基于LPV觀測器的永磁同步電機反推控制

(江南大學 輕工過程先進控制教育部重點實驗室，江蘇 無錫 214122)

隨著半導體功率器件、永磁材料和控制理論的發展，永磁同步電機因其具有高功率密度、結構緊湊、高氣隙磁通和高轉矩慣性比等優點[1]，在當前的中小功率運動控制中起著越來越重要的作用。然而，PMSM本身存在著諸如定子電流、電磁轉矩、轉子磁鏈的耦合、參數攝動和外部擾動等諸多不利的因素，會直接導致控制系統的動態性能下降[2]。為提高PMSM的轉速響應和跟蹤性能，近年來出現了多種改進的系統結構[3-4]和設計方法[5-6]。這些方法不僅豐富了PMSM的控制理論，而且一定程度上改進了PMSM的動態性能。

PMSM是一個高度非線性、強耦合的非線性系統[7]，反推控制作為一種有效的非線性控制設計方法[8-9]，其設計方法是通過逐步選取虛擬狀態和虛擬控制函數，從原系統選取并構造新的子系統，基于Lyapunov穩定性理論，逐步設計子系統的實際控制，從而實現整個系統的全局穩定。

高性能的PMSM調速系統需要準確的電機轉子速度和位置信息，傳統的方法是通過加入機械傳感器直接測量，由于傳感器的安裝，導致電機驅動系統的成本增加、可靠性降低和體積增大，使得PMSM的使用范圍受到了限制[10]。針對這一問題，學者們提出了許多控制方法來獲得準確的轉速位置信息。文獻[11]采用基波反電動勢檢測法，利用繞組反電動勢與永磁轉子速度的相互關系進行估算，其原理簡單、設計方便，但在低速時由于反電動勢的難測而容易失效。文獻[12]采用高頻信號注入法，通過向凸極內埋式電動機注入特定形式的高頻電流，并檢測出線端的負序電流，來估算轉子的位置信息。該方法調速范圍寬，但終端信號處理過于復雜，且對于電機的凸極效應過于敏感。為了達到更好的控制效果，可以將多種方法相結合，例如文獻[13]中，學者提出了一種高頻信號注入法和模型參考自適應法相結合的控制方法，該方法既保證了高速時電機的快速動態響應，也保證了低速時的速度跟蹤精度，但該方法計算量大，設計復雜。

本文針對PMSM無速度傳感器轉速跟蹤控制問題，設計了一種基于觀測器的永磁同步電機反推控制方法，并結合線性參數變化(LPV)方法，解決在電機控制中由于電機負載變化帶來的性能變化的問題。仿真結果表明，該方法相較于傳統PI矢量控制，跟蹤精度高、響應快、抗負載擾動強。

1 PMSM模型

基于表貼式永磁同步電機，其交直軸電感近似相等，即滿足Ld=Lq=L，在d-q參考坐標系內的數學模型方程可寫為[14]

(1)

式中，ud、uq分別為d、q軸的定子電壓；id、iq分別為d、q軸的電樞電流；L為定子電感；Rs為定子相電阻；ψf為永磁體磁鏈；ω為電機轉子電角速度；p為電機極對數。

選取轉子角速度ω為調度變量，選取狀態變量x=[id,iq,ω]Τ，控制輸入u=[ud,uq,TL]Τ，則永磁同步電機的LPV凸多胞形模型可以表示為

(2)

其中，

如果轉子機械角速度ω的取值范圍已知，且ω∈[ωmin,ωmax]，滿足ω=ρ1ωmin+ρ2ωmax，其中ρ1,ρ2為權重比系數，且滿足ρ1,ρ2∈[0,1]，ρ1+ρ2=1，則以調度變量ω的取值邊界為凸胞形頂點的PMSM的LPV模型可寫為

(3)

其中，

2 基于LMI的LPV觀測器設計:

考慮以下LPV系統

(4)

式中，u∈Rm和y∈Rn分別為系統的控制輸入和控制輸出；θ為調度變量；A(θ)、B(θ)、C(θ)、D(θ)均為系統矩陣。

假定系統矩陣均在凸集Ω內變化，即

[A(θ),B(θ)]∈Ω=Co{[A1,B1],[A2,B2],…,[Ak,Bk]}k≥0

(5)

當系統狀態量不可直接獲取時，可以選擇以下形式的狀態觀測器估計其狀態向量：

(6)

圖1為狀態觀測器結構框圖，利用原系矩陣A(θ)、B(θ)、C(θ)，實現對系統狀態信息的重構，并通過增益矩陣L(θ)調節輸出誤差，使得觀測系統與原系統逐步逼近。

圖1 狀態觀測器結構框圖

根據式(4)和式(6)，則系統的狀態誤差的動態方程可以描述為

(7)

因此，觀測器的設計問題可以轉化為一個尋找能夠使系統(7)魯棒漸進穩定收斂于零的參數L(θ)的問題。

定理1 對于給定的正可調參數γ∈R，如果存在對稱的正定矩陣P(θ) 、矩陣Y(θ)以及單位矩陣I∈Rs×s和一個正定因子ε∈R，滿足下列不等式條件[15-16]：

P(θ)=PΤ(θ)，ε>0

(8)

