統計學的知識架構梳理

林智海

摘 要：統計學是在數據的收集、加工、處理等過程后，描述客觀現象的數據特征和關系的方法論學科。由于統計學的定量和定性地研究準確而客觀的特點，所以被現代社會廣泛應用于自然科學和社會科學的各個領域。在目前的數據時代背景下，研究統計學不單純只是從經濟體系中的數字計算方面入手，研究的意義也遠超過了經濟學的定義范疇。

關鍵詞：統計學 架構 實驗 概率

本文將剖析統計學的知識架構，從時間性上統計學可分古典統計學和現代統計學，從操作特點上實驗型統計和計算機數據統計，從數學角度來看可分為精確數學的“=”范疇和模糊數學的“≈”范疇，但無論何種分法，從本質上來看，統計學都是屬于數學的學科體系中的一個重要組成部分。本文從現代數據科學的角度闡釋統計學為三大部分：實驗型的概率分析、精確型統計分析和隨機型（模糊型）統計分析。

首先實驗型的概率分析是構建在古典概率學基礎之上，由排列學、組合學和條件概率部分組成，學生在完成實驗型概率模型一般可通過傳統的紙質完成分析任務。在區別排列學和組合學時，應注意排列是順序取，雙向式的數學模型，而組合學則是一把抓，單向式的數學模型，另外對有放回和無放回的模型、加法與乘法原理的實驗也比較豐富。學生可從N雙鞋子，取M只，至少有N只配對成功概率的實驗、拋硬幣概率實驗、搖骰子概率實驗、同花順概率實驗等等進行學習和研究。

古典概率的另外一塊重要的分支是條件型的實驗，學生先從全概率公式，條件概率的理解及貝葉斯公式的推導進入學習，對一些經典條件概率實驗如同天生日概率實驗、三門概率實驗、取M只，至少有N只配對成功概率的實驗等進行深入學習，同學們分別從組合學和二項式定理推導出拋硬幣實驗的結論，加深對概率學的理解和應用，最后由二項式定理到二項式分布，由概率統計到概率分布的初步過渡。

古典概率學本質上是精確數學的領域，是研究客觀存在對象在具體量化時的個體與整體之間的權重比例關系。學生學習這方面知識內容一般可通過傳統教學和傳統學具完成，在學習過程中，可達到強化學生的數理邏輯思維和提高學生的動手能力的目的。

其次，精確統計分析是現代統計學的雛形是以研究平均值為標準的計算機操作型的數據科學，操作的載體由傳統紙筆書寫升級為現代計算機實驗操作，但本質上而言，還是研究的還是數學中的精確型的數據內容。

精確型的統計分析一般由統計中最基本的計數算法進入，計數的導向可分兩個方向：

一是計數本質上是位的運算，配合值運算中的求和值，平均值的意義是實現了數值與數位的統一運算，用數形結合的雙標法的描述是位于中線位置的值與位。由此延伸到不在中線位置的值與位的統一算法是：坐標軸上“值的比例=位的比例”，這種算法就是加權算法的內在核心，同時也指導了分類變量（也成組數據）運算過程。當然值運算的本身也包含了許多算法：求和、最大值、最小值、取整、求余等等;位運算包含了連續變量的計數、分類變量的頻數，眾數、中位、分位;位與值的統一運算：算術平均值，中位值、分位值。

二是從連續變量的計數到分類變量的頻數，在具體算法中，確定出頻率=當前頻數/總頻數，由頻率與概率、權重、比例的本質關系統一。

上述中的計數、頻數、連續變量、分類變量、值運算、位運算、值與位統一運算和加權計算都屬于絕對分析的范疇，還有相對分析（或稱差異分析），其中包含了極差，四分位差，全距，異眾比率，平均差（差的絕對值），方差（差的平方），標準差，離散系數等內容，因此由絕對分析和相對分析兩大模塊內容共同構成了靜態平均分析的主體部分。

精確統計分析除了靜態的平均分析以外，另一部分則由動態平均分析構成，其研究的主體是以時間序列為主要對象，時間序列的算法本質是還是加權算法，同樣可由數形結合的雙標法完成分析過程，其中包含了以下幾個方面：時期序列的序時平均數、間隔相等的連續時點序列、間隔不等的連續時點序列、間隔相等的間斷時點序列、相對時間序列除此之外，動態平均分析還通過相對減法和相對除法方式完成增長分析和速度分析

第三部分，也是現代統計學的核心，建立在研究隨機變量上的模糊數學范疇，模糊數學的構建基石是以平均值為入口點，因此我們學習的切入點，從隨機變量的穩定性實驗中，由差的絕對值（平均差）和差的平方（方差）的幾何意義開始導入回歸概念，由水平線性的差的平方進入到任意線性的差的平方，即線性回歸。

從線性回歸進入學習回歸分析，在方差的理解上，結合回歸核心算法內容：最小二乘法。在具體學習過程中，我們可分別通過公式法、規劃求解法、圖表展示法和線性函數法來學習最小二乘值的計算，在由一元線性回歸轉入二元線性回歸的學習，其中公式法是學習重中之重，通過公式求自由度df、回歸方SSR、殘差方SSE、離差方SST、擬合度R、線性關系F檢驗，線性關系T檢驗、、置信區間公式計算。

由擬合度R可以轉入對相關分析的具體學習模塊，由線性關系F檢驗和線性關系T檢驗轉入對假設檢驗的具體學習模塊，由置信區間的計算轉入對參數估計的具體學習模塊，由回歸方SSR、殘差方SSE和離差方SST轉入對方差分析的具體學習模塊。

總體上看，統計學架構在傳統數學和應用數學上，載體分別由紙質和計算機完成。傳統的統計學部分分別以組合排列學和條件概率為基礎的概率學，案例取自傳統的概率經典實驗。現代的統計學要基于計算機技術上的應用型數學的研究，分別從精確和模糊數學角度進行展開。在精確數學角度方面，確認以平均值為核心的研究方法，結合絕對與相對的思維，位與值的統一思想，加權算法、數形結合的雙標法應用;在模糊數學角度方面，應用型隨機數學的開篇從穩定性實驗闡釋差的絕對值和差的平方進入，以采用最小二乘算法的回歸內容為核心，采用了公式法，規劃法、圖形法和函數法來剖析各個參數的具體操作和意義，并由此進入現代統計的各個模塊的學習。最后，在統計學的實際教學過程中，可分上下學期，上學期教授的主要內容以概率學和精確統計分析為研究的主要內容，下學期則以研究隨機變量的模糊統計分析進行展開。