基于反證法對數(shù)學(xué)問題的分析

王紹山

摘 要：反證法是解決科學(xué)領(lǐng)域中各種問題的重要方法之一，在數(shù)學(xué)應(yīng)用中也起到重要作用。反證法的提出拓寬了數(shù)學(xué)問題的思維，在數(shù)論，幾何，函數(shù)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，往往無法通過的常規(guī)方法去解決。本文從反證法在數(shù)學(xué)中幾何、代數(shù)、函數(shù)三方面的應(yīng)用出發(fā)，對反證法在某些問題的證明上相較于直接證明的優(yōu)勢進(jìn)行分析，得出了反證法可以運(yùn)用于眾多的數(shù)學(xué)問題，且獲得了廣泛的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：反證法;數(shù)學(xué)應(yīng)用;優(yōu)勢

解決數(shù)學(xué)問題的方法有很多，常規(guī)的數(shù)學(xué)方法有直接證法和間接證法，反證法是一種間接證法。牛頓曾經(jīng)說過：”反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧保醋C法的提出解決了許多重要的數(shù)學(xué)問題。某些具體命題難以或無法直接證明時(shí)，反證法往往能大展身手，憑借其簡潔性和易于理解的特點(diǎn)受到人們的青睞。

反證法早在古希臘時(shí)期就已經(jīng)大展身手，如歐幾里得對質(zhì)數(shù)有無窮個(gè)的證明;在我國古代的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)理論中，當(dāng)然也用到了常見的歸謬法，劉徽也受到了這些影響，并在文章中多次用到了歸謬論證的方法。但是應(yīng)該指出精確的反證法用法很鳳毛麟角，這和西方的反證法有著很大的區(qū)別^[1]。因此我們現(xiàn)在更應(yīng)該意識(shí)到反證法自身的獨(dú)特優(yōu)勢，并且重視反證法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用，從而彌補(bǔ)中國數(shù)學(xué)在理論研究方面發(fā)展的不足。

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，產(chǎn)生了許多重要的證明方法。數(shù)形結(jié)合法將實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形，或者將圖形準(zhǔn)化為數(shù)量關(guān)系，將抽象的思維結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)量關(guān)系，可以更加簡單明了的去理解問題。數(shù)學(xué)歸納法是一種很獨(dú)特的證明方法，其遞推的思想再數(shù)學(xué)領(lǐng)域中也取得了重要的作用，尤其是在解決一些數(shù)列問題時(shí)，使用數(shù)學(xué)歸納法法會(huì)變得更加簡單。但是在數(shù)學(xué)問題中，僅僅使用這兩種方法是不夠的，反證法幾乎可以解決數(shù)學(xué)問題中的所有問題。本文通過列舉了一些典型問題，體現(xiàn)出反證法具有很強(qiáng)的普適性。

1方法

1.1反證法的定理以及基本原理

反證法是一種間接證明方法，又被稱為背理法。一般的，由證明p到q轉(zhuǎn)向證明由非P推得的T某個(gè)真命題矛盾，從而判定非P為假，P為真的方法，叫做反證法。反證法的基本原理是排中律（即互斥命題必有一真一假）和矛盾律（即同一命題不能既真又假）。

1.2反證法操作流程

1、分清命題的結(jié)論與條件;2、做出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè);3、由假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用演繹推理方法，推出矛盾的結(jié)果（既可以與假設(shè)矛盾，也可以與已被證明的數(shù)學(xué)公理、公式、定義或已被證明了的結(jié)論矛盾，也可以與公認(rèn)事實(shí)產(chǎn)生矛盾）;4、找出嗎矛盾產(chǎn)生的點(diǎn)，是在開始所做的假設(shè)不真，所以原命題的結(jié)論成立，進(jìn)而間接地證明出命題為真^[2]。

2反證法的實(shí)際應(yīng)用

2.1反證法在數(shù)學(xué)幾何問題中的應(yīng)用

在集合問題中，通過常規(guī)的方法往往無法證明出問題所在。在非等腰三角形中，任意一邊的中垂線與該邊所對的角的角平分線不交于三角形內(nèi).

