基于數值模擬的材料力學課題式教學初探

羅國宇　葉琦旦

摘? 要：材料力學是機械類工科專業本科生必修的一門重要課程。然而，傳統的材料力學教學過于注重基礎理論知識的講授和解題技巧的訓練，在理論聯系實際方面存在不足。文章以數值模擬為手段，嘗試將課題式教學的理念引入材料力學教學過程，給出了基于數值模擬的材料力學課題式教學設計的一般方法和一個具體的示范教學案例。該方法有助于培養學生分析問題、解決問題的科學素養以及提升利用計算機解決工程實際問題的能力，在教學實踐中取得了良好的效果。

關鍵詞：材料力學;數值模擬;課題式教學

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2019）16-0082-04

Abstract： Mechanics of materials is an important compulsory course for students majoring in mechanical engineering. However， the traditional teaching methods of material mechanics pays too much attention to the classroom instruction of basic theoretical knowledge and the training of problem solving skills， and there are shortcomings in integrating theory with practice. By means of numerical simulation， this paper attempts to introduce the idea of project-based instruction into the teaching process of material mechanics， and gives a general method and a specific demonstration case. This method is helpful to cultivate students' scientific literacy of analyzing and solving problems， and to improve their ability of solving practical engineering problems with computers. It has achieved good results in teaching practice.

Keywords： mechanics of materials; numerical simulation; project-based instruction

材料力學是機械類工科專業本科生必修的學科基礎骨干課程，在整個課程體系中占據著承上啟下的重要位置。然而，一般的材料力學教學內容與教學模式大多還是沿襲傳統的經驗，與產業發展的技術方向和就業需求的聯系不夠緊密，與“新工科建設”的內涵與要求相比存在較大的差距。例如，傳統的材料力學僅研究最簡單的桿件系統，其理論知識很難直接應用于工程實際問題。目前工業界對于復雜的工程問題已經能夠大量運用先進的數值模擬軟件進行分析解決，而傳統的材料力學教學過程過于強調基礎理論知識的講授和解題技巧的訓練，忽略了學生對于現代建模分析工具的掌握，導致學生只能解決書本上的簡單問題，就業后面對工程中復雜的實際問題時卻無從下手。針對以上問題，國內高等院校在材料力學課程體系、教學內容以及教學方法改革等方面進行了大量的嘗試，取得了一定的成果。例如，一方面，在教學過程中通過引入工程案例，采用項目式、課題式教學法，以課題研究為導向引導學生培養理論聯系實際的分析能力[1-4];另一方面，在教學手段上，通過引入有限元數值模擬技術，以更加直觀形象的方式加深學生對知識點的理解，彌補實驗教學的不足，增加教學過程的趣味性[5-11]。本文嘗試將以上兩個方面的有益經驗進行結合，提出基于數值模擬的材料力學課題式教學模式，并給出一個示范教學的典型案例。

一、思路與方法

基于數值模擬的材料力學課題式教學的基本思路是：以工程實際需求為導向，將材料力學課程中的重點、難點內容提煉成一系列課題;學生在教師的指導下應用數值模擬軟件完成課題研究。通過課題式的訓練，學生將對相關知識點獲得更加深刻的理解，初步掌握力學有限元數值模擬應用技能，提升利用計算機解決工程實際問題的能力，為進一步深造研究打下良好的基礎，或為以后的就業提供更強的競爭力。

課題式教學是將學習、設計、研究貫穿于課程教學始終的一種教學模式，它打破了舊模式下的滿堂灌，學生在教師指導下開展學習、研究、討論和設計，把教、學、做三者有機地結合在一起[2]。與傳統的傳遞——接受式教學模式相比，課題式教學在教學目標、教學形式和教學評價方面都有很大的不同，其最大的特點就是把教學內容和教學手段課題化，強調理論知識與工程實踐的有機融合，重視學生綜合素質與技能的培養，重視學生主體作用和學習主動性的發揮。

