桁架拓撲優化幾何穩定性判定法和約束方案比較

郝寶新，周志成，曲廣吉，李東澤

（中國空間技術研究院，北京100094）

桁架結構拓撲優化是結構優化領域的一個重要分支。結構拓撲優化的很多經典問題都是從桁架結構優化中出現并逐步得到解決的，一些新的結構拓撲優化方法往往也通過求解典型的桁架拓撲優化算例進行可行性和有效性的驗證。優化過程中桁架拓撲會發生變更，這是拓撲優化不同于尺寸優化的一個顯著特點。雖然也有學者研究進化類的拓撲變更策略［1-5］，但基于退化策略的基結構法（Ground Structure Method，GSM）［6］一直是桁架拓撲優化領域應用最為廣泛的方法。從拓撲變更角度講，在基結構法框架下，初始桁架結構中的部分桿件將被刪除，優化結果容易出現穩定性不足的情況；從力學性能角度講，實際工程結構受載時，失穩破壞往往發生于強度破壞之前，滿足強度條件的結構不一定滿足穩定性要求。因此，優化過程中若不考慮穩定性約束，優化結果往往不能通過穩定性校驗，這將嚴重影響其工程實用性。

桁架結構拓撲優化中常見的穩定性現象主要包括3類，即局部穩定性、幾何穩定性和全局穩定性［7-8］。局部穩定性與歐拉屈曲相關，當桁架中的桿件所受壓載荷超過其臨界歐拉屈曲載荷時，桿件發生歐拉屈曲，稱桁架出現局部不穩定（失穩）。幾何穩定性也稱為運動穩定性，當結構由于存在不能承載的自由度而變為機構時，稱其為幾何不穩定。對受載的機構，即使很小的擾動也可能破壞其平衡狀態，導致整體垮塌。節點不穩定是最常見的一種幾何不穩定現象，通常出現于成串受壓桿件的中間節點缺少橫向支撐的情況。全局穩定性是基于線性穩定性理論定義的：當載荷達到臨界屈曲載荷時，結構的平衡狀態發生分支，稱結構出現全局不穩定。在有限元方法中，線性穩定性問題是關于結構剛度矩陣和幾何剛度矩陣的廣義特征值問題。

桁架結構的局部和全局穩定性均可通過臨界屈曲載荷進行定量評價。在優化模型中，要求臨界屈曲載荷不小于實際載荷即可構成對應的約束條件。相比而言，桁架幾何穩定性則較難描述和度量。文獻中常用某些替代約束方案在一定程度上確保優化結果的幾何穩定性。第1類方案是限制節點處的桿件連接情況。例如，Ohsaki和Katoh［9］、Cerveira等［10］的策略是對拓撲中的所有自由節點，強制要求連接到該節點的桿件總數大于某給定值，并且對存在桿件的橫截面積給定合適的下限，以保證拓撲中的節點都有足夠的橫向支撐。但滿足這種要求的拓撲并不一定幾何穩定。第2類方案是考慮附加載荷。在桁架節點處作用非軸向載荷能夠迫使最優結構中保留對該節點的橫向支撐，從而使結構在這些載荷下保持穩定。該思想最簡單的實現方法是對桁架施加附加載荷，可參考Tyas等［7］、Descamps和Coelho［8］以及Mela［11］的相關工作。此類方案往往需要引入一些復雜的主觀策略以確定附加載荷施加的位置和幅值。第3類方案是考慮基頻約束或全局穩定約束。冷國俊等［12］在桁架結構拓撲優化中加入基頻約束以避免出現機構；Guo等［13］將全局穩定約束引入優化問題數學模型，要求結構的臨界屈曲載荷大于實際載荷。Koˇcvara［14］用算例說明，使用基頻約束代替全局穩定約束得到的最優結構并不相同，但未作深入討論。

可見，桁架結構拓撲優化中對幾何穩定性的約束方案多種多樣，各方案的約束原理和使用效果也不盡相同，實際應用時存在方案選擇和優化結果不統一等困難。實際上，由于對此類問題處理方式的主觀性，目前尚無被廣泛采用的幾何穩定性的嚴格定義，這對桁架結構幾何穩定性的判定帶來了困難。