分析：假定在非等腰三角形△中的角平分線與BC的中垂線交于△ABC內(nèi)D點(diǎn)（如圖一），則過D點(diǎn)作DF垂直AC于F，DE垂直AB與E，連接DC、DF（如圖二）。因?yàn)镈F垂直于AC，DE垂直于AD為∠A角平分線，因此DF=DE;又因?yàn)镈F=DE，AD=AD，∠AFD=∠AED=90°，因此△AFD≌△AED（HL），

AF=AE;又因?yàn)镈為中垂線上一點(diǎn)，所以DC=DB;又因?yàn)镈C=DB，DF=DE，∠DFC=∠DEB=90?

所以△DFC≌△DEB（HL），F(xiàn)C=BE，AC=AF+FC=AE+EB=AB。這表明△ABC是等腰三角形，于題設(shè)非等腰三角形ABC相矛盾，所以假設(shè)不成立，故非等腰三角形一邊上的中垂線必定不與該邊所對角的角平分線交于三角形內(nèi)一點(diǎn)。

2.2反證法在極限問題中的應(yīng)用

反證法在極限問題中也有重要作用，對于函數(shù)極限唯一性的問題，運(yùn)用反證法可以更加形象的分析問題。假設(shè)存在a、b兩個(gè)數(shù)都是函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0的極限，且a0（要注意，這個(gè)ε是對a、b都成立）。總存在一個(gè)δ1>0，當(dāng)0<|x-x|<δ1時(shí)，使得|f（x）-a|<ε成立。總存在一個(gè)δ2>0，當(dāng)0<|x-x|<δ2時(shí)，使得|f（x）-b|<ε成立。上面的不等式可以等價(jià)變換為a-ε

2.3反證法在函數(shù)問題中的應(yīng)用

已知x∈R，且f（x+k）=f（k-x）讓我們證明若f（x）奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，則f（k）=0。接下來開始分析，假設(shè)f（k）≠0，當(dāng)x>k時(shí)，有x1、x2......xnn個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)x

2.4反證法的優(yōu)勢

由上述吻戲的問題可知，反證法有如下優(yōu)勢：1、在直接證明情況多且復(fù)雜時(shí)可以避開繁瑣的討論;2、證明集合的元素有無限多時(shí)，可以假定有限，從而將命題轉(zhuǎn)換為證明在除有限個(gè)元素外還有新的元素的問題，從而證明集合內(nèi)元素?zé)o限多;3、證明否定命題時(shí)，可以直接假設(shè)命題成立推導(dǎo)證明該命題不成立從而證明否定命題成立;4、證明直接建立在數(shù)學(xué)公理上的命題，其否定命題往往與公理沖突，因此容易證明其否命題不成立，從而用反證法容易證明原命題成立。

結(jié)語

總之，反證法作為一種重要的間接證明的方法，在直接證明無法進(jìn)行時(shí)可以作為我們的一個(gè)強(qiáng)有力的工具。因此其在數(shù)學(xué)研究的作用自然是不容小覷。另外，在一些復(fù)雜命題的證明上，反證法可以從原命題的反面入手，從而大大減少證明原命題的工作量，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡潔之美。而且反證法不只是一種證明方法，更是一種逆向思維的代表，因此，我們對于反證法進(jìn)行研究與應(yīng)用，對于于我們在數(shù)學(xué)上的理解與研究和數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)都將大有裨益。

參考文獻(xiàn)：

[1]段耀勇，楊朝明.反證法的歷史沿革[J].武警學(xué)院學(xué)報(bào)，2003，19（4）：86-88.

[2]李丹丹.反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].哈爾濱職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2013（2）：93-94.