大端接圓柱桿的復合圓錐形變幅桿設計及應用

靳濤，胡小平，于保華

（杭州電子科技大學 機械工程學院，杭州310018）

超聲切削加工系統一般包括超聲波發生器、換能器、變幅桿和加工刀具等［1-2］。由于換能器輸出振幅不能滿足刀具加工需要，需在換能器與加工刀具之間添加一種振幅放大機構，即變幅桿［3］。

超聲變幅桿是超聲切削加工系統中的重要組成部件，其作用是把換能器輸出端的振動位移或速度振幅進行放大，此外，超聲變幅桿還可以作為機械阻抗變換器，在換能器和聲負載之間進行阻抗匹配，使超聲能量更有效地從換能器向負載傳輸［4-6］。根據需求的不同，變幅桿可分為單一型和復合型［7］。

變幅桿的振動特性理論分析，通常基于其波動方程，由邊值問題定解［8-9］。變幅桿的設計通常按照半波、空載考慮，實際應用時再加以調整［10］。在高強度超聲應用中，往往要求變幅桿末端具有較大的振動幅度，這就要求變幅桿的形狀因數φ和放大倍數Mp的值都盡可能大［11］。同時為了保證變幅桿能夠持續工作較長時間，變幅桿工作時應具有較小的最大應力。為了兼顧以上優點，設計了一種新型復合變幅桿。

本文首先基于傳統的振動理論，設計一種1／2波長大端接圓柱桿的復合圓錐形變幅桿（簡稱為新型復合變幅桿）；然后借助有限元分析軟件驗證其理論公式的正確性，并且與單一型變幅桿以及小端接圓柱桿的復合圓錐形變幅桿的性能參數進行比較，利用有限元分析軟件對新型復合變幅桿進行優化設計，并通過實驗驗證了其振動情況。

1 新型復合變幅桿的理論模型

圖1為新型復合變幅桿的示意圖，為了簡化模型，假設變幅桿由均勻、各向同性材料構成。

圖1 新型復合變幅桿Fig.1 New compound horn

在簡諧共振的條件下，變幅桿縱向振動的波動方程為［12］

式中：S＝S（x）為變幅桿的橫截面積函數；ξ＝ξ（x）為質點位移函數；k＝ω／c，k為圓波數，ω為圓頻率，c為縱波在變幅桿中的傳播速度。

設Ⅰ段的末端為坐標原點，則各段的面積函數表達式為

將每段變幅桿的面積函數代入波動方程式（1）中，并聯立式（3）～式（5）：

自由邊界條件為

變幅桿左端位移邊界條件為

兩段變幅桿之間的位移、應變連續條件為

解得每段變幅桿的位移函數為

應變分布的表達式為

1）頻率方程

由式（7）和邊界條件（3）可以推導出變幅桿的頻率方程為

由式（8）求出根（kl2）之后，可由式（9）求出l2長度：

式中：λ為波長。

2）位移節點x0

由式（6），當x＝x0時ξ＝0得節點位移x0為

3）放大倍數Mp

4）輸入力阻抗Zi

可得

5）形狀因數φ

當不滿足條件時，則Ⅱ段沒有應變極大點，應變最大點在xm＝l2處，則φ＝1。

2 變幅桿的動力學分析

利用ANSYSWorkbench有限元分析軟件對所設計的新型復合變幅桿進行動力學分析，通過比較各項參數，驗證理論公式的正確性。

2.1 理論數據計算

在變幅桿設計中，需要進行大量的數學計算，其中包括求解超越方程。這些計算很難用手工精確和快速的進行，這就需要借助MATLAB軟件計算。

由頻率方程可知，變幅桿的各項參數不僅和面積系數N有關還與Ⅰ段l1有關。

分別假設Ⅰ段長度l1＝31.25mm以及面積系數N＝3.5，變幅桿工作時的諧振頻率FREQ＝20 000 Hz，通過式（8）求得不同的面積系數N時圓錐桿的長度l2以及不同的Ⅰ段長度l1時圓錐桿的長度l2，然后由式（11）、式（13）和式（14）分別求得相應的放大倍數Mp、形狀因數φ和應變極大點xm，結果如表1、表2所示。

2.2 動力學分析結果與理論數據比較

由于變幅桿工作過程中一直處在高頻的振動狀態，因此所選材料必須具有一定的強度和韌性［13］。試驗選用性能優良的00Cr17Ni14Mo2材料來制作變幅桿，材料參數如表3所示。

