“總體教育方法”對結構力學教學和知識體系建構的啟示

闕仁波

摘? 要： 以位移法和矩陣位移法為例，演示了“總體教育方法”對結構力學教學和知識體系建構的啟示。該方法強調以宏觀方向感來引領微觀進程，以及將分化的學科知識重新化合起來。具有方法論的指導意義。

關鍵詞：總體教育方法;位移法;矩陣位移法;結構力學教學;知識體系建構;方法論

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2019）16-0119-05

Abstract： By taking displacement method and matrix displacement method as examples， it was demonstrated in this paper how to draw an inspiration from "overall education method" for teaching of structural mechanics and construction of knowledge systems. In overall education method， the macro guidance for micro-process and the integration of differentiated subjects was highly emphasized. A meaningful guidance was provided from the viewpoint of methodology.

Keywords： overall education method; displacement method; matrix displacement method; teaching of structural mechanics; construction of knowledge systems; methodology

引言

林同炎和S.D.斯多臺斯伯利在《結構概念和體系》[1]一書中曾指出，設計者在開始處理結構方面的問題時，必然希望在形成和處理總體方案時，著眼于相互有關的各主要分體系，而不是構件和細部構造。但是，與總體考慮的必然效果相反，建筑和工程的學生往往是通過學習基本構件及其有關的具體設計和施工要點來學習工程知識。該方法假設學生自己會反回去發現怎樣把各部分結合成整體。但不幸的是，該假設很少會實現，因為學習的模式和設計思路的自然流程相反。構件教育方法側重于具體結構構件設計，缺乏與總體系目標有關的基本知識，強調部分而不是總體。而總體教育方法則側重于總體空間形式結構體系的設計，其優點是可提供一種總的思路去學習結構概念和體系，并將它們應用于建筑設計中，整體決定構件。故建議采用從總體到具體的推論式的教育方法，從介紹結構開始，在考慮方案時，將基本思路集中于主要的結構分體系，并分解出關鍵構件，以及為實現總體而需要的細部構造。

盡管該書發行距今已二十年，可將該段話放在現今土木工程教育的語境里，依然是切中時弊的同時亦附上了改革的良方，頗富啟示。

受多方因素諸如“復合型”、“寬口徑”、“厚基礎”和“大土木”等提法的影響，課程門數增多，單門學時縮減，有限的學時所致的斷章式的教學難以完成課程自身的知識架構，進而前后序課程之間的縱向進階出現跳躍式中斷，基本原理與應用演繹之間的橫向聯系松散，教與學均呈現出碎片化趨勢。專業基礎課的“淺基礎”學習難以支撐起作為“上層建筑”的專業課學習，“工”缺乏“理”的有力支撐，學生不知所用原理源于哪里，不懂來龍去脈，難以反回去把前后聯系起來，缺乏宏觀的方向感。缺乏一定深度的基礎，難稱“厚基礎”;缺乏邏輯、連續、有序和融會的體系建構，“復合型”、“寬口徑”和“大土木”容易陷入混合而非化合的窘境，有限的體量在平面向的擴展只會導致深度向的淺薄，教與學均會由聚焦和結晶走向分散和稀釋。

要解決上述矛盾，無論是教材的陳述模式，抑或課堂的講解模式，均亟待改革和優化。而總體教育方法，作為一種合乎科學規律的方法，不失為一種好的選擇。它以宏觀引領和駕馭微觀，以目標為導向，從總體分解出具體，具體到問題為已知，再反回去綜合。在該過程中，催化了學科分化后的重新化合，加速內容的接受，在知識的貫通中實現體系的建構。邏輯清晰，可為學生的課外探索提供一種宏觀的方向感，讓他們自己去擴充知識體量，以緩解學時有限的困擾。

本文將以結構力學中的位移法和矩陣位移法為例，嘗試說明一下采用總體教育方法的陳述模式。

一、對位移法教學的啟示

如圖1左幅所示，若忽略軸向變形，結構在集中荷載和均布荷載作用下，結點B處發生角位移？駐1和水平線位移？駐2，結點C處亦發生與結點B處同樣大小和方向的水平線位移？駐2。為求結點位移？駐1、？駐2和結構內力，分別在結點B處和結點C處附加可控約束來主動控制角位移和線位移：第一，如圖1中幅所示，讓結點不產生位移，僅受集中荷載和均布荷載作用，設在附加約束處分別產生約束力F1P和F2P;第二，如圖1右幅所示，讓結點B處產生角位移？駐1和線位移？駐2、結點C處產生線位移？駐2，設在附加約束處分別產生約束力F1？駐和F2？駐。在線彈性范圍內，利用疊加原理，可得總的附加約束力為F1=F1P+F1？駐F2=F2P+F2？駐。附加約束屬于虛構，實際結構并沒有，故應滿足F1=0F2=0，即附加約束起不到約束作用，與實際結構相同，由此可建立如圖1所示的等效關系。正所謂：迷津欲渡，附加約束。

