中值點存在性中輔助函數的構造

李遠梅

摘要：針對中值點存在性問題，對輔助函數的構造進行了一種實質性的探索，求原函數的方法使學生更易理解掌握。

關鍵詞：中值點;輔助函數;原函數

高等數學中有許多內容涉及到中值點的存在性問題 ，這既是高等數學教學中的一個重點也是一個難點。輔助函數的構造成為解決此問題的關鍵，特別是在利用中值定理證明各類含導數的等式及不等式中。本文就構造輔助函數的實質——尋找原函數，進行分析、舉證說明。

一、分析

首先羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理中函數滿足的前兩個條件：閉區間上連續，開區間內可導都一樣，結論都是至少存在一個中值點使得等式成立。唯一不同是條件三越來越弱。但拉格朗日中值定理，柯西中值定理結論可以通過移項變成與羅爾定理形式一樣的結論，即等式左邊是含導數的函數，右邊為零。只需尋找使得羅爾定理條件三成立的輔助函數。又因為結論是。所以構造的輔助函數實質就是，即結論中等式左邊的式的原函數。

三、結論

通過上述例子發現構造輔助函數時，往往需要將結論經過等式變形才容易求得原函數。通常在不能直接求得原函數的情況下，需要將結論乘以或。為什么這樣做的主要原因是指數函數的導數是其本身，冪函數的導數除常系數外就是降次。用求原函數的方法對解決此類含導數的中值點的存在性問題不失為一種簡便，有效的方法。

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