利用CAD軟件對變幅桿建模，導入ANSYS Workbench軟件中，對變幅桿進行模態分析，提取各階模態，選取縱振情況下的諧振頻率。在模態分析的基礎上，選用Harmonic Response模塊對變幅桿進行諧響應分析，法蘭的位移為零，在變幅桿大端xy平面施加0.04mm的位移載荷，得到變幅桿的放大倍數Mp、應變極大點xm和最大應力σmax。

表1 N對變幅桿性能參數的影響Tab le 1 E ffect of N on perform ance param eters of horn

表2 l1 對變幅桿性能參數的影響Tab le 2 E ffect of l1 on perform ance param eters of horn

表3 00Cr17Ni14M o2材料參數Table 3 00Cr17Ni14M o2 m aterial param eters

對表1、表2不同結構參數的變幅桿進行動力學分析，結果如表4、表5所示。

表4 N對動力學分析的影響Table 4 Effect of N on kinetic analysis

表5 l1 對動力學分析的影響Tab le 5 E ffect of l1 on k inetic analysis

比較表1和表4求解的結果，Ⅰ段長度l1保持不變時，諧振頻率FREQ、放大倍數Mp和應變極大點xm的相對誤差如表6所示。

比較表2和表5的求解的結果，面積系數N保持不變時，諧振頻率FREQ、放大倍數Mp和應變極大點xm的相對誤差如表7所示。

由表6、表7分析可知，解析法計算的結果與有限元分析的結果基本吻合，諧振頻率FREQ的相對誤差最大為2.59% ＜5%，放大倍數Mp的相對誤差最大為4.59% ＜5%，應變極大點xm的相對誤差最大為4.29% ＜5%。因此，在可允許的范圍內，驗證了理論公式的正確性。

表6 N對相對誤差的影響Tab le 6 Effect of N on relative error

表7 l1 對相對誤差的影響Tab le 7 Effect of l1 on relative error

3 變幅桿性能參數和最大應力對比

3.1 變幅桿的性能參數對比

以放大倍數Mp和形狀因數φ作為關鍵參數，與單一型變幅桿以及小端接圓柱桿的復合圓錐形變幅桿進行比較，結果如圖2所示。

圖2 各類變幅桿性能參數對比Fig.2 Comparison of performance parameters of various horns

由圖2可知，隨著面積系數的增大，小端接圓柱桿的復合圓錐形變幅桿的放大倍數增大且增大速率最快，但是形狀因數明顯小于其他3種型號的變幅桿且處于較低的水平。而新型復合變幅桿的放大倍數也隨著面積系數的增大而增大，一直大于圓錐形變幅桿放大倍數，與指數形變幅桿接近，并且形狀因數一直大于其他3種類型的變幅桿。新型復合圓錐形變幅桿兩者兼顧，變幅桿末端能達到較大的振幅，因此設計的新型復合變幅桿綜合性能最優。

3.2 變幅桿的最大應力對比

根據材料的疲勞-壽命曲線可知，材料的性能參數相同時，變幅桿工作時的最大應力直接影響到變幅桿的壽命，為了保證變幅桿能夠持續工作較長時間，具有較長的使用壽命，所以在設計變幅桿時除了要滿足振幅的設計要求以外，還要重點考慮變幅桿的最大應力［14］。4種變幅桿的最大應力對比如圖3所示。

由圖3可以看出，隨著面積系數的增大，各類變幅桿的最大應力都會增大。但明顯可以看出，小端接圓柱桿的復合圓錐形變幅桿的最大應力隨面積系數增大將快速增大，在面積系數大于1.5后明顯大于其他3種變幅桿的最大應力，新型復合圓錐形變幅桿和圓錐形變幅桿的最大應力增加速度最為緩慢且一直處于較低的水平，符合設計的需求。

圖3 各類變幅桿最大應力對比Fig.3 Comparison ofmaximum stress of various horns

綜合比較分析可知，新型復合變幅桿具有更好的綜合性能和更小的最大應力，所以新型復合變幅桿的結構更優良。

4 新型復合變幅桿的實際應用

4.1 變幅桿的尺寸設計

為了降低換能器、刀具以及變幅桿大小端結合處的能量損耗，要求變幅桿大端直徑D1等于換能器輸出端直徑、小端直徑D2等于刀座直徑［15］。在實際設計中，對于20 kHz的超聲振動切削系統，根據選定的換能器型號，變幅桿的面積系數要求為N＝3.5，變幅桿大端直徑D1＝56 mm，小端直徑D2＝16mm。同時為了保證刀具的輸出振幅滿足要求，變幅桿的放大倍數Mp≥3。