在線彈性范圍內，利用疊加原理，以及約束力與結點位移成正比的關系，又可建立如圖2所示的等效關系：F1？駐=k11？駐1+k12？駐2F2？駐=k21？駐1+k22？駐2。

綜上所述，可得：k11？駐1+k12？駐2=-F1Pk21？駐1+k22？駐2=-F2P，此即位移法典型方程。

上述的附加約束可起兩方面的作用：第一、作為可控約束，可用來主動控制結點位移，或使之不發生位移，如圖1中幅所示，或發生指定大小的位移，如圖2所示;第二、隔離構件，使它們成為各自變形、互不干擾的單個構件，從而將結構解構為一個兩端固定的單跨超靜定梁AB和一個一端固定、一端鉸支的單跨超靜定梁BC。

如圖3所示的三種基本單跨超靜定梁在荷載、桿端轉角和側移等作用下的桿端彎矩和剪力，均已通過力法推導出了相應的計算公式[2-3]。

故圖1中幅所示的F1P和F2P、中幅和右幅所示的k11、k21、k12和k22可通過圖4和圖5分別求出各因素產生的各桿桿端彎矩和桿端剪力，再將其反向作用于相應的結點，通過考慮結點力矩平衡和桿件力矢投影平衡即可求出。從而通過位移法典型方程求出？駐1和？駐2，進而利用疊加原理通過M=M1？駐1+M2？駐2+MP即可求出MAB、MBA和MBC。其中MP、M1和M2分別為圖1中幅、圖2中幅括號內和圖2右幅括號內的彎矩。該過程相當于一個從構件到結構的重構。

求出MAB、MBA和MBC后，由上一步分解所得的單跨超靜定梁AB和BA可進一步解除桿端限制轉動的約束并代以相應的約束力矩（大小和方向與相應的桿端彎矩相同），在忽略軸向變形的情況下，兩端均有軸向約束時可解除其中一端的軸向約束，從而形成如圖6左幅和圖7左幅所示的簡支梁，而簡支梁的剪力、彎矩、剪力圖和彎矩圖的求解在構件（材料）力學中已學過。在線彈性范圍內，可如圖6和圖7所示利用疊加原理求解。

三種基本的單跨靜定梁：簡支梁、懸臂梁和伸臂梁（單向伸臂或雙向伸臂），是構件力學研究的主要對象。實際上，如圖8所示，上幅的伸臂梁，可分解為左下幅的簡支梁和右下幅的懸臂梁，而右下幅的懸臂梁，又可等效為如圖9所示的簡支梁，只要解除B端限制轉動的約束并代以相應的約束力矩MBC、而C點的支座反力為0即可。如圖10左幅所示的單跨超靜定梁，若忽略軸向變形，且已知MAB和MBA時，可等效為右幅所示的簡支梁，其中B點的支座反力為0。故無論是圖3所示的單跨超靜定梁，抑或靜定的懸臂梁或伸臂梁，最后均可化為簡支梁來求其內力和作內力圖。而對于直桿簡支梁，可利用微分關系（如圖11所示）來判斷內力圖形狀，采用分段疊加法來作內力圖。

求出構件內力后，即可進行構件的配筋設計、承載力復核以及結點和支座等細部構造設計。盡管實際中要考慮荷載組合，進行影響線計算，但宏觀走向與上述思路基本一樣。

縱觀上述整個求解思路，結構計算簡圖來自實際工程的理論建模，計算分析從結構開始，通過虛構的附加約束，解構出桿端彎矩和剪力計算公式已知的單跨超靜定梁，再通過重構，由結點力矩平衡或桿件力矢投影平衡，建立位移法典型方程，求解出位移基本未知量，進而桿端彎矩，再將單跨超靜定梁解除桿端約束變為單跨靜定梁，按構件力學求解其內力和作內力圖，進行構件的配筋設計、承載力復核以及結點和支座等細部構造設計。從總體到具體，從結構到構件，從復雜到簡單，從綜合到單一，從未知到已知，虛構-解構-重構，可將結構力學、材料力學和結構設計原理等學科貫穿起來。

