基于平面向量的高中數學解題想法研究

張萍

摘 要：在高中數學學科教學中，平面向量是非常常用的知識點，也是比較重要的教學內容。在學習與三角函數相關的知識、解答不等式、解決幾何難題過程當中都會涉及到平面向量相關的知識。在實際教學過程中，筆者也會分析很多用平面向量知識解決數學問題的方法，引導學生科學的運用平面向量知識解決一些相對較難的數學難題。在高中數學教學中三角函數問題、幾何問題和不等式問題等難度較大也是教學重點。因此筆者根據教學實踐探究，就平面向量知識的合理運用進行了以下簡要分析。

關鍵詞：平面向量;數學問題;解題思路

一、平面向量教學內容

平面向量相關的知識點在學生進入高一階段學習就已經開始接觸。這是高中數學教學中非常重要的知識點之一。通過教材分析以及探究，我們可以分析出高中階段的平面向量知識，具有這幾類特征：首先向量有大小與方向。其次，向量也具有幾何意義，具有相同的方向以及模長，是證明兩個非零向量的必要條件。再次，向量具備運算的特征，同時也可以從向量具備的幾何特點入手進行一系列幾何形式的運算。通過教材探究我們可以發現向量的這一特征主要與向量自身的長度、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、向量間的加減法、其自身的幾何意義、向量的數乘運算、幾何意義等相關知識點所共同構成。因此在進行高中向量知識點教學時，可以合理地將向量與三角函數平面幾何、立體幾何、不等式等相關數學知識相互聯系進行教學。

二、合理運用平面向量知識，解決高中數學問題的相關策略

（一）運用平面向量解決平面幾何問題

當學生進入高中階段進行數學知識學習過程當中，平面幾何方面的求直線方程式這類問題，成為學生所面臨的首要難題。當學生接觸到向量相關的知識點之后就能夠靈活的利用平面向量相關的知識，去解決平面幾何當中一些直線方程式類的問題。筆者在一次教學過程中，遇到了這類的幾何問題：在一個三角形當中給出了三角形ABC三個點的坐標分別為：A（0，-4），B（4，0），C（-6，2），而D、E、F分別是BC、AB、AC邊的對應中點，這時求出直線EF、DE、FD的方程式。在解決這一問題過程中，首先筆者從已經給出的條件三角形ABC三個頂點坐標開始思考，因此通過分析可以得出如此結論F點的坐標（-2，1），D點的坐標是（-1，1），E點的坐標（-3，-1），然后可以設置DE上的一點M坐標為（x，y），然后我們根據已知條件能夠推導出的相關向量DM，以及向量DE互相平行的這一結論，這樣就可以分析求出直線DE的相關方程式，在采用這一方法解決幾何問題的時候，就變的非常方便簡單了。同理分析出另外兩條直線的相關方程式。

（二）運用平面向量知識解決三角函數問題

在高中階段的數學學習過程當中，三角函數問題也是學生日常學習過程當中所遇到最多的問題之一。同時，這也是高中階段數學教學當中的重點和難點點，在面對三角函數累的問題時，許多學習成績處于中等水平的學生也會經常出現畏難情緒，一次可以看出三角函數問題在高中數學知識當中是一類難度較大的知識點在教學過程當中，學生接觸到了三角函數相關的知識之后，在解決問題時，時常無法靈活運用這里，筆者以這里問題為例：證明，解決這類問題的解題方法有很多種，因此筆者這里以平面向量相關的知識內容來分析解答這個三角函數問題。當然這也是一類非常有效的解決三角函數問題的方法。在分析這類三角函數問題的解題過程中，首先可以設置兩個向量分別是：向量a與向量b，這兩個向量在平面當中滿足標準的正交集關系，再設置兩個向量分別：向量c與向量d，這兩個向量為平面當中的單位向量。這時將設置為向量a與向量d之間的夾角，將設置為向量b與向量c之間的夾角。在此過程當中夾角小于夾腳，這時就可以運用坐標（）與（，）分別表示兩個向量，向量c與向量d在（a，b）的坐標，我們已經知道向量c與向量d都是單位向量，因此，就可以設置這兩個向量的模長為1。這樣就可以運用到向量坐標的乘積公式知識解決這一問題，就可得到：mn=以及mn=，將這兩個公式聯立之后就能夠得到：。

（三）平面向量知識解決不等式問題

在學習不等式相關的知識之后，不等式問題的解決也是教學一大難點。教學中可以利用平面向量的相關知識解決這類問題。因此筆者這里以這一問題為例：已知x，y都不小于0，同時x+y=1，因此求證： 。在運用平面向量相關的知識解決這一問題時，首先我們應從已知的題目開始分析。這時設置向量，坐標為（1，1），將向量的坐標可以設置成（），這時我們就能夠運用平面向量知識中數量積的知識解決這一問題，這樣就能夠得到這樣的公式，（1）2，然后通過公式的簡化就能得到：

結語：總之，在高中數學學科教學過程當中，運用平面向量相關的知識解決高中數學當中的一些難題，可以讓學生在學習過程當中能夠更加輕松。可以讓學生巧妙地利用平面向量的知識，解決一些采用傳統解題方式無法解決的一些數學難題。在平面向量相關知識教學中，教師應引導學生認真理解教材基礎知識內容，這樣方便學生更好的利用基礎知識解決實際問題。學生在不斷的練習過程當中，熟練掌握這些知識。

參考文獻

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