核心素養(yǎng)導(dǎo)向下高三數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)探究

湯華英

新課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出，高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析，高中的新授課在高二基本上完成，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平已經(jīng)有了階段性的達成，高三的復(fù)習(xí)課是核心素養(yǎng)連續(xù)性﹑整合性發(fā)展的關(guān)鍵時期。因此，在高三的復(fù)習(xí)課中創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問題，尋找解決問題的通性通法，使學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在情境和問題的互動中得到快速提升，顯得尤為重要和迫切。

一、創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問題

本學(xué)期初，筆者參加市教育局組織的一次高三一輪備考研討課活動，主講老師的課堂內(nèi)容是《二次函數(shù)》，在講解二次函數(shù)的單調(diào)性問題時，給學(xué)生設(shè)置了這些問題：

例1：已知函數(shù)f（x）=x2+2ax+3，若y=f（x）在區(qū)間[-4，6]上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為__________。

變式1：已知函數(shù)f（x）=x2+2ax+3，若 y=f（x）在區(qū)間[-4，6]上是單調(diào)遞減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為__________。

變式2：已知函數(shù)f（x）=x2+2ax+3，若y=f（x） 在區(qū)間[-4，6]上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù) a的取值范圍為__________。

變式3：已知函數(shù)f（x）=x2+2ax+3，若 y=f（x）在區(qū)間[-4，6]上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為__________。

在師生共同完成上面例題加三個變式之后，老師總結(jié)為：討論二次函數(shù)的單調(diào)性問題，只需抓住對稱軸與所給定義域的關(guān)系。然后，又設(shè)置了一個例題。

例2：求函數(shù)f（x）=x2-2x+2在區(qū)間[t，t+1]上的最小值。

遺憾的是，學(xué)生冥思苦想，不知如何下筆，問題出在哪呢？兩個例題和三個變式所創(chuàng)設(shè)的數(shù)學(xué)情境充分體現(xiàn)了二次函數(shù)所蘊含的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，提出的數(shù)學(xué)問題也是自然的，從簡單到較復(fù)雜，從課堂效果來看，學(xué)生對函數(shù)含參單調(diào)性問題有畏難心理。首先，要幫助學(xué)生樹立信心；其次，高三的備考容量大﹑內(nèi)容多﹑時間緊，在解決數(shù)學(xué)問題時，應(yīng)尋找解決這類問題的通性通法。因此，高三復(fù)習(xí)課的教學(xué)除了教純粹的數(shù)學(xué)知識，還要教研究此類問題的方法和策略，前者是基礎(chǔ)，后者有助于提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。

二、關(guān)注主題教學(xué)，重視通性通法

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一個主線內(nèi)容，學(xué)生在初中就有學(xué)習(xí)，而且有直觀感受，如利用二次函數(shù)的圖象求最值。在高中繼續(xù)學(xué)習(xí)二次函數(shù)，其一是為學(xué)習(xí)其它類型函數(shù)做鋪墊，較好地銜接初、高中函數(shù)的內(nèi)容，其二是它具有單調(diào)性，對稱性，最值等性質(zhì)，研究這些性質(zhì)的方法，可以類比去研究其它函數(shù)。所以，在研究二次函數(shù)時，要選擇能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)的﹑適用范圍更廣的方法。

譬如前面兩個例題，表面上感覺不同，第一個例題函數(shù)f（x）是含參的，區(qū)間是確定的；第二個例題函數(shù)f（x）是確定的，區(qū)間是含參的，但它們的共同點都與函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性有關(guān)，解決這類數(shù)學(xué)問題可按以下步驟進行。

第一步：求出所給函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（不管函數(shù)是否含參）；第二步：對所給區(qū)間是增區(qū)間，減區(qū)間，有增有減進行分類討論；第三步：所給區(qū)間怎樣才會是增區(qū)間，減區(qū)間，有增有減，只需考慮所給區(qū)間與第一步中求出的函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間之間的包含關(guān)系，把單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為集合之間的包含關(guān)系，得到解決這類問題的程序思想方法，具體解題步驟如下。

例如，第一個例題，先求f（x）=x2+2ax+3的單調(diào)區(qū)間，f（x）開口向上，對稱軸x=-a，∴f（x）在（-∞，-a]上單調(diào)遞減，在[-a，-∞）上單調(diào)遞增，∵[-4，6]上是單調(diào)遞增區(qū)間，∴[-4，6]要成為[-a，+∞）的子區(qū)間，∴-4≥-a，即a≥4。

這種程序思想方法同樣適用上面三個變式和第二個例題，例如求解例2，第一步：先求f（x）=x2-2x+2的單調(diào)區(qū)間，f（x）開口向上，對稱軸x=1，∴f（x）在（-∞，1]上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增，第二步，對所給區(qū)間[t，t+1]分類討論，當(dāng)[t，t+1]為增區(qū)間時，第三步，只需[t，t+1]為[1，+∞）的子區(qū)間，即t≥1時，f（x）min=f（t），當(dāng)[t，t+1]為減區(qū)間時，即t+1≤1時，f（x）min=f（t+1），當(dāng)[t，t+1]先減后增時，即t≤1≤t+1時，f（x）min=f（1）。顯然，這種方法具有一般性，特別是，類比上面求解二次函數(shù)含參單調(diào)性解題過程，還可解決其它函數(shù)的相關(guān)問題。

例：（ 年新課標(biāo)全國Ⅰ卷理科·21）已知函數(shù) ，g（x）=-1nx。

當(dāng)a為何值時，x軸為曲線y=f（x）的切線；

用min{m，n}表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)h（x）=min{f（x），g（x）}（x>0），討論h（x）零點的個數(shù)。

分析：第（1）問略，第（2）問：①當(dāng)x∈（1，+∞）時，g（x）=-1nx<0，

∴h（x）=min{f（x），g（x）}≤g（x）<0，∴h（x）在（1，+∞）上無零點。

②當(dāng)x=1時，g（1）=0，而 ，若 ，則 ，

∴h（x）=min{f（1），g（1）}=g（1）=0，∴x=1是h（x）的一個零點。若 ，

則f（1）<0，∴此時h（x）=min{f（1）， g（1）}=f（1）<0，∴此時x=1不是h（x）的零點。當(dāng)x∈（0，1）時，∵g（x）=-1nx>0，∴只需考慮f（x）在（0，1）的零點個數(shù)。本題函數(shù)f（x）的解析式是含參的，區(qū)間（0，1）是確定，與這次研討課的題型一樣，也是先求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，再對給定的區(qū)間是增區(qū)間，減區(qū)間，或有增有減來分類討論，再轉(zhuǎn)化為區(qū)間的包含關(guān)系，也是用上面的程序思想方法。

解：③當(dāng)x∈（0，1）時，g（x）=-1nx>0，所以只需考慮f（x）在（0，1）的零點個數(shù)，∵ f'（x）=3x2+a，當(dāng)a≥0時， 在f'（x）>0上恒成立，∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，又∵ ，∴此時f（x）在（0，1）上沒有零點。當(dāng)a<0時，令f'（x）=3x2+a=0，得 ，由f'（x）>0，得 或 ，由f'（x）<0，得 ，考慮到給定區(qū)間是（0，1），∴f（x）只需考慮 這個減區(qū)間和 這個增區(qū)間，第一步完成。

第二步，對（0，1）區(qū)間分類討論：當(dāng)（0，1）為減區(qū)間時。