根據表2可知，當面積系數N＝3.5時Ⅰ段長度滿足條件15.14mm＜l1＜31.25mm，變幅桿的放大倍數可以達到Mp≥3，滿足振幅的需要。當圓柱桿長度l1＝31.25mm時，最大應力較小且形狀因數φ較好。所以，新型復合變幅桿的尺寸初步設計參數如表8所示。

由于變幅桿的大端面與換能器螺紋連接，變幅桿的小端面與刀具螺紋連接，所以需要在變幅桿的大端面和小端面各加工一個螺紋孔。

根據變幅桿設計的等效質量塊法可知，為了抵消螺紋孔的影響，可以在變幅桿的小端面處沿軸向正方向增加一段短圓柱l3。

表8 新型復合變幅桿參數Table 8 New com posite horn param eters

固定大端直徑D1、小端直徑D2，以最大應力為優化目標函數，定義設計變量l1、l2、l3，定義頻率范圍為19 000Hz≤FREQ≤21000Hz，在保證放大倍數Mp≥3的條件下，進行變幅桿優化設計分析，優化后的變幅桿的有限元分析結果如圖4所示，得到優化后的尺寸如表9所示。

表9 變幅桿優化設計結果Tab le 9 Resu lts of horn design op tim ization

4.2 變幅桿的性能測試

根據優化設計結果，加工制作變幅桿，如圖5所示。

圖5 變幅桿實物Fig.5 Photo of horn

采用北京邦聯時代電子科技有線公司PV70A的阻抗分析儀對換能器和變幅桿進行阻抗分析，如圖6所示。由圖6可知，變幅桿的導納圓圓度較好，電導曲線正常。振動系統的機械品質因數較高，即系統的電聲轉化效率高，說明所設計變幅桿的尺寸及其結構都十分合理。變幅桿的實測頻率20013Hz與理論設計頻率20 000 Hz的誤差在1%以內，進一步驗證理論公式的正確性。

圖6 阻抗分析結果Fig.6 Result of impedance analysis

選用型號HK-008W 的激光位移傳感器對換能器和變幅桿的輸出端進行振幅測試，在150V驅動電壓的激勵下，測量換能器與變幅桿組件的輸出振幅，卸載變幅桿后同樣在150 V驅動電壓的激勵下，測量換能器的輸出振幅，振幅測試的結果如圖7所示。由圖7可知：超聲變幅桿系統振動狀態穩定，實測變幅桿穩定輸出振幅峰峰值為40μm，換能器的輸出振幅峰峰值為13μm，變幅桿的放大倍數Mp＝3.08，與理論計算結果基本吻合，證明了理論公式的正確性。

圖7 振幅測試結果Fig.7 Results of amplitude test

新型復合變幅桿的理論設計參數、有限元分析結果以及實測結果存在一定的誤差。這主要由3方面因數造成：①理論計算時未考慮變幅桿首尾端連接螺紋孔以及窄端接修整桿l3的存在；②實驗測量的是整個聲學系統的諧振頻率，但是理論設計和有限元分析時未考慮換能器的影響；③未能同時測量換能器與變幅桿的輸出振幅，變幅桿作為純阻負載對實驗結果造成一定影響，所以實際測得的振幅放大倍數存在誤差。

5 結 論

各種傳統形狀變幅桿各具有其優點，但是都不是最理想的：圓錐形和指數形的變幅桿的振幅放大倍數較低，小端接圓柱桿的復合圓錐形變幅桿雖然具有較大的振幅放大倍數，但它的形狀因數較小以及工作時具有很大的最大應力。因此采用了解析法設計了一種既能滿足振幅條件，工作時最大應力較小的新型復合變幅桿。借助有限元分析軟件對其進行模態和諧響應分析，得到變幅桿的諧振頻率、放大倍數及應力極大點位置，與理論值基本吻合。加工和測試優化設計后的新型復合變幅桿，實測結果與理論設計參數十分接近，進一步驗證了理論公式的正確性。