對《貝葉斯統計》課程中兩個定理的教學研究

鐘華 范樂樂

摘要：本文中，對《貝葉斯統計》課程中的兩個重要定理中的結論等式進行了進一步的研究。首先采用高等數學中的微分求導以及級數變換等方式，從理論上詳細證明了這兩個定理中的結論等式，然后簡單介紹了通過R軟件，使用隨機蒙特卡羅代入的方法對定理進行數值驗證的一般步驟。通過對定理的進一步研究，有利于加強課程的教學效果與教學深度，使學生能得到綜合知識與能力的提升。

關鍵詞：貝葉斯統計;微分求導;級數變換;蒙特卡羅代入

一、兩個定理的理論證明方法

在《貝葉斯統計》課程中的“貝葉斯決策”這部分內容的教學中，為了計算貝塔分布下二行動線性決策問題的先驗EVPI，需要用到如下的定理1，定理1反映了貝塔分布這個連續型的分布與離散型的二項分布之間的聯系。而在本人授課所使用的教材中，只給出了這個定理的結論，并沒有給出其完整明確的證明過程。下面，本人將采用與文獻中類似的研究方法，給出定理1的一種證明方法。

定理1.當α與β皆為正整數時，用在貝塔分布Be（α，β）下計算事件{θ≤θ}的概率可以轉化為用二項分布計算，具體公式如下：

在課程后續的教學中，緊接著又出現了一個與定理I類似的定理，如定理2

定理2同樣反映了伽瑪分布這個連續型的分布與離散型的泊松分布之間的內在聯系。定理2與定理I很明顯屬于同一種類型，教材中仍然沒有給出具體的證明過程。下面，本人采用與定理I類似的證明方法，給出定理2的一種證明。

二、兩個定理的數值驗證方法

在定理1和定理2的教學中，也可以理論教學結合實驗教學，要求學生利用R軟件編寫相應的R程序，對定理進行數值驗證，從而加強對定理的認識，使學生更容易接受知識。具體方法如下。

第一步，任意取定一個θ∈（0，1），先代入定理1或者定理2中的等式的左邊，計算出左邊對應的值;第二步，把取定的θ代入等式右邊，得到等式右邊對應的值;第三步，比較等式左邊與右邊的值，如果兩端的值相等，說明等式在取定的θ這點處是成立的;第四步，運用隨機蒙特卡羅方法，隨機選取至少1000個這樣的θ，驗證在這些θ處等式是否成立。

通過R軟件強大的計算能力，學生驗證了在對任意選取的至少1000個θ∈（0，1），兩個定理中的等式都成立，可以說，基本上通過數值模擬，驗證了定理中的等式對任意的θ∈（0，1）都應該是成立的。

三、結語

綜合文中兩個定理的證明，可以看出證明方法還是比較簡單的，只用到了高等數學中的微分求導以及級數變換等方面的內容，理論教學講解中也便于學生接受，再結合數值驗證，可進一步加深學生對定理的認識、記憶和應用。另外，也希望能給其他從事《貝葉斯統計》課程教學的教師給予一定的幫助。

參考文獻

Ill r詩松，湯銀材.貝葉斯統計（第二版[M].中國統計出版社，2012.

[2]孟昭為.二項分布參數的置信區間[J].工科數學，1995，4（11）.

[3]陳希孺，倪國熙.數理統計學教程[M].上海科學技術出版社，1988.

[4]范大茵.0-1分布及泊松分布的置信限的分析推導[J].數學的實踐與認識，1987.

[5]呂佳，任芳玲，趙子墨.二項分布參數的p-值檢驗[J].河南科學，2015，3（33）.

作者簡介

鐘華（1980-），男，副教授，主要從事概率論與數理統計方面的研究。

基金項目：河池學院2015年碩士專業學位建設基金課題（編號：2015YTB004）。