大學數學：不同課程概念的相通

摘 要：討論高等數學、線性代數、概率論與數理統計這三門基礎課中的幾個數學概念，并說明其相通之處.

關鍵詞：奇函數；偶函數；對稱矩陣；反對稱矩陣

[中圖分類號]G642 [文獻標志碼]A

University Mathematics：Interconnection of Different Course Concepts

ZHI Jie

（Lanzhou University of Finance and Economics， School of Information Engineering， Lanzhou 730020，China）

Abstract：This paper discusses several mathematical concepts in three basic courses of higher mathematics， linear algebra， probability theory and mathematical statistics， and explains their interconnection.

Key words：odd function；even function；symmetric matrix；antisymmetric matrix

高等數學、線性代數、概率論與數理統計這三門課程構成了大學數學的基礎課.本文分析這三門基礎數學課程中某些概念的相通之處，目的是提高學生的學習效率和學習興趣.

1 奇函數、偶函數與對稱矩陣、反對稱矩陣

函數的奇偶性是高等數學中的概念，而對稱矩陣、反對稱矩陣是線性代數中的概念，二者屬于不同的數學方向.

1.1 定義

定義1[1] 設函數f（x）的定義域D關于原點對稱.如果對于任一x∈D，f（-x）=f（x）恒成立，則稱f（x）為偶函數.如果對于任一x∈D，f（-x）=-f（x）恒成立，則稱f（x）為奇函數.奇函數圖像關于原點對稱，偶函數圖像關于y軸對稱.

定義2[2] 設A為n階方陣.如果AT=A，即aij=aji（i，j=1，2，…，n），則稱A為對稱矩陣.如果AT=-A，即aij=-aji（i，j=1，2，…，n），則稱A為反對稱矩陣.對稱矩陣中元素特點是關于主對角線對稱，反對稱矩陣中元素特點是主對角線上元素為零，其余元素關于主對角線反對稱.

可以這樣考慮，定義2中的A可以看作定義1中的f（x），定義2中的AT可以看作定義1中的f（-x）.

1.2 運算特點

奇函數與偶函數有下列運算特點：

（1）兩個奇（偶）函數的和、差仍是奇（偶）函數；

（2）兩個奇（偶）函數的乘積是偶函數；

（3）一個奇函數和一個偶函數的乘積是奇函數.

矩陣的乘法不滿足交換律，為了尋找與奇（偶）函數的相通之處，關于對稱矩陣與反對稱矩陣的運算特點在矩陣乘法可交換條件下討論.

對稱矩陣與反對稱矩陣有下列運算特點；

（1）兩個對稱（反對稱）矩陣的和、差仍是對稱（反對稱）矩陣；

（2）在可交換條件下，兩個對稱（反對稱）矩陣的乘積是對稱矩陣；

（3）在可交換條件下，一個對稱矩陣和一個反對稱矩陣的乘積是反對稱矩陣.

1.3 例證

例1[1] 設函數f（x）的定義域為（-l，l），證明必存在（-l，l）上的偶函數g（x）及奇函數h（x），使得f（x）=g（x）+h（x）.

分析：假設有這樣的g（x），h（x）存在，滿足g（-x）=g（x），h（-x）=-h（x），并且使得f（x）=g（x）+h（x）.

于是，

f（-x）=g（-x）+h（-x）=g（x）-h（x），

則結合上面的式子，以g（x），h（x）為未知量求解，得

g（x）=12f（x）+f（-x），

h（x）=12f（x）-f（-x）.

可以得到下面的證明.

證明 構造g（x）=12f（x）+f（-x），h（x）=12f（x）-f（-x），且g（x）為偶函數，h（x）為奇函數.則f（x）=g（x）+h（x），證畢.

例2[3] 證明實數域上任意一個n階方陣都可以表示成一個對稱矩陣和一個反對稱矩陣之和.

分析：由函數奇偶性、矩陣對稱性定義和例1的啟發很容易就得到證明.

證明 設實數域上n階方陣A.構造n階矩陣B=12（A+AT），C=12（A-AT）.

因為

BT=12（A+AT）T=12（AT+A）=B，

即B為對稱矩陣.

同理，

CT=12（A-AT）T=12（AT-A）=-C，

即C為反對稱矩陣.

從而，A=B+C.證畢.

從上面的討論可以看出，對于不同方向的不同概念，只要找到其相通之處，有關的概念理解和問題討論就可以迎刃而解了.

2 向量內積的一條性質和協方差的一條性質

在學習向量內積和隨機向量協方差時，感覺上二者是風馬牛不相及的，但實則不然，二者的性質中有一條表述一致，其證明方法也有異曲同工之妙.

定理1[2] 設α，β為Rn中的向量，則有|αTβ|≤‖α‖·‖β‖.等號成立，當且僅當α與β線性相關.

證明 若α，β中至少有一個是零向量，結論必然成立.

設α，β同時為非零向量.考慮α+tβ（t≠0為實數），則α+tβ=0（線性相關）或α+tβ≠0（線性無關）.

f（t）=（α+tβ）T（α+tβ）≥0，

即

f（t）=αTα+2tαTβ+t2βTβ≥0，

此時，不等式左邊是關于t的一元二次函數，該二次函數≥0，也就是說，二次方程

αTα+2tαTβ+t2βTβ=0

無實根或有兩個相等的實根，即Δ≤0，

從而，

（2αTβ）2-4·αTα·βTβ≤0，

即|αTβ|≤‖α‖·‖β‖成立.

定理2[4] 對任意隨機變量X，Y，有|Cov（X，Y）|≤DX·DY.等號成立，當且僅當X與Y幾乎處處線性相關，即

P{Y=aX+b}=1.

證明 構造關于實變量t的二次函數f（t）=D（X+tY）（t≠0），由方差的性質，顯然f（t）=D（X+tY）≥0.

根據方差的性質展開上式，得

f（t）=DX+2tCov（X，Y）+t2DY≥0，

則關于實變量t的二次方程DX+2tCov（X，Y）+t2DY=0沒實根或有兩個相等的實根，即Δ≤0，從而，

2Cov（X，Y）2-4·DX·DY≤0，

即

|Cov（X，Y）|≤DX·DY成立.

3 兩個隨機變量和差的方差公式和完全平方和差公式

公式[4] 對任意隨機變量X，Y，有D（X±Y）=DX±2Cov（X，Y）+DY.

中間項很像完全平方和差公式（a±b）2=a2±2ab+b2，這樣記憶起來方便很多.

大學數學的知識點中，有很多概念或問題都有相通之處，本文只是簡單作了介紹，希望同學們在學習的過程中將知識點貫穿、聯系，逐步探索、理解，最終可以將這種學習方法應用到其他知識的學習和以后的工作中.

參考文獻

[1] 同濟大學數學系.高等數學：上冊[M].北京：高等教育出版社，2007.717.

[2] 張禾瑞，郝鈵新.高等代數[M].北京：高等教育出版社，2007.332340.

[3] 馬杰.線性代數復習指導[M].北京：科學技術文獻出版社，2001.7490.

[4] 李伯德，智婕.概率論與數理統計[M].北京：科學出版社，2015.99108.

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[6] 崔艷，儲亞偉，馬玉田，等.復變函數中積分中值定理的改進和推廣[J].牡丹江師范學院學報：自然科學版，2017（2）：3435+40.

編輯：吳楠