力學問題的數值模擬一般是指應用有限元分析理論在計算機上建立模擬真實工況的力學模型，通過數值計算獲得結構的應力、應變等結果，并以可視化的形式進行展示的方法。數值模擬技術在工程界已經得到廣泛應用，在產品的設計、優化等方面發揮了越來越重要的作用。將數值模擬技術引入材料力學課題式教學過程，可以更好地激發學生的學習興趣，讓學生較早地接觸工程CAE的思想，提升利用計算機解決工程實際問題的能力。目前流行的通用型有限元數值模擬軟件大多具有友好的人機交互界面、清晰的建模流程以及完善的前后處理功能，均可應用于本文所述的材料力學課題式教學。考慮到大多數本科生不具備有限元分析的理論基礎，在教學中應盡量避免讓學生過多地糾結于數值模擬過程的具體細節，而是更多地聚焦于對力學問題本身的研究，充分利用交互式的數值模擬技術對材料力學問題依賴某些參數變化的規律獲得更加直觀形象的深刻理解。

二、課題式教學環節設計

考慮到目前各高校材料力學課堂教學學時數普遍非常緊張的現狀，本文所提出的課題式教學主要以學生興趣小組的形式利用課外時間來完成。在實施過程中教師僅需在適當的節點進行少量的課堂講解，這樣既不會對傳統的課堂教學造成較大的影響，還能有效提高課堂教學的效果，成為課堂教學的有益補充。根據筆者教學實踐的經驗，本文將基于數值模擬的材料力學課題式教學過程主要按照“課題準備-課題實施-考核與評價”三個環節來進行設計，其中每個環節的具體內容如下：

（一）課題準備

課題式教學的開展需要以學生具備基本的材料力學基本概念和知識為前提，因此該項工作宜安排在學期中后期進行。課題準備是整個教學過程的關鍵環節，充分的課題準備工作是后續環節得以順利開展的必要條件。因此，在課題準備階段教師需要花費一定的精力主要做好以下三個方面的工作。

1. 示范教學

教師可結合材料力學課程教學的實際進程，選擇一個典型的材料力學問題作為示范教學的案例，采用課堂教學的形式，利用大約1個學時的時間，給學生詳細演示針對給定問題進行課題式研究的全過程。通過示范教學可以讓學生對課題式研究的基本方法和流程，以及數值模擬軟件的使用建立起初步的概念，同時也能夠激發學生進行課題式研究的興趣。本文后面給出了一個針對薄壁圓筒扭轉切應力公式應用范圍進行研究的示范教學案例，以供參考和借鑒。

2. 選題與分組

在課題的選擇上，采用教師指定題目與學生自選題目相結合的形式。一方面，教師通過對材料力學課程知識體系的研究分析，把一些重點、難點內容提煉成一系列課題供學生選擇;另一方面，也鼓勵學生結合自己的興趣和特長自行擬定研究課題。每個課題都應圍繞著具有啟發性的工程實際背景展開，具有明確的目標，且適合于利用數值模擬軟件進行研究。選題確定后，以課題任務書的形式進行明確。學生按照所選課題進行自由組合分組，每個課題小組的人數控制在4～6人，并在小組內指定一名學生擔任組長，負責課題的組織、協調與推進。另外，組長應將組內學生按照特長和知識經驗的差異進行合理分工，以保證每位學生都能積極主動地參與課題研究的全過程。

3. 數值模擬軟件學習

教師針對材料力學問題數值模擬的特點，選擇合適的數值模擬軟件，編寫一份簡明的軟件操作手冊發給學生進行軟件使用的學習。該操作手冊應包含一個數值模擬案例的完整操作步驟。學生按照操作手冊的指引一步步動手操作完成案例分析的全過程，花大約1周的時間即可初步掌握使用軟件進行幾何建模、定義約束、施加載荷、網格劃分、計算、后處理的基本技能。