針對上述問題，本文對比了桁架拓撲幾何穩定性的幾種判定方法，給出了一套簡單有效的判定流程；基于半定規劃（Semidefinite Programming，SDP）模型，結合具體算例對桁架拓撲優化中處理幾何穩定性的3種常見約束方案進行了對比分析，通過對優化結果幾何穩定性的討論，說明了各類方案的有效性。

1 桁架結構幾何穩定性的判定

1.1 桁架結構幾何穩定性的判定方法

幾何不穩定的拓撲形式已成為機構，但為敘述方便，本文仍將由軸向受力桿件通過鉸接節點連成的結構形式統稱為桁架。可靠的判定準則是是對桁架幾何穩定性進行討論的前提。相關文獻中桁架幾何穩定性的判定方法主要有以下4類。

1）檢查節點處連接桿件的情況

一般要求與某個節點相連的桿件數量不小于給定數值。例如，平面桁架中的自由節點（即可動節點）至少應連接2根不共線的桿件；而空間桁架則要求自由節點至少應連接3根不共面的桿件。實施過程中，還要分別考慮載荷作用節點、固定節點和一般自由節點的連桿數要求。

2）檢查是否滿足Maxwell準則

記桁架的空間維度為d（二維桁架d＝2，三維桁架d＝3），包含的桿件總數為m，節點總數為n，被邊界條件限制的自由度數為c，則可定義桁架結構的某種自由度度量nDOF＝d×n-m-c。按照Maxwell準則，若nDOF≤0則可認為桁架拓撲幾何穩定。Maxwell準則也稱為 Grubler準則［15-16］或Chebyshev-Grübler-Kutzbach準則［17］。

3）檢查剛度矩陣K的正定性

根據有限元理論，結構剛度矩陣K總是半正定的。該方法認為，若結構剛度矩陣正定（表示為K?O，O為全零矩陣）則桁架是幾何穩定的。否則K是奇異矩陣，此時結構具有不能承載的自由度。這種判定方法需組裝結構剛度矩陣K，且一般需要利用某種數值過程來確定矩陣是否正定，如計算K的特征值［16］或條件數［18］。

4）檢查結構平衡矩陣A是否行滿秩

Pellegrino和Calladine［19-20］指出，與結構平衡矩陣A（即幾何矩陣B的轉置，桿件內力向量q與外載荷向量f滿足q＝A f）相關的向量子空間能夠提供結構動靜態穩定性方面的詳細信息。記平衡矩陣A的行數為nr、列數為nc、矩陣的秩為r，則結構的靜不定度為sDOF＝nc-r，動不定度為kDOF＝nr-r。平衡矩陣A行滿秩，即動不定度kDOF＝0時，認為桁架幾何穩定。這種方法需要構造平衡矩陣A并求其秩。需說明，這里的動不定度是指桁架結構中不能承載的自由度（沿該自由度的微小位移導致的結構形變不能使結構產生對應的內力來抵抗這種位移趨勢）的數量，與其他文獻（如文獻［21］）中“動不定”的含義不盡相同。

1.2 對幾何穩定性判定方法的討論

本節使用1.1節方法對若干簡單二維拓撲進行幾何穩定性判定，以說明各種判定方法的合理性。

表1第2列給出4個桁架拓撲。在每個拓撲中，實心圓圈“·”表示固定節點，其位置不變；空心圓圈“?”表示自由節點，其位置可變；連接2個節點的粗直線表示一根桿件；箭頭表示一些可能的載荷。第3～6列分別是使用不同方法對這些拓撲的幾何穩定性進行判定的結果，“√”表示判定為幾何穩定，“×”表示判定為幾何不穩定。最后2列給出對應拓撲在Maxwell準則下的自由度度量nDOF以及通過平衡矩陣特性計算的動不定度kDOF的具體數值。

