合理“設參”，追蹤動點

顧珊嵐

在近年高考中，求平面向量數量積的最值或取值范圍的問題屢見不鮮.在一些與幾何圖形中的動點相關的向量數量積問題中，通過合理設參數來處理動點，能使解題思路清晰，解題過程流暢.

這里，我們就結合幾道例題來談談具體運用.

例1 如圖1，已知矩形ABCD的邊長AB =2，AD=1.點P，Q分別在邊BC，CD上，且∠PAQ=45°，則AP·AQ的最小值為___ .

思路2：設∠BAP=θ（0°≤θ≤θ0其中tanθ0=1/2且θ0∈（0°，90°））.因為∠PAQ

1=45°，則∠DAQ=45°-θ，所以|AP|=2/COSθ，|AQ|=1/cos（45°-θ）.由平面向量數量積定義可得AP·AQ=|AP|·|AQ|·cos∠PAQ=2/cosθ·1/cos（45°-θ）·√2/2=4/2sin（2θ+45°）+1 ，當sin（2θ+45°）=1時，AP·AQ有最小值4√2-4.

點評 思路1通過建立平面直角坐標系，將PB和QD的長度設為兩個參數，m，n，從而將動點P和Q的坐標表示出來，并求出所求向量的坐標，再用向量數量積的坐標運算建立目標.然后利用本題中角度的關系，尋找兩個參數，m，n之間的等量關系，最后用基本不等式求出最小值;思路2將∠BAP的角度θ設為參數，用θ表示出AP與AQ的模，再利用平面向量數量積的定義直接建立關于θ的目標函數，最后用三角知識求出最小值.在解題過程中必須注意的是，確定所設參數的范圍非常重要，

例2 如圖3，線段AB的長度為2，點A，B分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上滑動，以線段AB為一邊，在第一象限內作等邊三角形ABC，O為坐標原點，則OC·OB的取值范圍是

思路：設∠BAO=θ，（0°<θ<90°），則∠CAx=120° -θ，因為AB =2，則有OA=2cosθ，OB=2sinθ，所以B（0，2sinθ），C（2cos θ+2cos（120° =θ），2sin（120°-θ））.由平面向量數量積的坐標運算可得OC·OB=4sin θsin（120°-θ）=4sinθ（√3/2cosθ+1/2sinθ）=√3sin 2θ-cos 2θ+1=2sin（2θ-30°）+1，因為O°<θ<90°，所以 -30°<2θ-30°<150°，所以 -1<2sin（2θ-30°）≤2，故OC·OB的取值范圍為[0，3].

點評 本題的題意比較簡潔明了，解題思路非常清晰，只需表示出點B，C的坐標.本題的難點就是設參數表示點的坐標，若設OA=a，OB=b，則A（a，0），B（0，b），但是只用以a，b這兩個參數，很難將點C的坐標表示出來;若設∠BAO=θ，再結合已知條件AB =2以及△ABC是等邊三角形，很容易就能求得點B，C的坐標，再用三角知識輕松解決問題.

例3 如圖4，在直角梯形ABCD中，AB //DC，∠ABC=90°， AB=3，BC=DC=2.若E，F分別是線段DC和BC上的動點，則AC·EF的取值范圍是__.

思路1：設EC=mDC，CF=nCB（0≤m≤1，0≤n≤1），則AC·EF=（AB十BC）·（EC+CF）=AB·EC+AB·CF+BC.EC +BC·CF=mAB·DC+nAB·CB+mBC·DC+nBC·CB，又AB⊥BC，DC⊥BC，AB=3，BC=CD=2，所以AC·EF=6m-4n∈[-4，6].

思路2： 如圖5，以BA為x軸，BC為y軸建立平面直角坐標系，則A（3，0），B（0，0），C（O，2），D（2，2），設E（x，2），F（0，y）.因為E，F分別在線段DC和BC上，所以x，y∈[0，2]，則AC=（-3，2），EF=（-X，Y-2），AC·EF=3x+2y-4.因為x，y∈[O，2]，所以3x+2y∈[0，10]，從而3x+2y-4∈[-4，6]，即AC·EF的取值范圍為[-4，6].

點評 思路1通過向量分解轉化為基向量來解決（基底轉 化法）數量積，利用平面向量共線定理，設參數m，n將兩個動向量表示為EC=mDC，CF=nCB，進而將EF轉化成已知向量再解決問題.思路2通過建立平面直角坐標系，通過坐標運算來解決（建系坐標法）數量積，設參數x，y分別為EC，CF的長度，快速將兩個動點E，F的坐標表示出來，再用坐標計算解決數量積問題.兩種解題思路都非常清晰，解題的過程也都非常簡潔.

例4 如圖6，△ABC為等腰三角形，∠BAC=120°，AB=AC=4，以A為圓心，1為半徑的圓分別交AB，AC于點E，F，點P是劣弧EF上的一點，則PB.PC的取值范圍是___.

思路1：如圖7，在BC邊上取中點M，則MB=1/2BC=2√3，連結PM，有PB·PC=（PM+MB）·（PM+MC）=|PM|2-|MB|2=PM2-12.設線段PM的長度為m，則|AM|-1≤m≤|ME|，即1≤m≤√3，所以PB·PC =m2-12∈[ -11， -9].

思路2：以A為原點建立如圖8所示的平面直角坐標系，設P（x，y）（x2+y2=1且-√3/2≤x≤√3/2， -1≤y≤-1/2），又B（-2√3，-2），C（2√3， -2），則PB·PC一（-2√3-x，-2-y）·（2√3-x，-2-y）=x2 +y2+4y-8=4y-7，因為 -1≤y≤-1/2，所以PB·PC的取值范圍是[-11，-9].

思路3：同思路2建立平面直角坐標系，設P（cosθ，sinθ）（-5π/6≤π≤-π/6），又B（-2√3，-2），C（2√3，-2），則PB·PC=（-2√3-cosθ，-2-sinθ）·（2√3-cosθ，-2-sinθ）=4sinθ-7，因為-5π/6≤θ≤-π/6，所以-1≤sinθ≤-1/2，故有 -11≤PB·PC≤-9.

點評 本題要處理的是網弧上的動點，思路1用基底轉化的方法計算平面向量的數量積，將線段PM的長度設為參數，再利用圓的幾何性質求出參數的范圍，從而求出數量積的取值范圍.思路2、思路3用建系的方法先確定動點P所在的圓方程，思路2采用了平面解析幾何的常規設參數方法，將動點P的坐標設為（x，y），由已知條件不難得出參數x，y的取值范圍;思路3利用三角函數的定義，將動點P的坐標設為（cosθ，sinθ），能從已知條件直接得參數θ的范圍，快速解決問題.

由此可見，在解決與幾何圖形中的動點相關的向量數量積問題時，應因題制宜，合理選擇參數處理動點，使解題思路清晰、解題過程流暢，從而學會靈活運用，這才是解決向量問題的最有效手段.