(9)

其中，

Π(θ)=P(θ)A(θ)+AΤ(θ)P(θ)-Y(θ)C-CΤY(θ)+εγI

(10)

則設計的LPV觀測器能夠確保觀測矩陣A(θ)-L(θ)C穩定，同時具有較快的估計速度和估計精度。其中，* 表示矩陣對稱，從而得到LPV觀測器增益

L(θ)=P-1(θ)Y(θ)

(11)

證明：根據式(6)中狀態誤差表達式，結合式(4)，并對其求導可得：

=[A(θ)-L(θ)C]ex

(12)

考慮誤差擾動φ，式(12)可重寫為

(13)

(14)

將式(13)代入式(14)，有：

P(θ)A(θ)-P(θ)L(θ)C]ex+

(15)

引理 1[17]：如果存在適維矩陣M、N，和不確定矩陣F，以及正定標量ε，且對于F有FFΤ≤I，則

(MFN)Τ+MFN≤ε-1MMΤ+εNΤN

(16)

令φ=γex，γ是正可調參數，使用引理1，不等式

(17)

等價于

(18)

其中，ε>0。

則只要

AΤ(θ)P(θ)-CΤLΤ(θ)P(θ)+P(θ)A(θ)-P(θ)L(θ)C+ε-1P2(θ)+εγI<0

(19)

針對永磁同步電機數學模型，設計LPV觀測器，其觀測器模型為

(20)

以PMSM轉速范圍邊界為工作點的觀測器LPV頂點模型為

(21)

L1、L2分別為凸多胞頂點ω=ωmin和ω=ωmax處的觀測器反饋增益矩陣；ρ1、ρ2表達式為

3 反推控制器設計

反推控制，又叫反演控制，相較與其他控制策略，其優點在于算法簡單，易于實現，能保證系統的快速收斂。該方法使用了拆分的思想，將高階系統拆分成多個子系統進行控制器設計，保證了系統的全局穩定性。除此之外，反推控制還能結合一些非線性控制方法，使得其在非線性控制領域得到廣泛推廣。

反推控制作為一種有效的非線性控制器設計方法，其設計步驟為逐步選取虛擬狀態和虛擬控制函數，從原系統方程選取狀態構造新的子系統，然后構造Lyapunov 函數，逐步設計直至得到系統的實際控制，使得整個系統穩定。

針對PMSM，定義轉速跟蹤誤差為

e=ω*-ω

(22)

選擇轉速跟蹤誤差e為新的狀態變量，構造新的子系統為

(23)

為了使轉速跟蹤誤差趨于零，對式(22)構造Lyapunov函數

(24)

對式(24)求導可得

(25)

(26)

整理式(26)，選取

對eq求導可得

(27)

為使eq漸進穩定，構造新的Lyapunov函數為

(28)

對上式求導，可得：

(29)

整理得：

(30)

(31)

為使d軸電流跟蹤誤差趨于穩定零，構造新的Lyapunov函數為

(32)

對式(32)求導，可得

(33)

整理得

ud=Rid-pLωiq+Lk2ed

(34)

綜上，在無速度傳感器控制系統中，通過觀測器引入控制輸入，選取輸入控制律滿足

即可滿足整個PMSM系統的漸進穩定。

4 仿真分析

本節分別采用PI控制方法和所提方法對PMSM矢量控制系統利用Matlab/Simulink進行仿真。反推控制系統結構圖如圖2所示。

仿真給定電機初始轉速為1000 r/min，仿真時長0.2 s，初始負載轉矩為0 N·m，在t=0.1 s時突加4 N·m的負載擾動。PMSM具體參數設置如表1所示。

表1 PMSM參數設置

根據表1參數，代入式(21)，利用定理1中的不等式條件式(8)和式(9)，分別求得電機工作在ωmin=-1000 r/min和ωmax=1000 r/min處的反饋增益矩陣：

選取仿真參數k=1200，k1=450，k2=150，圖3和圖4分別為電機轉速跟蹤仿真曲線和轉速誤差跟蹤仿真曲線。

圖3 轉速跟蹤仿真曲線

圖4 轉速跟蹤誤差仿真曲線

由圖可以看出，本文所提方法相較傳統PI矢量控制，在電機啟動時，能快速跟蹤參考轉速，調節時間短，超調小，在t=0.1 s突加TL=4 N·m負載擾動時，轉速能快速恢復到參考轉速附近，且誤差較小。圖5和圖6分別為電磁轉矩跟蹤仿真曲線和電磁轉矩跟蹤誤差仿真曲線，由圖可以看出，本文所提方法相較于傳統PI矢量控制，轉矩響應快，精度高。

圖5 轉矩跟蹤仿真曲線

圖6 轉矩跟蹤誤差仿真曲線

5 結束語

針對永磁同步電機無速度傳感器轉速跟蹤控制，結合LMI和Lyapunov穩定性定理，提出了一種基于LPV結構的轉速觀測器設計方法，有效解決了系統參數不確定性問題，提高了抗負載擾動能力，并通過設計反推控制器，簡化了控制器設計，提高了系統的響應速度。結果表明，本文所設計方法相較于傳統PI矢量控制，跟蹤精度高、響應快、抗負載擾動強。