表1的4個拓撲均包含機構，顯然是幾何不穩定的。對拓撲1，所有判定方法均判定其為幾何不穩定。方法1）對拓撲2和拓撲3判定錯誤：2個拓撲中的自由節點各連接了2根或以上不共線桿件，各節點均滿足連桿數量要求，但這2個拓撲都是幾何不穩定的。方法2）對拓撲4判定錯誤：該拓撲nDOF＝0，滿足Maxwell準則要求，但其中存在無橫向支撐的共線桿件，顯然也是幾何不穩定的，且此時nDOF≠kDOF。相關文獻［16-17］已指出，方法1）和方法2）使用的判定準則僅是桁架幾何穩定的必要非充分條件。方法3）和方法4）則能正確識別全部4個幾何不穩定拓撲。本文認為，方法4）具有嚴密的理論基礎，結構動不定度為零（kDOF＝0）可作為桁架結構幾何穩定的定義。實際上，從數學上可以證明，桁架剛度矩陣K正定等價于平衡矩陣A行滿秩（見附錄A），也即方法3）和方法4）的判定準則是等價的。

觀察發現，不論是各節點連接桿件的計數，或是Maxwell準則中自由度度量nDOF的計算，還是結構相關矩陣K和A的構造與分析，4類方法的判定過程均不涉及載荷條件。可見，桁架結構的幾何穩定性是一種僅與拓撲構型（包含空間維度、桿件連接關系和邊界條件等）相關的結構屬性，與結構材料、桿件粗細及所受載荷均無關。桁架的幾何穩定性即指其拓撲的幾何穩定性。

表1 不同方法對幾何穩定性的判定結果Tab le 1 Geom etric stability determ ined by differentm ethods

1.3 評估桁架結構幾何穩定性的一種簡單流程

對比可見：方法1）和方法2）相對簡單易行，其判定準則雖然是桁架幾何穩定的必要非充分條件，但這2種方法對幾何不穩定拓撲的識別卻有很好的效果；方法3）和方法4）則能準確反映結構的幾何穩定性，但需要構造相關矩陣，并使用特定的數值過程得出矩陣特性。為減少計算量，本文給出如圖1所示的幾何穩定性判定流程。

第1步為視覺判定。對一些明顯的幾何不穩定拓撲，視覺上的直觀判斷比考察準則是否滿足更加直接高效。本文在該階段提出識別幾何不穩定模式的方法。定義如下3種幾何不穩定模式：①存在與主體結構不相連的孤立部分；②存在明顯可動的整體或局部結構；③存在缺少橫向支撐的共線或共面桿件。拓撲中存在任何一種幾何不穩定模式時，即可將其判定為幾何不穩定。幾何不穩定模式可能并不止這3種，但是，除非新的模式能夠被很直接地識別出來，否則本文不建議在該階段列出更多模式或對其進行明確地分類。第2步為自由度判定，即檢查Maxwell準則的滿足情況。統計給定拓撲中的桿件總數、節點總數和被約束的自由度數，根據問題維度計算nDOF。若nDOF＞0，直接將拓撲判定為幾何不穩定，否則進入下一步。第3步為定義判定。考慮邊界條件，構造桁架結構的剛度矩陣K或平衡矩陣A，根據K是否正定或A是否行滿秩準確判定拓撲是否幾何穩定。需要時可由A的秩計算拓撲的動不定度和靜不定度。

圖1 桁架結構幾何穩定性的判定流程Fig.1 Flowchart for determining truss geometric stability

該流程能夠快速給出桁架結構是否幾何穩定的定性結論。視覺和自由度判定階段的任何判斷環節均可跳過（相當于認為該環節的判斷結果為“不確定”）。使用計算機進行判定時，可跳過視覺判定階段。

2 桁架結構幾何穩定約束方案對比

結構優化的數學模型中通常只對結構的典型響應量（如柔度、應力、節點位移、振動基頻、臨界屈曲載荷等）進行約束。由1.1節討論，桁架幾何穩定的定義涉及剛度矩陣K和平衡矩陣A，它們并不是常見的結構響應量，因此目前的桁架結構拓撲優化模型中還沒有對幾何穩定性的直接約束。本文在引言中介紹了一些替代性的方案，選取其中3種進行研究。結構優化問題存在可行域為空集的可能性，但對體積最小化問題，通常總能通過增加結構尺寸使約束條件滿足，因此一般不會出現這種情況。本文在體積最小化模型的基礎上對以下3種約束方案進行詳細討論：A.考慮附加載荷；B.考慮基頻約束；C.考慮全局穩定約束。