二、對矩陣位移法教學的啟示

矩陣位移法的計算機程序實現步驟一般如圖12所示（注：圖中符號含義同文獻[2]，在此不再贅述），故絕大部分教材亦都按從單元到整體、從局部坐標系到整體坐標系安排節序，但卻往往缺乏先導性的整體思想的介紹，學生對節與節之間的起承轉合、有關量的意義、量與量之間的聯系等概念模糊，學習過程中對目標和走向缺乏預見性的宏觀把握，直到各章節學完，才會有個總體的概念，問題的實質被淹沒在大量數據組成的矩陣中，從而造成學習過程中的困難和畏難，難以理清內在的邏輯關系并通過計算機語言自主開發程序來進行計算。對此，總體教育方法大有用武之地。先導性地將問題總體提出，然后將目標不斷分解，直至已知。最好以一個貫穿各個章節的問題為例，在講解每一節的時候，都告訴學生該節具體是在解決哪個分目標，分目標完成后，再反過去集成。如此，宏觀且直觀。下面舉例予以說明。

問題與圖1左幅相同，但位移法不考慮軸向變形，通過附加可控約束將結構隔離分解為諸如圖3所示的三種基本單跨超靜定梁的形式;而矩陣位移法考慮軸向變形，且所有未知非零結點位移均為基本未知量，如圖13左幅所示，通過附加可控約束將它們全部約束住而將結構隔離分解為均如圖3上幅所示的單跨超靜定結構。第一，如圖13中幅所示，讓結點B處和C處產生位移？駐=[？駐1 ？駐2 ？駐3 ？駐4 ？駐5]T，設在附加約束處產生約束力F？駐=[F1？駐 F2？駐 F3？駐 F4？駐 F5？駐]T;第二，如圖13右幅所示，讓結點不產生位移，僅受集中荷載和均布荷載作用，設在附加約束處產生約束力FP=[F1P F2P F3P F4P F5P]T;在線彈性范圍內，利用疊加原理，則總的附加約束力為F=FP+F？駐。附加約束屬于虛構，實際結構并沒，故應滿足F=0，即附加約束起不到約束作用，與實際結構相同，由此可建立如圖13所示的等效關系。

與圖2同理，在線彈性范圍內，利用疊加原理，以及約束力與結點位移成正比的關系，可得：F？駐=K？駐，其中K為整體剛度矩，

上述即矩陣位移法的整體思想，其中，K、？駐和P等量的含義均已清晰地呈現。接下來即以此為分目標逐個求解。

附加約束力F可通過結點力矩平衡和結點力矢投影平衡由交于該結點處的各單元的桿端內力的反力和結點荷載求出，故先得求整體坐標系中的單元桿端內力（注意：是整體坐標系中而非局部坐標系中，因為只有統一到同一參考坐標系中，力矢才方便加減）。

而求桿端內力在局部坐標系中更方便，如圖3上幅所示的單跨超靜定結構在桿端位移和跨間荷載等因素作用下的桿端內力均有現成的公式可用，由此可寫出局部坐標系中桿端內力與桿端位移和跨間荷載之間的方程。

將各單元局部坐標系中的桿端內力轉換統一到整體坐標系中，再通過單元疊加的方式，即可求出FP和F？駐，進而求出？駐。不過由單元的F■■求整體的F？駐的過程，經由Fe=TTFe=TTke？駐e=TTkeT？駐e=ke？駐e轉換成了求ke→ke→K的間接過程，而對于很多初學者，這一個轉換過程，往往會把求Fe的實質給掩蓋掉而變得不好理解，故教學中一定要加以強調。

求構件的內力和繪內力圖，在局部坐標系中比在整體坐標系中更合適，故作？駐→？駐e→？駐e→Fe的從整體到單元、從整體坐標系到局部坐標系的轉換計算，可求得如圖14所示的單元桿端內力，至此，又回到了構件力學，可利用微分關系（如圖11所示，不過將改為）來判斷內力圖形狀，采用分段疊加法來作內力圖。

求出構件內力后，即可進行構件的配筋設計、承載力復核以及結點和支座等細部構造設計。盡管實際中要考慮荷載組合，進行影響線計算，但宏觀走向與上述思路基本一樣。

縱觀上述整個求解思路，與循序漸進地“從單元到整體、從局部坐標系到整體坐標系”的闡述模式相比，上述模式通過先導性地引出總體思想，確定總目標，并不斷分解為分目標，再逆序漸退地去逐步解決分目標并進行集成，問題的來龍去脈清晰，方向感強，各個過程的目的和意義明確。從總目標到目標分解、到解分目標、到集成，既實現了總體引領和駕馭具體，又“反回去發現怎樣把各部分結合成整體”[1]，完成了如圖15所示“反”和“正”的閉環。

盡管現在很多計算已交由現成的、基于矩陣位移法思想或更一般的有限元法思想開發的程序去完成，但透徹理解程序的內核思想，對于正確使用程序依然很有必要。在定量計算交由程序去完成的時候，更應加強定性分析和概念設計的能力。

