫板可以有效突破這一難點，以反比例函數y=6x為例：建立坐標系，在x軸上取點A，度量其橫坐標，利用“度量”菜單中的“計算”功能計算出6x的值，在“度量”菜單下的“繪制點”繪出點Bx，6x，依次選中A、B兩點，選擇“構造”菜單中的“軌跡”，完成雙曲線的繪制。結合圖像和繪制過程，引導學生發現：當x>0時，x的值越大，6x的值越小但永不為0。隨著x的增大，點x，6x向右運動，圖像與x軸的距離越來越小但永不相交。雙曲線與y軸的關系亦然。

傳統的教學方法中，用描點法畫反比例函數圖像時，可能會出現如下問題：取點太少或缺乏一般性性，畫出的圖形不能反映全貌;描點不準確或不能用平滑曲線連接，致使圖形不正確而不能反映其本質特征;很難想象和理解函數圖像上有無數個點和無限延伸的變化趨勢等。利用幾何畫板畫反比例函數圖像，可以讓學生清晰地看到點動成線的形成過程， 能夠化抽象為具體， 化靜態為動態，便于學生觀察、比較、分析，起到啟迪思維、高效獲取知識、發展數學思維、形成數學能力的作用。

四、理解教學，問題引領系統思維

教師理解了課堂教學中的載體“數學”，理解了教學對象“學生”，也理解輔助教學的信息技術，然后就是理解教學，即理解“怎樣教”以及“為什么這樣教”，才能使課堂教學效益最大化。在考慮“反比例函數圖像和性質”的課堂教學設計與相關內容的展開時，我們要先考慮教學問題設置的“梯度”及設計的科學性，同時，特別關注學生的實際情況。根據美國教育家杜威的教學思想，依據問題引導的原則，本節課可以按如下環節設置問題展開教學。

環節1：回顧正比例函數相關內容和研究方法。

環節2：根據實際情境，分析所列的函數表達式，根據它們共同點，歸納反比例函數的概念。

環節3：畫反比例函數y=6x的圖像，并觀察圖像有哪些特征。

環節4：探究所有的反比例函數的圖像都具有的一般特征。

環節5：探究反比例函數y=6x與y=-6x的圖像，它們有什么共同特征？有什么不同點？是由什么決定的？

環節6：探究對于y=kx（k≠0），當k取不同值時，前面環節得到的結論是否適用。

環節7：總結反比例函數y=kx（k≠0）的圖像特征和性質。

環節8：歸納研究函數的一般策略。

這樣的設計，層層遞進，自然順暢，使課堂真正回歸數學知識生成、學生思維發生的“原生態”。基本脈絡是：環節1復習正比例函數的內容以及研究方法;環節2通過實際情境引導學生分析函數關系y=200x，t=248v，I=UR的共同點，類比歸納反比例函數概念;環節3以反比例函數y=6x為例，讓學生經歷“列表、描點、連線”的過程，畫出該函數的圖像，為“反比例函數的圖像是什么樣的”積累認知素材，思考、概括反比例函數的圖像“特征”;環節4進一步提出假設：是不是所有的反比例函數的圖像都具有這樣的“特征”？將問題拓廣;環節5以討論反比例函數y=-6x為例，關注反比例系數“k”的作用，獲得“特殊的”反比例函數的“特性”;環節6推廣至一般情況，探討k取不同的值的情形，引導學生歸納“變化中的規律性”，分析結論的合理因素;環節7使學生歸納反比例函數y=kx（k≠0）圖像的特征和性質;環節8讓學生總結學習的收獲，使學生對反比例函數的圖像和性質有一個整體、全面的認識，養成良好的學習習慣。

教師理解數學，有助于準確確定教學目標;教師理解學生，有助于選擇合適的教學方法;教師理解技術，有助于掌握并運用信息技術輔助教學;教師理解教學，有助于處理好教師的教與學生的學的統一。“理解數學、理解學生、理解技術、理解教學”共同構成了理解數學課堂教學，使學生真正可以獲得良好的數學教育。

參考文獻：

[1]章建躍.理解數學，理解學生，理解教學[J].中國數學教育（高中版），2010（12）.

[2]新時代數學編寫組.義務教育教科書數學九年級上冊[M].上海：上海科學技術出版社，2014：4347.

[3]史承灼.貌似簡單實不然，深究才能明是非[J].中學數學教學參考（中旬），2018（6）：44.

[4]高洪武.基于“幾個理解”教學觀下的概念課設計[J].中小學數學（高中版），2014（12）.