2.1 基于半定規劃的優化問題建模

為對比不同的幾何穩定約束方案，給出統一的優化模型。其中包含多工況下的柔度約束、結構基頻約束和全局穩定約束，數學表達式為

式（1a）為目標函數，其中V為桁架結構的總體積；各桿件體積ti（i＝1，2，…，m）構成桿件體積向量t∈Rm；m為桿件總數。

式（1b）～式（1i）均為約束。式（1b）為桿件體積非負約束。式（1c）為工況j下的平衡方程，K（t）為結構剛度矩陣；fj為第j個工況下的載荷向量；uj為該工況下的節點位移，k為工況總數。式（1d）為結構柔度定義式，Cj為工況j下的柔度值。式（1e）為柔度約束，ˉC為各個載荷工況下的統一柔度上限。式（1 f）為無阻尼自由振動的動力學方程，λ為結構自由振動的特征值，其最小值記作λmin；φ為特征向量；M（t）為結構質量矩陣。

將優化模型（1）轉換為SDP形式，以便采用適當的SDP求解器進行優化求解。SDP是傳統的數學規劃在矩陣空間中的推廣［22］，20世紀90年代末開始應用于結構優化領域。SDP模型有利于問題的凸化和對多重特征值問題的處理。研究人員將傳統優化模型中的典型約束表示為等價的半定約束形式，建立了桁架拓撲優化的SDP模型，為優化問題的求解奠定了基礎。優化模型（1）對應的SDP模型為

本文考慮的3種幾何穩定約束方案分別對應3個桁架拓撲優化問題。問題A的優化模型由式（2a）～式（2c）組成。柔度是結構在靜態載荷下形變量的一種度量，加入柔度約束可使優化問題存在體積下限，從而使問題適定。問題B的優化模型由式（2a）～式（2d）組成。由于同一拓撲構型下各桿橫截面積等比例縮放時結構基頻不變，僅在基頻約束下最小化結構體積時，各桿橫截面積將趨于無窮小（詳見文獻［26］），加入柔度約束可使優化問題適定。問題C的優化模型由式（2a）～式（2c）和式（2e）組成，為使問題適定，該模型中也考慮了柔度約束，其作用可見后文算例中的討論。

在實際求解時，一般還需通過特定的數學處理方法將上述模型轉化為標準SDP形式。問題A和問題B可轉化為標準的線性SDP問題，可使用SeDuMi［27］、SDPT3［28］等求解器進行求解；問題C是一個非線性SDP問題，可用PENLAB求解器［29］或序列SDP方法［30］進行求解。

2.2 桁架結構拓撲優化算例

本節首先對3個不同的簡單桁架分別求解優化問題A、B和C，通過分析結果的幾何穩定性，詳細說明了不同約束方案的特點；然后使用3種約束方案對同一空間桁架進行優化，進一步對比了3種約束方案的有效性。

本節的所有圖示中，桿件均具有實心圓截面并用直線表示，直線粗細表示桿件的相對直徑大小；靜態載荷用箭頭表示，同一圖示中的不同箭頭長度表示該圖內載荷幅值的相對大小（若幅值過小，箭頭尾部可能不顯示）。節點沿水平和豎直方向均勻分布，若無特別說明，算例中各方向相鄰節點間距均為1個單位長度；材料的彈性模量和密度均取單位1；初始桿件直徑均取為單位1。物理量經適當縮放，無需給出具體單位。圖示注釋文字最后的“（Y）”表示拓撲幾何穩定，“（N）”表示幾何不穩定，“N”后的數字表示動不定度kDOF的具體數值（幾何穩定特性由圖1流程給出）。

2.2.1 算例1——考慮附加載荷

對圖2（a）所示的10桿桁架基結構考慮如下3個集中載荷：主要載荷①作用于頂部右側節點，水平向左，幅值為1；附加載荷②和③分別作用于頂部右側和中間節點，豎直向下，幅值為0.1。柔度上限取ˉC＝1。

使用SeDuMi求解半定優化問題A，不同載荷組合情況下優化后的拓撲如圖2（b）～圖2（h）所示。優化后拓撲去掉了橫截面積小于優化結果中最大橫截面積特定百分比的過細桿件（根據經驗，本文將過濾閾值取為0.1%）。

圖2 10桿桁架基結構及不同工況下優化后的拓撲Fig.2 10-bar truss ground structure and optimized topologies under different load combinations

