淺談不定積分教學中的幾點思考

吳麗華

摘 ?要：不定積分作為高等數學的重要內容之一，課堂教學效果通常不是很理想。文章針對不定積分教學和學習中存在的問題，進行了總結和分析，并提出一些課堂教學建議。

關鍵詞：原函數;不定積分;不定積分方法

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2019）11-0131-03

Abstract： As one of the most important content in advanced mathematics， indefinite integral is usually not well grasped and applied by students after classroom teaching. The article summarizes and analyzes the problems existing in the teaching and learning of indefinite points， and proposes some classroom teaching suggestions.

Keywords： antiderivative; indefinite integral; method of indefinite integral

一、概述

眾所周知，高等數學是高等學校教育必修的基礎課程。它不僅與很多學科都有著緊密的聯系，而且應用也非常廣泛。不定積分是連接高等數學中微分和積分兩大板塊的紐帶，起著承上啟下的作用。一方面，不定積分是求導或微分的逆運算;另一方面，它又是積分學中牛頓-萊布尼茨公式應用的關鍵。不定積分掌握不好，直接影響后續整個積分學的學習。初學者往往由于對不定積分的概念、定理理解不夠深刻，以及基本方法掌握不好，對此望而生畏.因此，正確深刻理解不定積分的概念、定理并靈活掌握不定積分的計算方法，是學好不定積分的關鍵。筆者依據自身多年高等數學和經濟數學的教學經歷，結合教學過程中學生普遍比較困惑的問題，深刻剖析了問題產生的原因，并在此基礎上，提出了一些課堂教學的建議，以供參考。

二、不定積分概念的理解

本節將簡要介紹原函數和不定積分的定義，并指出其中易被忽視的細節，希望能夠幫助初學者加深對基本概念的理解。

三、不定積分方法的正確掌握和靈活運用

本節將簡單歸納不定積分的計算方法，并對其適用范圍進行分析。特別地，筆者將仔細剖析教材中第二換元定理應用的不恰當之處。

一般地，高等數學教材中介紹的不定積分的方法主要有基本積分表、換元法、分部積分法以及有理函數的積分法。方法雖然多，但初學者往往不知如何應用。通常拿到一道不定積分的題后，不知該選擇哪種方法來計算。因此，正確掌握這些方法并能靈活應用到具體計算中是不定積分學習的重要內容。為此，我們要對這些方法有一個清晰的認識，對其適用范圍要有一定的判斷。

首先，筆者認為基本積分表是不定積分計算的基礎，可以說任何不定積分，不論采用什么方法，最終都要歸結到基本積分表的應用。因此，基本積分表是學生在學習時必須要牢牢記住的。因基本積分表是由基本求導公式和不定積分的定義推導而得，故只要知道基本求導公式，結合不定積分的定義，很容易就能記住基本積分表。學習數學自然少不了要記一些公式，但如果在理解的基礎上去記，比死記硬背要容易得多。

注：我們知道，不定積分計算的靈活性較大，實際計算時，不同的人可能采用的方法不同，這樣所得結果可能會形式上不一樣，學生對此頗有疑惑。事實上，某些函數，尤其是三角函數或反三角函數之間存在著許多恒等式，借助它們可以將表達式改寫成其他的形式，所以出現這種情況也屬正常。學生在碰到這類情況時，應意識到可能存在恒等關系，并可以應用分析中的方法來證明該恒等式，驗證結論無誤。

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