生活中的三角函數

陳偉斌

在實際生活中，有許多周期現象，如日出日落、陰晴圓缺、四季輪回、潮起潮落;又如心臟的收縮和舒張，甚至是人的情緒、體力……那么用來描述周期現象最基本最重要的函數義是什么呢？當然是三角函數！下面我們來看幾個案例，體會三角函數在生活中的應用.

案例1 聰明的船長

若干年后，閱讀本文的某位讀者成為了船長，有一天船要到某個港口去，作為船長，港口的水深與時間的對應關系是他最迫切需要知道的信息.

下面是某個港口的碼頭在今年春季每天的時間與水深的關系表：

（1）請你仔細觀察表格中的數據，你能夠從中得到一些什么信息？

（2） -艘貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4m，安全條例規定至少要有1.5 m的安全間隙（船底與洋底的距離），試問：該船何時能夠進入港口？在港口能待多久？

（3）在（2）的條件中，若該船在2：00開始卸貨，吃水深度以0.3 m/h的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？

我們利用所學的三角函數知識可以解決這個問題.仔細觀察表格中的數據，發現水深的最大值是7.5 m，最小值是2.5 m，水的深度變化有什么特點嗎？水的深度開始由5.O m增加到7.5 m，后逐漸減少到2.5 m，義開始逐漸變深，增加到7.5m后，義開始減少.水深變化并不是雜亂無章，而是呈現一種周期性變化規律，為了更加直觀明了地觀察出這種周期性變化規律，我們需要做什么工作呢？將表中的數據輸入計算器或計算機，畫出它們的散點圖（如圖1），進行觀察，選用三角函數模型y=Asin（ωx+Φ）+k，上述問題就可以解決了.

案例2 感受你的心跳

在這個重視個人健康問題的社會，懂一點點生理知識對每個人都是大有好處的.

心臟跳動時，血壓在增加或減小.血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計上的讀數就是收縮壓和舒張壓，讀數120/80 mmHg（注：1 mmHg=133. 28 Pa）為標準值.設某人的血壓滿足函數式p（t）=110+25sin（1607πt），其中p（t）為血壓（mmHg），t為時間（min）.（1）此人的血壓在血壓計上的讀數為___ ;（2）每分鐘心跳次數為___.

第（1）小問先根據函數p（t）=110+25sin（160t）求出最大值135和最小值85，進而可得到收縮壓為135和舒張壓為85，故答案為135/85.

第（2）小問的頻率就是每分鐘心跳的次數，因為T=2π/160π一1/80，所以此人每分鐘心跳次數為1/T=80次.

案例3 船有觸礁的危險嗎

海中有一個小島A，該島四周1O km內有暗礁.今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西55°的B處，往東行駛20 km后，到達該島的南偏西25°的C處，之后，貨輪繼續往東航行，你認為貨輪繼續向東航行途中會有觸礁的危險嗎？

在Rt△ABD和Rt△ACD中，AD是它們的公共直角邊.而且BC是這兩個直角三角形BD與CD的差，即BC—BD CD.BD，CD的對角是已知的，BD，CD和邊AD都有聯系.

在Rt△ABD中，tan 55°=BD/AD，BD=ADtan 55°;在Rt△ACD中，tan 25=CD/AD，CD=ADtan 25°，利用BC=BD=CD就可以列出關于AD的一元一次方程，即ADtan 55°ADtan 25°=20.最后測算m AD與1 0的大小關系，即可解決問題.

在實際生活中，還有許多周期現象可以用三角函數來模擬，如力學中的簡諧振動、交流電中的電流等，都可以建立三角函數的模型利用三角函數的性質解決有關問題;很多最值問題也可以轉化為三角函數來解決，如天氣預報、建筑設計、航海、航天等都能找到三角函數的影子.三角函數與我們的生活息息相關，應用極廣，因此我們要學好三角函數。