三、對知識體系建構的啟示

與由構件到結構的建構過程類似，大多數教育方法采取的都是“構件教育方法”，由于缺乏與總體目標的聯系，在進階過程中，學生對當前的定位、下一步的走向和曾經的來路往往不是很清晰，為彌補該缺陷，要充分發揮總體教育方法在該方面的長處。比如在結構力學教學過程中，不僅要能從靜定結構的內力到靜定結構的位移、到力法解超靜定結構、到以已由力法求解給出公式的單跨超靜定結構為基本單元進行求解的位移法和矩陣位移法的“順”序進階，亦要能按將復雜超靜定結構解構為單跨超靜定結構，再為單跨靜定結構，再采用構件力學來求解的“逆”序降階，經由虛構附加約束，將結構解構為構件，再分析構件，不斷從復雜、綜合和未知降階到簡單、單一和已知，再反過去重構，從而建立方程，求解基本未知量。拾階而上，俯瞰回望，在融會貫通中達到進退自如。該種思維方法，不僅一以貫之地存在于位移法和矩陣位移法中，更存在于一般的有限元分析、建筑結構和橋梁結構等結構分析中，學習中要注意在類比中橫向拓展。

為能實現如上所述的進退自如，不僅要弄清課程章節之間的進階，亦要弄清課程與課程之間的進階以及不同課程的明確分工與銜接點所在，比如為何位移法和矩陣位移法中強調更多的是求桿端內力，而非桿間內力，因為若已知桿端內力，桿間內力即可交由構件力學去求解。又如“結構的安全性是通過驗算其強度、剛度和穩定性獲得的。兩階段設計就是通過結構力學分析，確定結構在最不利荷載作用下的結構內力和結構剛度與穩定性，再由材料力學計算構件的強度與承載力，然后結合結構的連接、約束等的可靠性來判定結構的安全性。”[4]故結構力學里亦很少去探討應力和強度問題，因為一旦構件內力求得，其應力和強度即可交由構件力學去求解，當然，因塑性引起應力重分布和結構幾何組成變化的問題要將結構作為一個整體來考慮。

要重視專業基礎課與專業課之間的“理論基礎”與“上部建筑”的關系，如材料力學與鋼筋混凝土結構、結構力學與建筑結構等，不僅應加強從理論到應用、從一般到特殊的演繹能力，亦應加強從應用到理論、從特殊到一般的歸納能力。在正向和逆向的往復中實現貫通。

在結構課如建筑結構和橋梁結構與作為基礎的結構力學課之間，存在著一個如何從實際結構中抽象出計算簡圖的問題，國內的大部分結構力學教材往往只有計算簡圖，故學生在學習結構力學時缺乏對工程背景的感性認識，比較抽象，學習專業課時又存在如何從實際結構中抽象出計算簡圖的問題，兩者之間鴻溝大。在這個問題上，可適當借鑒國外一些結構力學教材[5，6]的做法，配以相應的工程實際圖，借以縮小實際結構與計算簡圖、結構課與結構力學課之間的鴻溝。

綜上所述，總體教育方法，強調出乎其外以宏觀，提供一種方向感;構件教育，則強調入乎其內以微觀，追根溯源，看原理源于哪里;實際中，宜將兩者相互結合。若光有構件教育，則易“微觀分析過細，宏觀藍圖匱乏”[7]抑或知識碎片化的，難以建構起宏觀的知識體系。

四、結束語

1. 以位移法和矩陣位移法為例，演示了“總體教育方法”對結構力學教學和知識體系建構的啟示。

2. 該方法強度以宏觀方向感來引領和駕馭微觀進程。從結構開始，通過虛構的附加約束，解構出構件，通過構件力學分析后，再重構還原，從而建立方程，求解基本未知量，再返回構件分析，完成一個閉環的迭代。

3. 將該方法的啟示加以普遍化，可催化學科分化后的重新化合，加速知識的接受，在貫通中實現體系的建構。從“技”中提升出“道”，提供一種方法論的指導。

參考文獻：

[1]林同炎，S.D.斯多臺斯伯利.結構概念和體系（第二版）[M].高立人，等譯.北京：中國建筑工業出版社，2012.

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[3]李廉錕.結構力學上冊（第5版）[M].北京：高等教育出版社，2012.

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[5]R.c.hibbeler. Structural Analysis[M]. 9th ed. Pearson， 2012.

[6]Kenneth M.Leet， et al. Fundamentals of Structural Analysis[M]. 4thed. McGraw-Hill Education， 2011.

[7][美]W.舒勒爾.建筑結構設計（上冊）[M].羅福午，等譯.北京：清華大學出版社，2006.