圖2（a）所示基結構是幾何穩定的。僅考慮載荷①時，優化后拓撲（圖2（b））幾何不穩定。在載荷①基礎上考慮附加載荷②，優化后拓撲（圖2（c）、圖2（d））均幾何穩定；在載荷①基礎上考慮附加載荷③，不論是同時加載還是分工況加載，優化后拓撲（圖2（e）、圖2（f））相同，且均幾何不穩定；在載荷①基礎上考慮附加載荷②和③，優化后拓撲均幾何穩定，且與同時考慮載荷①②時得到的拓撲（圖2（c）、圖2（d））相同。可見，附加載荷作用節點的選擇對優化后拓撲幾何穩定性的影響很大。另外，多載荷分工況加載比同時加載時得到的優化后拓撲往往更傾向于幾何穩定，前者中包含后者的所有桿件，且通常還有更多的橫向支撐。

對刪除細桿前后桁架的力學特性進行對比可發現，優化結果中的細桿對結構體積和柔度幾乎沒有影響。需注意，幾何不穩定桁架的剛度矩陣K奇異，求解平衡方程時可采用其Moore-Penrose逆矩陣［31］。

2.2.2 算例2——考慮基頻約束

如圖3（a）所示的33桿桁架基結構，各方向相鄰節點間距均為0.5個單位長度，最左側3個節點為固定節點，最右側中間節點處作用水平向左、幅值為1的靜態載荷。33根桿件考慮了除固支點之間連接之外的所有可能連接情況，包含跨節點的長桿。

基結構體積為21.543 1，柔度為0.265 2，基頻為0.059 2。使用SeDuMi求解半定優化問題B。柔度上限設置為＝1，基頻下限分 別取0.05、0.1和0.15時，優化后拓撲（消去過細桿件）分別如圖3（b）～圖3（d）所示，其最優體積分別為1.103 0、2.488 6和10.7037。各結果的柔度值均為1.000 0，基頻均達到給定下限（數值分別為5.000 0×10-2、1.000 0×10-1和1.500 0×10-1），柔度和基頻約束均為臨界約束。觀察可見：對不同的基頻下限值f，優化結果中桿件的橫截面積和結構拓撲均發生了顯著變化；隨著f的不斷增大，越來越多的材料被用于滿足基頻約束。通過判別，本例在基頻約束下得到的優化后拓撲均是幾何穩定的。

圖3 33桿桁架基結構及不同基頻約束下優化后的拓撲Fig.3 33-bar truss ground structure and optimized topologies under different fundamental frequency constraints

對本例，僅考慮單一約束（柔度或基頻約束）的體積最小解將趨于不同的構型。柔度上限固定，取不同的基頻下限f進行試算時，出現2種極端情況。若柔度約束相比基頻約束（取＝0.001）過于嚴格，則基頻約束為寬松約束，所得優化結果（圖4（a））體積為1.0000，柔度為1.0000，基頻為9.999 9×10-4（振型見圖4（b）），在一定誤差范圍內可認為滿足柔度和基頻約束。去掉過細桿件后的2桿拓撲（圖4（c））柔度值為1.000 1，可認為仍滿足柔度約束；但該拓撲動不定度為2，其前2階振動頻率均為0，不再滿足基頻約束（細桿的存在對一階振型的維持不可或缺，去除細桿后的桁架拓撲動不定）。若基頻約束（取＝0.2）相比柔度約束過于嚴格，則柔度約束為寬松約束，數值計算停止時得到的結果（圖4（d））體積為238.850 5，柔度為1.000 0，基頻為0.159 4（對應過細桿件的振動模態，見圖4（e）），不滿足基頻約束，結果不可行，求解失敗。去掉過細桿件后的8桿拓撲（圖4（f））基頻為0.200 4，滿足基頻約束；但其柔度值為1.041 7，不再滿足柔度約束（細桿對滿足柔度約束不可或缺）。對上述2種情況，優化問題中約束上下限取值不合理，不同約束的相對嚴格程度差距較大，得到的計算結果不合理甚至不可行。

圖4 33桿桁架不合理基頻約束下的拓撲優化結果Fig.4 Topology optimization results of 33-bar truss under unreasonable fundamental frequency constraints

