天涯海角　縮地成寸

李凌晨

求三角形的面積，初中使用公式S=1/2ah，到了高中，面積公式S=1/2absinC最常用.假如從向量的角度考慮，三角形的面積公式有沒有向量形式？用坐標又如何表示呢？

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為以a，b，c，設C（0，0），A（x1，y1），B（x2，y2），則CA=（x1，y1），CB=（x2，y2）.

S= 1/2absinC

=1/2|CA| |CB|√1-cos2C

=1/2√（CA||CB|）2-（|CA||CB|cosC）2

=1/2√（|CA||CB|）2-（CA·CB）2.

這樣就推出了三角形面積公式的向量形式.

進一步用向量的坐標表示，就能推出三角形面積公式的坐標形式：

S=1/2√（x12+y12）（x22+y22）- （x1x2+y1y2）2

=1/2√（x1y2-x2y1）2

=1/2|x1y2-x2y1|.

我特別喜歡聯想集團的一句廣告詞：“如果沒有聯想，世界將會怎樣？”

觀察結構“x1y2-x2y1”，我聯想到判定兩個向量平行的坐標公式.

設a=（x1，y1），b=（x2，y2），若a//b，則x1y2=x2y1.

啊哈！

在△ABC中，當C=0時，S=0，x1y2-x2y1=0，即x1y2=x2y1，此時CA//CB.

到此，在S=1/2|x1y2-x2y1|與a//b的天涯海角中，當S=0時，式子“x1y2-x2y1”使兩者縮地成寸.也就是說，我們打通了三角形面積公式坐標形式和判定兩向量平行坐標式之間的關系，解釋了相同結構“x1y2-x2y1”.

老師說，等到了高校會繼續學習向量的知識，比如，向量的向量積a×b.與向量的數量積a·b不同的是，向量積a×b仍然是一個向量，模|a×b|=|x1y2-x2y1|.我們知道，若a·b=0，則a上b.所以，若a×b=0，則a//b.

最后又意外收獲判定向量平行的另一種方法，這趟探究之旅收獲滿滿！