例析導數中常見錯誤及應對策略

易文峰

(浙江諸暨學勉中學 浙江 紹興 311811)

導數是高中數學新課程中新增加的重點內容之一，是以函數為載體考查函數的重要性質，特別是在求曲線的切線方程，探究函數的單調性與極、最值等問題方面能給解題帶來不少便捷。剛好這段時間我們在學習《導數及其應用》章節，在批改作業時發現諸多因理解不周而導致的錯誤。下面列舉出幾種常見的錯誤，通過分析致錯原因以及應對策略，希望能對同學們有所幫助。

1.對導數的定義理解不周致誤

錯解：m

錯因分析：對導數定義里“增量”理解不周導致，由“增量”含義可知：(x0-△x)-x0=-△x,

應對策略：其實定義中的“增量”是一個整體思想，自變量的增量從函數值的“增量”中△y=f(x0-3△x)-f(x0)可以知道為-3△x,

練習：已知函數f(x)在點x0處的導數為m,

2.對導數的幾何意義理解不周致誤

例2、已知曲線f(x)=2x2+3,求過點p(2,9)處的切線方程。

錯解：由導數的幾何意義可知切線的斜率k=f′(2)=8，所以切線方程為：y-9=8(x-2),化簡得切線方程為：8x-y-7=0

錯因分析：誤以為P點為切點，對導數幾何意義理解不周所致。對于這種題型首先要驗證已知點是否在曲線上，然后確定該點是否為切點？

應對策略：①先確定點的位置，并確定該點是否是切點？若是，則切線的斜率即為導函數在切點橫坐標處的導數值，反之先設切點坐標(x0，y0)，②求k=f′(x0),寫出切線方程：y-y0=f′(x0)(x-x0),再把已知點的坐標代入此方程求出x0的值，即可求出切線方程。

練習：求曲線y=x3-x+3過點(1,3)處的切線方程。

3.對復合函數概念理解不周致誤

例3、已知曲線f(x)=xe1-x在點(1,1)處的切線平行直線ax+y-1=0,則實數a的值為____。

錯解：f′(x)=e1-x+xe1-x, 由導數幾何意義知：切線斜率k=f′(1)=2,

故a=-2.

錯因分析：對復合函數概念理解不周，其中y=e1-x是復合函數，其導函數是 -e1-x.

正解：由f′(x)=e1-x-xe1-x,故k=f′(1)=0,所以a=0.

練習：已知直線y=kx+b是曲線y=lnx+2和y=ln(x+1)的公切線，求實數b的值。

4.忽視函數定義域致誤

錯因分析：忽視了函數的單調區間與其定義域之間的被包含與包含的關系，定義域是函數的存在域。求函數單調區間的步驟是：①求定義域，②求導數，并求解f′(x)≥0或f′(x)≤0的解集，同時驗證使f′(x)=0的x值是否是有限個，③找出解集與定義域的公共解集，寫成區間即為相應的單調區間。

正解：單調遞增區間為(0，+∞)。

應對策略：當遇到用導數求單調區間問題時，嚴格按照求函數單調區間的步驟，特別不能忘記定義域。

A.在R上是單調遞增

B.在(-∞,-1),(-1,+∞)上單調遞增

C.在(-∞,-1)∪(-1,+∞,)上單調遞增

D.在R上單調遞減

5.對導數與單調性關系理解不周致誤

錯因分析：f′(x)>0或f′(x)<0是函數f(x)在相應區間上單調遞增或單調遞減的充分不必要條件；而f′(x)≥0或f′(x)≤0?f(x)在相應區間上單調遞增或單調遞減，但必須滿足使得f′(x)=0的x值為有限個。若f′(x)=0恒成立，則函數f(x)為常函數，而常函數無單調性可言。

應對策略：一般地，如果函數f(x)在區間[a，b]上單調遞增(遞減)，則等價于不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在區間[a，b]上恒成立，然后可借助分離參數等多種方法求出參數的取值范圍。在利用這種方法求解時，還要注意，得到參數取值范圍后，要檢驗端點處的參數值能否使f′(x)恒等于0？若恒等于0，則應舍去這個端點值，若f′(x)不恒等于0，則其符合題意。

練習：1.已知函數f(x)=x3+ax2+3x-1(a>0),若函數f(x)在其定義域內為增函數，求實數a的取值范圍。

2.已知函數f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1沒有極值，則實數a的取值范圍( )

A.-36 D.a≤-3或a≥6

6.對導數與極、最值關系理解不周致誤

例6、已知函數f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值為10，則f(2)=( )

A.11或18 B. 11 C. 18 D.17或18

錯解：f′(x)=3x2+2ax+b,由f′(1)=0且f(1)=10,即2a+b+3=0且a2+a+b+1=0,解得a=4,b=-11或a=-3,b=3,代入f(x)即可求得f(2)=11或18，故選A.

錯因分析：對于可導函數而言，導數為0的點不一定是極值點，但極值點的導數肯定為0.函數f(x)在x=x0處取到極值的充要條件是：①f′(x0)=0,②在x=x0左右倆側的導數值的符號相反。顯然錯解的原因只考慮了滿足條件①。

正解：明顯當a=-3,b=3時，f′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2,易知在x=1的左右導數都有f′(x)>0,即函數f(x)在R上是單調遞增的，因此f(x)在x=1處并不存在極值，故a=4,b=-11符合條件，故選C.

應對策略：f′(x0)=0是x0為極值點的必要不充分條件，對于給出函數極大(小)值的條件，一定既要考慮f′(x0)=0，又要考慮檢驗是否符合左右導數符號異號的條件。

練習：求函數f(x)=x3-2x2+1在區間[-1，2]上的最大值與最小值。