轉化思想在數學競賽代數問題解題中的應用

賈立忠 魏言釗 莊惠靈

摘 要：從條件的轉化、結論的轉化、特殊到一般的轉化以及數與形的轉化四個方面，闡述轉化思想在數學競賽代數問題解題中的應用.

關鍵詞：數學競賽；數學解題；轉化思想

[中圖分類號]G633.6 [文獻標志碼]A

Analysis of the Application of Conversion Thought in Solving Problems in Mathematical Competition Algebra

JIA Lizhong1，WEI Yanzhao1，ZHUANG Huiling2

（1. The First High School of Mudanjiang， Mudanjiang 157000， China；2. School of Mathematical Sciences， Mudanjiang Normal University， Mudanjiang 157011， China）

Abstract：This paper mainly expounds the application of conversion thought in the problem solving of mathematical competition algebra problem from four aspects： the conversion of conditions， the conversion of conclusions， the conversion from special to general and the conversion of numbers and forms.

Key words：mathematical competition； Mathematical problem solving； the conversion thought

轉化思想在求解數學競賽代數問題時有著廣泛的應用，一些代數問題看起來錯綜復雜，但卻可以通過轉化、變形使問題化繁為簡.在求解數學競賽中的代數問題時，常常會涉及到轉化思想，本文從數列、多項式、函數方程、復數四個方面的代數問題入手，以典型實例分析轉化思想在數學競賽解題中的應用.

1 條件的轉化

在求解數學競賽中的代數問題時常常可以從已知條件入手，通過變量代換、構造、局部調整等方法使復雜的問題轉化為常見問題，其解題的關鍵就是條件的轉化.

分析：首先從已知條件入手，通過拆分、移項得到一個較為明確的遞推關系，然后再通過構造輔助數列，得到一個關于新數列的關系式，最后依據兩數列之間的關系，化簡求得原數列的通項公式.當已知條件較為復雜時，往往可以借助一些數學方法，將條件進行轉化，從而通過逐步調整得到所求結論.

2 結論的轉化

數學競賽中有一些代數問題，直接求解不易，這就需要換一種角度進行思考，即從問題的結論出發做等價轉化，或者從結論的反面出發，先假設結論的反面成立，然后得出與已知相矛盾，從而達到證明結論正面成立的目的.反證法體現了轉化結論在解題中的應用.

分析：直接證明多項式不可約比較困難，因此，可以先假設多項式可約，然后結合待定系數法得到有關系數的等式，再利用韋達定理聯系根與系數的關系，最終所得的關系式與已知不符，即可證明多項式在整系數范圍內不可約.這類問題的解題關鍵是將所要證明的結論進行轉化，通過證明等價結論成立，或者結論的反面不成立，進而使問題得證.

3 特殊到一般的轉化

在解題過程中，如果很難找到條件與結論之間的內在聯系，則可以從特殊情況入手考慮，通過一次或多次的賦值使得問題更加直觀化、簡單化，然后再結合代數的一些特性和已知的結論，適時對問題做一般化處理.

例3（第35屆IMO試題） 設S是所有大于-1的實數集合，確定所有的函數f：S→S，使得滿足下面兩個條件：

分析：本題的解題關鍵是從特殊到一般的轉化.首先，將方程中的未知量賦予特殊值，然后利用整體思想，找出函數的不動點，再根據具體問題分類討論，并結合函數的性質，排除不符合題意的結論，最終得到滿足條件的函數解析式.在求解此類問題時，通常從特殊情況入手，并進行逐步調整，將其轉化為一般形式，進而得到最終結果.

4 數與形的轉化

近幾年數學競賽代數問題的綜合性越來越強，一些代數問題往往具有幾何的特性，因此在求解時可以借助代數與幾何之間的對應關系，將代數問題轉化成幾何問題進行求解.這樣既能發揮代數的優勢，又可以充分利用幾何直觀，借助形象思維獲得出奇制勝的精巧解法.

分析：本題的解題關鍵是利用復數的幾何意義，將復數表示為平面上的點，將復數的模看作是兩點間的距離，使問題更加直觀化.除此之外，該題還可以利用復數的運算進行求解，但解題過程就要復雜許多，因此利用數形結合的解題策略可以達到簡化解題過程的目的.在求解這類問題時，要抓住數與形的對應關系，必要時可以建立直角坐標系，從幾何的角度求解代數問題.

5 總結

一個人解決代數問題體現出來的能力，是根據問題情境運用各種手法重組已知條件的能力，以及正確、迅速地檢索、選擇和提取相關代數知識，并及時轉化為適當操作程序的能力.從不同角度和已知的各種概念分析代數問題時，所運用的解題方法也各不相同.在分析的過程中，既可以從條件、結論出發，也可以從特殊情況入手，必要時還可以借助代數與幾何間的關系，化抽象為具體，這也是求解數學競賽中代數問題的基本思想.

參考文獻

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編輯：吳楠