（二）課題實施

考慮到各個課題所涉及的材料力學知識點不一樣，具體課題的實施時間需要與課程教學進程相銜接，因此可以考慮采用分批啟動的方式來進行。每個課題實施的周期大約控制在2周以內。課題實施環節主要包含以下內容：

1. 分析問題

首先由教師引導學生理解與課題相關的概念、背景和理論知識，提出解決問題的技術路線建議。學生則根據任務書的要求明確研究目標，然后帶著問題去查閱相關文獻資料，并以小組為單位對搜集到的資料進行分析、提煉與總結，確定課題研究的初步思路。這一階段重點鍛煉學生查閱、分析資料的能力，為后續研究奠定基礎。

2. 確定研究方案

學生在掌握相關理論知識并進行文獻資料分析的基礎上，通過小組討論確定課題研究方案。研究方案應有具體的研究內容和研究計劃，并根據課題組成員的特長和能力進行分工。在這一階段，教師不宜過度參與，僅在必要時輔助學生對課題方案進行適當的可行性分析。

3. 數值模擬與結果分析

學生在課題組內協同完成所選問題的力學建模與數值計算，通過調節某些參數來研究相關問題依賴參數變化的規律，最后得到研究結論并撰寫研究報告。在這一階段，教師主要利用課外時間解答學生關于軟件操作的問題，引導學生對數值模擬結果的正確性進行分析。

（三）考核與評價

考慮到每個課題的啟動與完成時間不一樣，考核與評價工作也可分批次進行。每個課題組應提交研究報告，并向全班學生進行匯報和演示。這一階段教師主要針對在研究過程中出現的難點問題和共性問題進行講解，引導學生進行討論，并采用學生自評、小組互評和教師評價的方式對每個課題組的工作進行發展性和過程性的評價，評價結果以一定比例計入每個學生的課程成績。通過把課題研究的過程與效果納入課程的評價體系，在一定程度上改進了傳統上考試決定成績的單一評價方式。

三、示范教學案例

示范教學是課題式教學過程中課題準備環節的一個重要內容。通過教師對典型材料力學問題進行課題式研究全過程的演示與講解，旨在讓學生對課題研究的基本方法和流程，以及數值模擬軟件的使用建立起初步的概念。下面以薄壁圓筒扭轉切應力公式應用范圍研究為例，給出一個具體的示范教學案例。

（一）問題導入

一般材料力學教材給出的薄壁圓筒扭轉時的橫截面切應力公式如下：

式中T為橫截面上的扭矩，δ為圓筒壁厚，r0為圓筒的平均半徑。

公式（1）是基于“薄壁”和“切應力在截面上均勻分布”的假設推導出來的，其實質上計算的是薄壁圓筒橫截面上的平均切應力。但是在教學實踐中發現，對于圓筒的壁厚在什么范圍內才算是薄壁，該公式的計算誤差隨壁厚的變化有什么規律等問題，學生往往感到迷惑。因此，這個問題非常適合作為一個小課題，應用本文提出的課題式教學模式引導學生進行拓展性研究。

（二）分析問題

首先引導學生認識到薄壁圓筒是空心圓軸的一個特例，而一般空心圓軸扭轉時橫截面上的最大切應力公式易推導得到如下形式：

式中T為橫截面上的扭矩，D和d分別為空心圓軸的外徑和內徑。顯然公式（2）也適用于計算薄壁圓筒扭轉的切應力，且具有更高的精度，因此其計算結果可作為參考的基準。

其次，引導學生查閱文獻，發現刁海林[12]通過理論推導給出了薄壁圓筒扭轉切應力公式的應用范圍。王魁等[13]通過理論推導得到了空心軸機械強度計算的公式，并進行了有限元數值模擬計算。這些工作可作為本課題研究的重要參考。

（三）確定研究方案

在以上分析基礎上，可以確定課題研究的方案：針對一個空心圓軸扭轉的具體實例，分別用公式（1）、公式（2）和數值模擬方法計算出空心軸壁厚從小到大變化時中間截面上的最大切應力，然后以公式（2）的計算結果為基準，根據一般工程精度的要求來確定公式（1）的應用范圍;同時將數值模擬計算的結果與公式（2）的計算結果進行比較以驗證數值模擬的正確性。