2.2.3 算例3——考慮全局穩定約束

為說明載荷對優化結果的影響，將載荷幅值F分別取為1和0.5，優化后拓撲（消去過細桿件）分別如圖5（b）和圖5（c）所示。圖5（b）所示拓撲的臨界屈曲載荷因子為1.211 1，滿足全局穩定約束且非臨界；結構柔度為1.000 0，柔度約束臨界。該解與僅考慮柔度約束（ˉC＝1）的解完全相同，為幾何不穩定拓撲。圖5（c）所示拓撲的臨界屈曲載荷因子為1.000 0，全局穩定約束臨界；結構柔度為1.000 0，柔度約束也臨界，該解幾何穩定。實際上，若基結構幾何不穩定（僅含桿①②③），優化結果也可滿足全局穩定約束。取F＝0.5時，問題C的解如圖5（d）所示，雖然幾何不穩定，但該解的臨界屈曲載荷因子為1.000 0，載荷下的柔度為1，嚴格滿足全局穩定約束和柔度約束。相比靈活性更大的4桿基結構下的最優解（圖5（c），體積為4.889 0），3桿基結構下的優化空間變小，最優解滿足約束所需的材料體積（5.098 1）略有增加。可見滿足全局穩定約束時，桁架拓撲可能幾何穩定，也可能幾何不穩定，載荷的影響很大。

圖5 4桿桁架基結構及不同約束和載荷值下的拓撲優化結果Fig.5 4-bar truss ground structure and topology optimization results under different constraints and loads

下面考慮F＝0.5時約束單獨作用的情況。若不考慮全局穩定約束而僅考慮柔度約束，所得解（圖5（e））的柔度為臨界值1.000 0，但其臨界屈曲載荷因子為0.605 6，不滿足全局穩定約束。若不考慮柔度約束而僅考慮全局穩定約束，所得解（圖5（f））的臨界屈曲載荷因子為臨界值1.0000，但該解柔度值為4.209 2×104，遠超過柔度上限ˉC＝1。可見，不同約束下的優化結果存在極大差異，優化結果并不一定能滿足未考慮的約束條件。

全局穩定解（圖5（f））存在更加嚴重的問題：為滿足全局穩定約束，內力為零的桿④具有相當大的橫截面積；作為主要承力桿件的桿③橫截面積卻很小，其應力絕對值遠遠高出桿①②（相差約5個數量級）；若桿③因過細而在后處理過程中被刪除，剩余的①②④桿拓撲將不能承擔給定載荷。若對僅含桿①②③的幾何不穩定基結構求解僅考慮全局穩定約束的體積最小化問題，所得解如圖5（g）所示。對比可見，增大桿④的橫截面積同時減小桿③的橫截面積，能夠以更小的結構總體積滿足全局穩定約束。

應當說明，K奇異時，線性穩定的廣義特征值方程（1h）必然存在零特征值。幾何不穩定拓撲必然存在與結構動不定度kDOF對應個數的零值（數值求解時一般是絕對值近似為0的值）載荷因子。若桁架（近似）幾何不穩定，在計算臨界屈曲載荷因子時，應將這些近似為0的值排除。

2.2.4 算例4——不同約束方案對比

如圖6（a）所示的88桿空間桁架基結構，其空間尺寸為8×1×2，左側4個節點固定，右側頂部的2個節點處作用豎直向下、幅值分別為0.666 7的集中載荷。該算例取自文獻［14］。

圖6 88桿桁架基結構及不同設定下優化后的拓撲Fig.6 88-bar truss ground structure and optim ized topologies under different settings

表2 88桿桁架基結構及優化結果特性Table 2 Properties of ground structure and optim ized topologies for 88-bar truss

對本例，僅方案B（考慮基頻約束）所得優化后拓撲是幾何穩定的，其余方案所得拓撲均存在不同程度的幾何不穩定。該例有以下問題需要說明：①圖6（c）和圖6（e）所示結果中的不穩定節點在主載荷下均為受拉節點，在其周圍不形成橫向支撐可能更加符合工程要求，本文僅研究優化結果的幾何穩定性，對此不作討論；②優化完成后濾除細桿對結構柔度幾乎沒有影響，但對基頻、臨界屈曲載荷因子等特征值類的特性影響較大，圖6（d）所示拓撲的基頻和圖6（e）所示拓撲的臨界屈曲載荷因子相比約束值均有一定程度的降低，但結果的幾何穩定性未發生質變；③所有優化結果中22根主要桿件的構型基本類似，圖6（c）～圖6（e）所示拓撲相比圖6（b）多了細桿支撐，臨界屈曲載荷因子卻小了很多，這是因為細桿的加入使原先被忽略的近似為0的特征值變為很小的有限值，從而被提取為臨界屈曲載荷因子。