（四）數值模擬與結果分析

參考材料扭轉實驗的一般方法，選用空心圓軸的長度為120mm，外徑D為10mm，內徑d隨k值變化，圓軸一端固定，另一端施加外力偶矩Me=5N·m。根據以上設定，可在數值模擬軟件中直接建立空心圓軸的幾何模型與物理模型，并生成有限元計算網格（圖1）。

為了考察壁厚變化時的截面應力變化規律，引入相對壁厚系數k，建立空心圓軸壁厚與外徑和內徑的聯系如下：

式中δ、D、d、d0分別為空心圓軸的壁厚、外徑、內徑和平均直徑。令k取0到1區間內的若干值分別進行計算。計算完成后經后處理即可得到相關結果的可視化圖像。根據圣維南原理，載荷的施加方式僅對其作用區域附近的應力分布影響較大，因此選用離力偶作用面較遠的中間截面進行切應力分析。

圖2給出了數值模擬計算得到的k=0.5時空心圓軸中間截面的切應力分布。從圖中可見截面內切應力的絕對值沿徑向由內向外增大，且在離圓心距離相等的圓周上切應力的大小相等。這個圖像與材料力學教材給出的結論是一致的，這也定性地驗證了數值模擬計算的正確性。

圖2 空心軸中間截面切應力分布（k=0.5095）

圖3給出了數值計算得到的空心圓軸中間截面最大切應力隨k值變化曲線，同時還畫出了公式（1）和公式（2）的計算結果進行比較。從圖中可見，按公式（1）和公式（2）計算得到的曲線在左右兩端重合度較高，但在中部存在較大偏差。而數值模擬計算的結果與公式（2）計算的結果是幾乎重合的。

進一步還可做相對誤差的分析。從圖4可見，用公式（1）計算的結果相對于用公式（2）計算的結果的相對誤差E1隨k值變化的曲線呈現為開口向下的拋物線形狀：當k逐漸增大，也即壁厚逐漸增大時，切應力的相對誤差E1也逐漸增大;當k=0.41時，相對誤差E1達到最大值17.1%;之后隨著k值增大，相對誤差E1又逐漸減小。根據相對誤差應滿足一般工程精度的要求（<5%），可對公式（1）的適用范圍作出量化界定：當k∈（0，0.0563]時，E1<5%，空心圓軸可稱為“薄壁圓筒”，可用公式（1）計算;當k∈[0.894，1）時，E1<5%，空心圓軸可稱作為“特厚壁空心圓軸”，也可用公式（1）進行計算;當k∈（0.0563，0.894）時，E1≥5%，需使用公式（2）進行計算。經比較，該結果與文獻[12]給出的結論基本一致。從圖4還可看出，數值模擬計算結果相對于用公式（2）計算的結果的相對誤差E2在k值變化的整個范圍內幾乎為0，這也定量地驗證了數值模擬的正確性。

通過本示范案例的講解，一方面以直觀的形式很好地回答了“薄壁圓筒到底有多薄”的問題，加深了學生對該知識點的理解;另一方面也讓學生初步了解課題研究的完整流程，激發學生的學習興趣，充分調動學生參與課題式教學的積極性。

四、結束語

本文以數值模擬技術為手段，將課題式教學的理念引入材料力學教學過程，給出了基于數值模擬的材料力學課題式教學設計的一般方法和一個具體的示范教學案例。教學實踐表明，通過將材料力學知識點轉化成為一個個課題任務，將被動接受式學習轉化成為主動探索式研究，能夠極大地激發學生的學習興趣，加深學生對相關知識點的理解。更有意義的是，通過課題式的訓練，有助于培養學生分析問題、解決問題的科學素養，同時也可以使學生初步掌握力學有限元數值模擬技術，提升利用計算機解決工程實際問題的能力。

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