2.3 對幾何穩定約束方案的討論

根據算例1，考慮附加載荷并不能確保優化后拓撲幾何穩定。附加載荷作用節點的選擇對優化結果的幾何穩定性有很大影響。幾何不穩定桁架存在不能承載的自由度。當載荷不作用于這些自由度時，平衡方程相容，位移有解；否則結構將垮塌，節點位移和結構柔度將趨于無窮大，此時平衡方程不相容，位移無解。柔度約束的存在能夠避免優化結果出現第2種情況，但幾何不穩定拓撲處于不穩定平衡狀態（第1種情況）時并不影響柔度約束的滿足。可見，考慮附加載荷的實質是使優化結果保留對附加載荷的承載能力，該方案只是在一定程度上增加了優化結果幾何穩定的概率，并不一定能保證優化后拓撲幾何穩定。

算例2中，在約束上下限合理取值的前提下，優化模型中考慮基頻約束可保證優化后的拓撲幾何穩定。實際上可以證明，滿足基頻約束的結構必然幾何穩定（詳見附錄B）。一個關鍵問題在于，約束的滿足是否需要過細桿件。若不同約束的相對嚴格程度差距較大，優化結果中保留的粗桿主要用于滿足嚴格約束，當粗桿不能同時滿足寬松約束時，結果中的細桿對滿足寬松約束具有不可或缺的作用，一旦過細桿件在后處理過程中被刪除，這些寬松約束往往就不再滿足。算例2的兩種極端情況說明，即使對適定的優化問題，約束上下限取值不合理也會導致計算結果不合理甚至引起數值求解方面的困難。

根據算例3，不論初始結構是否幾何穩定，滿足全局穩定約束均不能保證優化后拓撲的幾何穩定性。本文強調，全局穩定性是與載荷作用下的內力分布密切相關的結構屬性，幾何穩定性則是桁架拓撲的固有屬性，前者與載荷相關，后者與載荷無關，二者之間沒有必然聯系。僅考慮全局穩定約束的桁架結構體積最小化問題，雖然通過計算得到了最優解，但該問題目標與約束函數的設定可能并不合理。至少從本文給出的算例來看，優化結果中部分桿件的橫截面積大小與其內力水平并不是正相關的，由此造成了各桿應力水平的巨大差距。分析發現，這種不合理的應力分布的確能以更小的結構體積滿足全局穩定約束，但并不符合實際工程的要求。

3 結 論

1）通過對4種判定方法的對比，確定了桁架結構幾何穩定的準確定義，可避免無效判定方法的盲目使用；結合不同判定方法的特點給出一種簡單流程，可用于桁架結構幾何穩定性的快速準確判定。

2）使用統一的SDP模型對3種幾何穩定約束方案的對比表明，在優化模型中考慮附加載荷或全局穩定約束均不能確保優化后拓撲的幾何穩定性，但在約束合理設置的情況下，考慮基頻約束則可以保證。

3）傳統的基結構法框架存在刪除過細桿件的后處理方式。由于刪除細桿對結構特性的影響，約束上下限設置的合理性會影響計算結果的合理性甚至優化問題數值求解的正確性。為避免對細桿的處理，下一步可考慮在基于獨立拓撲變量的基結構法框架下進行對比研究。

4）指出桁架結構的幾何穩定性是一種僅與拓撲構型相關的屬性，與載荷無關，這是桁架幾何穩定性與局部穩定性、全局穩定性的本質區別。桁架結構全局穩定并不能保證其幾何穩定。

5）僅在全局穩定約束下進行桁架結構體積最小化設計，所得結果的應力分布水平可能極不合理，不滿足實際工程要求。可見，隨著結構優化問題建模和求解能力的不斷提高，對不同約束組合下優化問題的適定性、約束之間的相互作用以及約束本身特性的研究也應引起足夠注意。